2021版高考数学一轮复习 核心素养测评三十九 等比数列 理 北师大版

核心素养测评三十九 等比数列(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.已知数列a,a(1-a),a(1-a)2,是等比数列,则实数a满足的条件是 ()a.a|a1b.a|a0或a1c.a|a0d.a|a0且a1【解析】选d.由等比数列定义可知a0且1-a0,即a0且a1.【变式备选】数列an满足:an+1=an-1(nn*,r且0),若数列an-1是等比数列,则的值等于()a.1b.-1c.12d.2【解析】选d.由an+1=an-1,得an+1-1=an-2=(an-2).由于数列an-1是等比数列,所以2=1,得=2.2.公元前5世纪,古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论.他提出让乌龟在阿基里斯前面1 000米处开始,和阿基里斯赛跑,并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍.当比赛开始后,若阿基里斯跑了1000米,此时乌龟便领先他100米;当阿基里斯跑完下一个100米时,乌龟仍然领先他10米;当阿基里斯跑完下一个10米时,乌龟仍然领先他1米所以阿基里斯永远追不上乌龟.按照这样的规律,若阿基里斯和乌龟的距离恰好为10-2米时,乌龟爬行的总距离(单位:米)为()a.104-190b.105-1900c.105-990d. 104-9900【解析】选b.由题意知,乌龟每次爬行的距离(单位:米)构成等比数列an,且首项a1=100,公比q=110,易知a5=10-2,则乌龟爬行的总距离(单位:米)为s5=a1-a5q1-q=100-10-21101-110=105-1900.3.已知各项不为0的等差数列an满足a6-a72+a8=0,数列bn是等比数列,且b7=a7,则b2b8b11=()a.1b.2c.4d.8【解析】选d.由等差数列的性质得a6+a8=2a7.由a6-a72+a8=0可得a7=2,所以b7=a7=2.由等比数列的性质得b2b8b11=b2b7b12=b73=23=8.【变式备选】已知方程(x2-mx+2)(x2-nx+2)=0的四个根组成以12为首项的等比数列,则mn等于()a.32b.32或23c.23 d.以上都不对【解析】选b.设a,b,c,d是方程(x2-mx+2)(x2-nx+2)=0的四个根,不妨设acd0.则由三角形三边不等关系知:当q1时.a+aqaq2,即q2-q-10所以1-52q1+52,所以1q1+52.当0qa,则q2+q-10,所以q5-12或q-1+52,所以5-12q0,其前n项和为sn,且s5=62,a4,a5的等差中项为3a3.(1)求数列an的通项公式.(2)设bn=1(log2an)(log2an+2),求数列bn的前n项和tn.【解析】(1)因为a4+a5=6a3,所以a1q3+a1q4=6a1q2,即q2+q-6=0,解得q=2或q=-3(舍去).所以s5=a1(1-25)1-2=31a1=62,a1=2,所以an=22n-1=2n.(2)因为bn=1(log2an)(log2an+2)=1n(n+2)=121n-1n+2,所以tn=b1+b2+bn=121-13+12-14+13-15+1n-2-1n+1n-1-1n+1+1n-1n+2=121+12-1n+1-1n+2=1232-2n+3n2+3n+2=34-2n+32n2+6n+4.(15分钟35分)1.(5分)中国古代数学名著九章算术中有这样一个问题:今有牛、马、羊食人苗,苗主责之粟五斗.羊主曰:“我羊食半马.”马主曰:“我马食半牛.”今欲衰偿之,问各出几何?此问题的译文是:今有牛、马、羊吃了别人的禾苗,禾苗主人要求赔偿5斗粟.羊主人说:“我的羊所吃的禾苗只有马的一半.”马主人说:“我的马所吃的禾苗只有牛的一半.”打算按此比率偿还,他们各应偿还多少?已知牛、马、羊的主人各应偿还粟a升,b升,c升,1斗为10升,则下列判断正确的是()a.a,b,c成公比为2的等比数列,且a=507b.a,b,c成公比为2的等比数列,且c=507c.a,b,c成公比为12的等比数列,且a=507d.a,b,c成公比为12的等比数列,且c=507【解析】选d.由题意可得,a,b,c成公比为12的等比数列,b=12a,c=12b,三者之和为50升,故4c+2c+c=50,解得c=507.【变式备选】已知等比数列an的公比q=2,前100项和为s100=90,则其偶数项a2+a4+a100为()a.15b.30c.45d.60【解析】选d.s100=a1+a2+a100=90,设s=a1+a3+a99,则2s=a2+a4+a100,所以s+2s=90,s=30,故a2+a4+a100=2s=60.2.(5分)在等比数列an中,a2,a16是方程x2-6x+2=0的根,则a2a16a9=()a.-2+22b.-2c.2d.-2或2【解析】选d.由题意可得a2a16=2,又由等比数列的性质可知a2a16=a92=2,所以a9=2,所以a2a16a9=a92a9=a9=2.【变式备选】在等比数列an中,a3,a15是方程x2-6x+8=0的根,则a1a17a9=()a.22b.2c.1d.-2【解析】选a.由题知,a3+a15=60,a3a15=80,则a30,a150,由等比数列的性质知a1a17=a3a15=8=a92a9=22.