2021版高考数学一轮复习 第十二章 计数原理、概率、随机变量及其分布 12.6 条件概率与独立事件、二项分布、正态分布练习 理 北师大版

12.6 条件概率与独立事件、二项分布、正态分布核心考点精准研析考点一条件概率、事件的独立性1.市场调查发现,大约45的人喜欢在网上购买家用小电器,其余的人则喜欢在实体店购买家用小电器.经工商局抽样调查发现网上购买的家用小电器合格率约为1720,而实体店里的家用小电器的合格率约为910.现工商局12315电话接到一个关于家用小电器不合格的投诉,则这台被投诉的家用小电器是在网上购买的可能性是 ()a.67 b.56c.45d.252.质检部门对某工厂甲车间生产的8个零件质量进行检测,零件质量(单位:克)分布的茎叶图如图所示.零件质量不超过20克的为合格.质检部门从中随机抽取4件进行检测,若至少2件合格,检测即可通过,若至少3 件合格,检测即为良好,则甲车间在这次检测通过的条件下,获得检测良好的概率为()a.1753b.1770c.5370d.16533.如果an不是等差数列,但若kn*,使得ak+ak+2=2ak+1,那么称an为“局部等差”数列.已知数列xn的项数为4,记事件a:集合x1,x2,x3,x41,2,3,4,5,事件b:xn为“局部等差”数列,则条件概率pb|a=()a.415b.730c.15d.164.甲、乙两人玩投篮游戏,规则如下:两人轮流投篮,每人至多投2次,甲先投,若有人投中即停止投篮,结束游戏,已知甲每次投中的概率为14,乙每次投中的概率为13,求:乙投篮次数不超过1次的概率.【解析】1.选a.不合格小电器在网上购买的概率为45320=325,不合格小电器在实体店购买的概率为15110=150,所以这台被投诉的家用小电器是在网上购买的可能性是325325+150=67.2.选a.设事件a表示“2件合格,2件不合格”;事件b表示“3件合格,1件不合格”;事件c表示“4件全合格”,事件d表示“检测通过”,事件e表示“检测良好”,则p(d)=p(a)+p(b)+p(c)=c42c42c84+c43c41c84+c44c84=5370.所以p(ed)=p(ed)p(d)=p(b)+p(c)p(d)=c43c41c84+c44c845370=1753.3.选c.由题意知,事件a共有c54a44=120个基本事件,事件b:“局部等差”数列,共有以下24个基本事件,(1)其中含1,2,3的局部等差的分别为1,2,3,5和5,1,2,3和4,1,2,3共3个, 含3,2,1的局部等差数列的同理也有3个,共6个.(2)含3,4,5的和含5,4,3的与上述(1)相同,也有6个.(3)含2,3,4的有5,2,3,4和2,3,4,1共 2个,(4)含4,3,2的同理也有2个.(5)含1,3,5的有1,3,5,2和2,1,3,5和4,1,3,5和1,3,5,4共4个,(6)含5,3,1的也有4个.所以p(b|a)=24120=15.4.记“甲投篮投中”为事件a,“乙投篮投中”为事件b.“乙投篮次数不超过1次”包括三种情况:一种是甲第1次投篮投中,另一种是甲第1次投篮未投中而乙第1次投篮投中,再一种是甲、乙第1次投篮均未投中而甲第2次投篮投中,所求的概率是p=p(a+ab+aba)=p(a)+p(ab)+p(aba)=p(a)+p(a)p(b)+p(a)p(b)p(a)=14+3413+342314=58.所以乙投篮次数不超过1次的概率为58.1.条件概率的3种求法定义法先求p(a)和p(ab),再由p(b|a)=p(ab)p(a)求p(b|a)基本事件法借助古典概型概率公式,先求事件a包含的基本事件数n(a),再求事件ab所包含的基本事件数n(ab),得p(b|a)=n(ab)n(a)缩样法缩小样本空间的方法,就是去掉第一次抽到的情况,只研究剩下的情况,用古典概型求解,它能化繁为简2.相互独立事件同时发生的概率的两种求法(1)直接法:利用相互独立事件的概率乘法公式.