2021版高考数学一轮复习 第三章 导数及其应用 3.3 利用导数研究函数的极值、最值练习 理 北师大版

3.3利用导数研究函数的极值、最高值核心点的准确研究试验点用导数解决函数极值问题生命问题精解读1 .考虑什么：(1)来调查评价、解方程式、解不等式等问题(2)考察数学演算、直观想象、逻辑推理的核心素养和数形结合、分类和整合等数学思想如何考虑将：与函数图像、方程式、不等式、函数单调性等知识结合而求出函数极值、知道函数极值而求出参数等问题3、新趋势：函数的极值、导数的几何意义、函数图像等知识交叉调查为主学问霸权太好了一方法律1 .求函数f(x )极值的一般解题步骤(1)确定函数的定义域(2)求导数f(x )(3)求解方程式f(x)=0，求出函数定义域内全部根的(4)列表校验f(x )是f(x)=0的根x0的左右两侧的值的符号.2 .求解函数极值点或极值的参数的两个要领(1)列式：根据极值点导数为0和极值的两个条件列方程式，用未定系数法求解.(2)验证：导数值等于零不是该点为极值点的充分条件，因此用未定系数法求解时必须验证根的合理性.根据图像判定函数的极值在该图中示出了已知三维函数f(x)=ax3 bx2 cx d的图像时，(2020咸阳模拟) f(0)f(1)=【解析】f(x)=3ax2bxc；根据图像，x=-1，2，2是f(x )的两个极值点x=-1，2是方程式3ax2 2bx c=0的实数根根据与系数的关系，-2b3a=-1 2，c3a=-2所以2b=-3a，c=-6af(0)f(1)=c3a 2b c=-6a3a-3a-6a=1.答案：1根据函数f(x )的图像决定极值点的主要依据是什么？提示：局部最高(低)点的横轴是极大(小)值点求已知函数的极值(1)如果曲线y=f(x )在点(1，f(1) )处切线平行于x轴，则求出a的值.(2)求出函数f(x )的极值。【解析】(从f(x)=x-1 aex得到f(x)=1-aex .另外，曲线y=f(x )的点(1，f(1) )处的切线与x轴平行因此，如果f(1)=0、即1-ae=0，则解释为a=e .(2)f(x)=1-aex当a0时，由于f(x)0、f(x )是(，)上增加函数，因此函数f(x )没有值.当a0时，f(x)=0，ex=a，即x=ln a在x(-，ln a )情况下，f(x)0；x(ln a，)时，f(x ) 0f(x )以(-，ln a )单调减少由于以(ln a，)单调增加，因此f(x )以x=ln a取极小值，极小值为f(ln a)=ln a，没有极大值.因此，当a0时，函数f(x )没有值在a0情况下，f(x )在ln a下为极小值ln a，没有极大值.在已知函数的极值的情况下，求出参数值(范围)设f(x)=xln x-ax2 (2a-1)x，ar。(1)设1)g(x)=f(x )，求出g(x )的单调区间。(2)已知2)f(x )在x=1时取极大值，求出实数a可取范围.【解析】(1)f(x)=lnx-2ax2a得到g(x)=ln x-2ax 2a，x(0，) .g(x)=1x-2a=1-2axx .当a0，x(0，)时，g(x ) 0，函数g(x )单调地增加在a0，x0，12a时，g(x ) 0，函数g(x )单调增加，在x12a，时，g(x ) 0，函数g(x )单调减少.因此，a0时，g(x )单调增加区间为(0，)；在a0时，g(x )单调增加区间为0、12a，单调减少区间为12a、.(2)由(1)可知，f(1)=0.a0时，f(x )在(0，)内单调增加因此，在x(0，1，1 )情况下，f(x)0、f(x )单调减少在x(1，)时，f(x ) 0，f(x )单调增加.因此f(x )以x=1取极小值，不符合问题01时，由(1)可知f(x )在0、12a内单调增加，在x(0，1 )适当的情况下，在f(x)0、x1，12a的情况下，成为f(x)0.因此，f(x )在(0，1 )内单调减少，在1，12 a内单调增加，因此f(x )在x=1时取极小值，不成为问题.在a=12的情况下，12a=1，f(x )在(0，1 )内单调增加，在(1，)内单调减少，因此在x(0，)的情况下，f(x)0，f(x )单调减少，不会成为问题.在a12的情况下，在012a1、x12a、1的情况下，f(x ) 0、f(x )单调增加，在x(1，)的情况下，f(x ) 0、f(x )单调减少.因此f(x )在x=1时取极大值，符合问题意义由以上可知，实数a可取值的范围为12、.1 .可以将函数f(x )导出至r，令其导出函数为f(x )，并且如图中所示出的函数y=(1- x )-f(x )的图像，必须得出以下结论()a .函数f(x )有极大值f(2)和极小值f(1)b .函数f(x )有极大值f(-2 )和极小值f(1)c .函数f(x )有极大值f(2)和极小值f(-2 )d .