设等比数列an的公比为q,则a9=a3q60,故a9=22,故a1a17a9=822=22.3.(5分)(2019全国卷)记sn为等比数列an的前n项和.若a1=1,s3=34,则s4=_.【解析】设等比数列的公比为q,由已知s3=a1+a1q+a1q2=1+q+q2=34,即q2+q+14=0,解得q=-12,所以s4=a1(1-q4)1-q=1-1241-12=58.答案:58【变式备选】设an是公比为q的等比数列,sn是它的前n项和,若sn是等差数列,则q为_.【解析】若q=1,则sn=na1,所以sn是等差数列;若q1,则当sn是等差数列时,一定有2s2=s1+s3,所以2a1(1-q2)1-q=a1+a1(1-q3)1-q,即q3-2q2+q=0,故q(q-1)2=0,所以q=0或q=1,而q0,q1,所以此时不成立.综上可知,q=1.答案:14.(10分)已知数列an是各项均为正数的等比数列,若a1=1,a2a4=16.(1)设bn=log2an,求数列bn的通项公式.(2)求数列anbn的前n项和sn.【解析】(1)因为a1=1,a2a4=16,由等比数列的性质可得,a2a4=a32=16且an0,所以a3=4,所以q2=a3a1=4,所以q=2或q=-2(舍去),所以an=2n-1,因为bn=log2an=log22n-1=n-1,所以bn=n-1.(2)由(1)得anbn=(n-1)2n-1,sn=020+121+222+(n-1)2n-12sn=021+122+(n-2)2n-1+(n-1)2n-得-sn=2+22+23+2n-1-(n-1)2n=2-2n1-2-(n-1)2n=2n(2-n)-2所以sn=(n-2)2n+2.5.(10分)已知数列an的前n项和为sn,且an=sn+n2(nn*).(1)若数列an+t是等比数列,求t的值.(2)求数列an的通项公式.【解析】(1)当n=1时,由a1=s1+12=a1+12得a1=1;当n2时,an=sn-sn-1=2an-n-2an-1+(n-1),即an=2an-1+1,所以a2=3,a3=7.依题意得(3+t)2=(1+t)(7+t),解得t=1,当t=1时,an+1=2(an-1+1),n2,即an+1为等比数列成立,故实数t的值为1.(2)由(1)知当n2时,an+1=2(an-1+1),又因为a1+1=2,所以数列an+1是首项为2,公比为2的等比数列,所以an+1=22n-1=2n,所以an=2n-1.【变式备选】1.已知在正项数列an中,a1=2,点an(an,an+1)在双曲线y2-x2=1上,数列bn中,点(bn,tn)在直线y=-12x+1上,其中tn是数列bn的前n项和.(1)求数列an的通项公式.(2)求证:数列bn是等比数列.【解析】(1)由点an在y2-x2=1上知an+1-an=1,所以数列an是一个以2为首项,1为公差的等差数列,所以an=a1+(n-1)d=2+n-1=n+1.(2)因为点(bn,tn)在直线y=-12x+1上,所以tn=-12bn+1,所以tn-1=-12bn-1+1(n2).-得bn=-12bn+12bn-1(n2),所以32bn=12bn-1,所以bn=13bn-1(n2),在式中令n=1,得t1=b1=-12b1+1,所以b1=23,所以bn是一个以23为首项,以13为公比的等比数列.2.已知首项为32的等比数列an的前n项和为sn(nn*),且-2s2,s3,4s4成等差数列. (1)求数列an的通项公式.(2)证明:sn+1sn136(nn*).【解析】(1)设等比数列an的公比为q,因为-2s2,s3,4s4成等差数列,所以2s3=4s4-2s2,即s3=2s4-s2,即s4-s3=s2-s4,可得2a4=-a3,于是q=a4a3=-12.又a1=32,所以等比数列an的通项公式为an=32-12n-1=(-1)n-132n.(2)由(1)知,sn=1-12n,sn+1sn=1-12n+11-12n=2+12n(2n+1),n为奇数,2+12n(2n-1),n为偶数.当n为奇数时,sn+1sn随n的增大而减小,所以sn+1sns1+1s1=136.当n为偶数时,sn+1sn随n的增大而减小,所以sn+1sns2+1s2=2512.故对于nn*,有sn+1sn136.1.“十二平均律”是通用的音律体系,明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例,为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份,依次得到十三个单音,从第二个单音起,每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122.若第一个单音的频率为f,则第八个单音的频率为 ()a.32fb.322fc.1225fd.1227f【解析】选d.这13个单音构成了一个以f为首项,122为公比的等比数列,所以an=a1qn-1=f(2112)n-1,即a8=2712f.2.(2020郑州模拟)设首项为1的数列an的前n项和为sn,且an=an-1+1,n=2k,kn*,2an-1+1,n=2k+1,kn*.若sm2 020,则正整数m的最小值为()a.15b.16c.17d.18【解析】选c.由题意知a2k=a2k-1+1,a2k+1=2a2k+1,所以a2k+1