(2)间接法:从对立事件入手计算.考点二n次独立重复试验、二项分布【典例】1.种植某种树苗,成活率为0.9.若种植这种树苗5棵,则恰好成活4棵的概率约为()a.0.33b.0.66c.0.5d.0.452.某气象站天气预报的准确率为80%,计算:(结果保留到小数点后2位) (1)5次预报中恰有2次准确的概率;(2)5次预报中至少有2次准确的概率;(3)5次预报中恰有2次准确,且其中第3次预报准确的概率.【解题导思】序号联想解题1种5棵成活4棵联想到n次独立重复试验恰好发生k次的概率公式2(1)联想到用公式cnkpk1-pn-k(2)由“至少2次”联想到对立事件“最多1次”,即0次,1次(3)转化为4次独立重复试验恰好发生1次的试验模型【解析】1.选a.根据n次独立重复试验中,事件a恰好发生k次的概率公式得到种植这种树苗5棵,则恰好成活4棵的概率为c540.94(1-0.9)0.33.2.令x表示5次预报中预报准确的次数,则xb5,45,故其分布列为p(x=k)=c5k45k1-455-k(k=0,1,2,3,4,5).(1)“5次预报中恰有2次准确”的概率为p(x=2)=c524521-453=10162511250.05.(2)“5次预报中至少有2次准确”的概率为p(x2)=1-p(x=0)-p(x=1)=1-c504501-455-c51451-454=1-0.000 32-0.006 40.99.(3)“5次预报中恰有2次准确,且其中第3次预报准确”的概率为c41451-453450.02.1.熟记概率公式 n次独立重复试验中事件a恰好发生k次的概率为cnkpk(1-p)n-k.2.判断某随机变量是否服从二项分布的关键点(1)在每一次试验中,事件发生的概率相同.(2)各次试验中的事件是相互独立的.(3)在每一次试验中,试验的结果只有两个,即发生与不发生.1.位于坐标原点的一个质点p按下述规则移动:质点每次移动一个单位,移动的方向为向上或向右,并且向上、向右移动的概率都是12,质点p移动五次后位于点(2,3)的概率是()a.132 b.516c.14d.18【解析】选b.如图,由题可知,质点p必须向右移动2次,向上移动3次才能位于点(2,3),问题相当于5次重复试验向右恰好发生2次的概率.所求概率为p=c52122123=c52125=516.2.设随机变量b(2,p),b(4,p),若p(1)=59,则p(1)=_.【解析】p (1)=1-p(2)=0.023,则p(-22)=()a.0.447 b.0.628 c.0.954d.0.9772.为了了解某地区高三男生的身体发育状况,抽查了该地区1 000名年龄在17.5岁至19岁的高三男生的体重情况,抽查结果表明他们的体重x(kg)服从正态分布n(,22),且正态分布密度曲线如图所示.若体重大于58.5 kg小于等于62.5 kg属于正常情况,则这1 000名男生中属于正常情况的人数是a.997 b.954c.819d.683【解析】1.选c.因为随机变量服从标准正态分布n(0,2), 所以正态曲线关于直线x=0对称.又p(2)=0.023,所以p(-2)=0.023.所以p(-22)=1-20.023=0.954.2.选d.由题意,可知=60.5,=2,所以p(58.5x62.5)=p(-x+)=68.3%,从而属于正常情况的人数是1 00068.3%=683.3 原则的应用【典例】1.在如图所示的矩形中随机投掷30 000个点,则落在曲线c下方(曲线c为正态分布n(1,1)的正态曲线)的点的个数的估计值为 ()附:正态变量在区间(-,+),(-2,+2),(-3,+3)内取值的概率分别是68.3%,95.4%,99.7%.a.4 985 b.8 190 c.9 970 d.24 5582.工厂制造的某机械零件尺寸x服从正态分布n4,19,问在一次正常的试验中,取1 000个零件时,不属于区间(3,5这个尺寸范围的零件大约有多少个?【解析】1.