函数f(x )有极大值f(-2 )和极小值f(2)【解析】选择d .从问题图可知，在x-2的情况下，在1-x3的情况下，f(x ) 0； 在-22时，通过设为1-x-1，此时设为f(x)0，函数f(x )能够以x=-2取极大值，以x=2取极小值.2 .函数f(x)=ln x ax2-32x，如果x=1是函数f(x )极大值点，则函数f(x )的极小值为.函数f(x)=ln x ax2-32x，函数定义域为(0，)，f(x)=1x2ax-32 .如果x=1是函数f(x )的极大点f(1)=0，解a=14；f(x)=ln x 14x2-32xf (x )=1x12x-32=x2-3x22x=(x-1 ) (x-2 ) 2x；f(x)0时02；函数以(0，1 )和(2，)单调递增在f(x)0时，10，原函数单调地增加，在2k 1时，求出区间1b、b中的f(x )的最大值和最小值.【解题指南】序列号题目解开了(1)利用导数的几何意义求参数用求出的方法求出函数在切点的切线倾斜度，用切点坐标和切线倾斜度的关系求出a的值(2)研究函数f(x )的单调性利用将x分类讨论的方法，结合b可取范围用求出的方法确定函数的单调性求出函数f(x )最大值求出函数的极值，再求出函数的最大值【解析】(1)f(x )的导数为f (x )=1- lnx-a x2x2f (1)=1-0- a1=1- a根据问题，f(1)-(-1)1-2=1-a即-a 11-2=1-a，则a=1.(2)由(1)得到f(x)=1-lnx-x2x200点，-ln x0这是因为f(x)0，所以f(x )以(0，1 )单调增加对于x1，为1-x20，-ln x0因此f(x)0，所以f(x )以(1，)单调减少因此，f(x )在区间(0，1 )单调增加，在区间(1，)单调减少.01b11时hb=1-1b2lnb0因此，h(b )在区间(1，)单调增加.b1时，h(b)0h(b)0f(b)f1bf(x )最小值为f1b=-bln b-1b .求函数f(x )闭区间a，b内的最大值和最小值的想法(1)如果给出的闭区间a，b不包含参数，则导出函数f(x )，f(x)=0求出区间a，b内的根，计算使导数为零的根的函数值，仅将该函数值与f(a )、f(b )进行比较，最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。(2)如果给定的闭区间a，b中包含参数，则需要导出函数f(x )，对参数进行分类研究，判断函数的单调性，由此得到函数f(x )的最大值.(2019南昌模拟)函数f(x)=ln x-2mx2-n(m，nr )。(1)研究1)f(x )的单调性(2)如果f (x )具有最大值-ln 2，则求出m n最小值.【解析】(1)函数f(x )的定义域为(0，)f(x)=1x-4mx=1-4mx2xm0时，f(x)0因此，f(x )单调地增加到(0，)在m0时，由于使f(x )为0，0 m2m，因此f(x )以0，m2m单调增加，以m2m，单调减少.(2)由(1)可知，在m0时，f(x )以0、m2m单调增加，以m2m、单调减少.因此，f(x)max=fm2m=lnm2m-2m14m-n=-ln 2-12ln m-12-n=-ln 2所以n=-12ln m-12，所以m n=m-12ln m-12如果设h(x)=x-12ln x-12(x0 )，则h(x)=1-12x=2x-12x，因此h(x )以0、12单调减少12、时单调增加，因此h(x)min=h12=12ln 2m n的最小值为12ln 2考点三用导数解决生活优化问题某食品工厂进行蘑菇精加工，每公斤蘑菇的成本为20元，每公斤蘑菇的加工费为t元(t为常数，且为2t5 )，食品工厂每公斤蘑菇的出货价格为x元(25x40 )，市场调查中(1)求该工厂每日利润y元和蘑菇出货价x元的函数关系式(2)t=5时，每公斤蘑菇的出货价格x为多少时，该工厂每天的利润y最大？ 求最大值【解题指南】序列号联想解题(1)保留系数法求函数关系根据已知的条件求出日销售函数式q=kex(k0 )，将x=30、q=100代入日销售函数式中求出k的值，得到利润y与出货价格x的关系式(2)通过求函数的最大值，求解实际问题将t=5代入函数，根据导函数求出函数单调区间，进而求出函数的最大值.【解析】(1)假设日卖q=kex(k0 )ke30=100所以k=100e30所以日卖q=100e30ex因此，y=100e30(x-20-t)ex(25x40 ) .(2)t=5时，y=100e30(x-25)exy=100e30(26-x)ex。由y 0得到x26，由y 0得到x26因此，y在区间 25，26 中单调地增加，在区间 26，40 中单调地减少，因此在x=26情况下，ymax=100e4也就是说，如果每公斤蘑菇的出货价格为26元，那么该厂每日利润最大，最大值为100e