选b.由题意p(0x3)=p(0x2)+p(2x5)=1-p(3x5)=1-p(4-1x4+1)=1-p(-3x+3)1-99.7%=0.3%,所以1 0000.3%=3个,即不属于区间(3,5这个尺寸范围的零件大约有3个.正态分布与统计的交汇问题【典例】近年来“双十一”已成为中国电子商务行业的年度盛事,并且逐渐影响到国际电子商务行业.某商家为了准备2021年“双十一”的广告策略,随机调查了1 000名客户在2020年“双十一” 前后10天内网购所花时间t(单位:时),并将调查结果绘制成如图所示的频率分布直方图.由频率分布直方图可以认为,这10天网购所花的时间t近似服从n(,2),其中用样本平均值代替,2=0.24.(1)计算,并利用该正态分布求p(1.51t2.49).(2)利用由样本统计获得的正态分布估计整体,将这10天网购所花时间在(2,2.98)小时内的人定义为目标客户,对目标客户发送广告提醒.现若随机抽取10 000名客户,记x为这10 000人中目标客户的人数.任取一人,求该人是目标客户的概率;问:10 000人中目标客户的人数x为何值时概率最大?附:若随机变量z服从正态分布n(,2),则p(-z+)=68.3%,p(-2z+2)=95.4%,p(-3z+3)=99.7%.0.240.49.【解析】(1)0.4(0.0500.8+0.2251.2+0.5501.6+0.8252.0+0.6002.4+0.2002.8+0.0503.2)=2,从而t服从n(2,0.24),又=0.240.49,从而p(1.51t2.49)=p(-t+)=68.3%.(2)任意抽取1名客户,该客户是目标客户的概率为p(2t2.98)=p(t+2)=12p(-2tp(x=k+1),p(x=k)p(x=k-1),得0.523c10 000k0.477c10 000k+1,0.477c10 000k0.523c10 000k-1,解得4 770-0.523k4 770+0.477 0,所以k=4 770.所以10 000人中目标客户的人数为4 770时概率最大.1.已知随机变量x服从正态分布n(3,2),则p(x3)等于 ()a.15 b. 14 c.13d.12【解析】选d.由正态分布图像知,=3为该图像的对称轴,p(x3)=12.2.随机变量x服从标准正态分布,则x的总体在区间(-3,3)内取值的概率为 ()a.99.8%b.99.7% c.94.4%d.84.1%【解析】选b.标准正态分布n(0,1),=1,区间(-3,3),即(-3,3),概率p=99.7%.1.设随机变量服从正态分布 n(1,2),则函数f(x)=x2+2x+不存在零点的概率为 ()a.14b. 13 c.12d.23【解析】选c.函数f(x)=x2+2x+不存在零点,则=4-41,因为n(1,2),所以=1,p1=12.2.“过大年,吃水饺”是我国不少地方过春节的一大习俗.2020年春节前夕, a市某质检部门随机抽取了100包某种品牌的速冻水饺,检测其某项质量指标, (1)求所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数x (同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);(2)由直方图可以认为,速冻水饺的该项质量指标值z服从正态分布n(,2),利用该正态分布,求z落在(14.55,38.45)内的概率;将频率视为概率,若某人从某超市购买了4包这种品牌的速冻水饺,记这4包速冻水饺中这种质量指标值位于(10,30)内的包数为x,求x的分布列.附:计算得所抽查的这100包速冻水饺的质量指标的标准差为=142.7511.95;若zn(,2),则p(-z+)=68.3%,p(-2z+2)=95.4%.【解析】(1)所抽取的100包速冻水饺的该项质量指标值的样本平均数为x=50.1+150.2+250.3+350.25+45