2021高考数学一轮复习 第七章 不等式、推理与证明 7.2 一元二次不等式及其解法课件 理 新人教A版

,7.2一元二次不等式及其解法,1.会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型.2.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系.3.会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图.,最新考纲,以理解一元二次不等式的解法为主，常与集合的运算相结合考查一元二次不等式的解法，有时也在导数的应用中用到，加强函数与方程思想、分类讨论思想和数形结合思想的应用意识.在高考中常以选择题的形式考查，属于低档题，若在导数的应用中考查，难度较高.,考情考向分析,课时精练,内容索引,index,回扣基础知识训练基础题目,基础落实,一元二次不等式的解集,知识梳理,x|xx2,x|x10)的解集与其对应的函数yax2bxc的图象有什么关系？,提示ax2bxc0(a0)的解集就是其对应函数yax2bxc的图象在x轴上方的部分所对应的x的取值范围.,2.一元二次不等式ax2bxc0(0的解集为r.()(3)不等式ax2bxc0在r上恒成立的条件是a0，(x2)(x3)0，x3或x3或x0，,3.ylog2(3x22x2)的定义域是_.,解析由x23x40可知，(x4)(x1)0，得4x0的解集为_.(用区间表示),(4,1),14,6.不等式(a2)x22(a2)x40，对一切xr恒成立，则实数a的取值范围是_.,当a2时，原式化为40，不等式恒成立，2a2.即实数a的取值范围是(2,2.,(2,2,典题深度剖析重点多维探究,题型突破,一元二次不等式的求解,题型一,多维探究,命题点1不含参的不等式例1(2019新乡模拟)已知集合ax|x24x5，则下列选项中正确的是a.1.2ab.30.9ac.log230ad.an1,2,3,4,解析因为ax|1x5，1.2a，所以选项a错误；130.93,30.9a，所以选项b错误；0log230log2325，log230a，所以选项c正确；an0,1,2,3,4，所以选项d错误.故选c.,命题点2含参不等式例2解关于x的不等式ax2(a1)x10).,解原不等式变为(ax1)(x1)0，,当a1时，解集为；,当a1时，不等式的解集为；,对含参的不等式，应对参数进行分类讨论(1)根据二次项系数为正、负及零进行分类.(2)根据判别式与0的关系判断根的个数.(3)有两个根时，有时还需根据两根的大小进行讨论.,思维升华,siweishenghua,跟踪训练1(1)(2019北京市海淀区期末)不等式x22x31b.x|x3c.x|1x3d.x|3x1,解析由x22x30得(x3)(x1)0，解得3a2(ar).,解原不等式可化为12x2axa20，即(4xa)(3xa)0，令(4xa)(3xa)0，,当a0时，不等式的解集为(，0)(0，)；,一元二次不等式恒成立问题,题型二,多维探究,命题点1在r上的恒成立问题例3已知函数f(x)mx2mx1.若对于xr，f(x)0恒成立，求实数m的取值范围.,解当m0时，f(x)10恒成立.,综上，4m0，故m的取值范围是(4,0.,命题点2在给定区间上的恒成立问题例4已知函数f(x)mx2mx1.若对于x1,3，f(x)5m恒成立，求实数m的取值范围.,解要使f(x)0时，g(x)在1,3上是增函数，所以g(x)maxg(3)，即7m60，,当m0时，60恒成立；当m0时，g(x)在1,3上是减函数，,所以g(x)maxg(1)，即m60，所以m6，所以m0.,若将“f(x)5m恒成立”改为“f(x)5m无解”，如何求m的取值范围？,引申探究1,解若f(x)5m无解，即f(x)5m恒成立，,即m的取值范围为6，).,若将“f(x)5m恒成立”改为“存在x，使f(x)5m成立”，如何求m的取值范围？,引申探究2,解由题意知f(x)5m有解，,又x1,3，得m6，即m的取值范围为(，6).,命题点3给定参数范围的恒成立问题例5若mx2mx10对于m1,2恒成立，求实数x的取值范围.,解设g(m)mx2mx1(x2x)m1，其图象是直线，当m1,2时，图象为一条线段，,解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数.,思维升华,siweishenghua,跟踪训练2函数f(x)x2ax3.(1)若当xr时，f(x)a恒成立，求实数a的取值范围；,解当xr时，x2ax3a0恒成立，需a24(3a)0，即a24a120，解得6a2，实数a的取值范围是6,2.,(2)若当x2,2时，f(x)a恒成立，求实数a的取值范围；,解由题意可转化为x2ax3a0在x2,2上恒成立，则(x2ax3a)min0(x2,2).令g(x)x2ax3a，x2,2，,解得6a2，4a2；,解得a7，7a0)有不相等的两根为x1，x2，且x1x2，相应的二次函数为f(x)ax2bxc，方程的根即为二次函数的图象与x轴交点的横坐标，它们的分布情况见下面各表(每种情况对应的均是充要条件).,表一：(两根与0的大小比较即根的正负情况),表二：(两根与k的大小比较),表三：(根在区间上的分布),根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间(m，n)外，即在区间两侧x1n，(图形分别如下)需满足的条件是,对以上的根的分布表中，两根有且仅有一根在(m，n)内有以下特殊情况：()若f(m)0或f(n)0，则此时f(m)f(n)0不成立，但对于这种情况是知道了方程有一根为m或n，可以求出另外一根，然后可以根据另一根在区间(m，n)内，从而可以求出参数的值.如方程mx2(m2)x20在区间(1,3)上有一根，因为f(1)0，所以mx2(m2)x2(x1)(mx2)，另一根为,()方程有两个相等的根，且这个根在区间(m，n)内，即0，此时由0可以求出参数的值，然后再将参数的值带入方程，求出相应的根，检验根是否在给定的区间内，如若不在，舍去相应的参数.如方程x24mx2m60有且只有一根在区间(3,0)内，求m的取值范围.分析：由f(3)f(0)0即(14m15),例1已知二次方程(2m1)x22mx(m1)0有一正根和一负根，求实数m的取值范围.,解设f(x)(2m1)x22mx(m1)，由(2m1)f(0)0，即(2m1)(m1)0，,例2已知方程2x2(m1)xm0有两个不等正实根，求实数m的取值范围.,解设f(x)2x2(m1)xm，,例3已知二次函数f(x)(m2)x2(2m4)x3m3与x轴有两个交点，一个大于1，一个小于1，求实数m的取值范围.,解由(m2)f(1)0，,课时精练,基础保分练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1.(2019武汉调研)已知集合ax|x2x20，bx|x23x0，则ab等于a.(0,2)b.(1,0)c.(3,2)d.(1,3),解析ax|1x2，bx|30在r上恒成立”的充要条件是,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析不等式x2xm0在r上恒成立，,4.若不等式x2(a1)xa0的解集是4,3的子集，则a的取值范围是a.4,1b.4,3c.1,3d.1,3,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析原不等式为(xa)(x1)0，当a1时，不等式的解集为1，a，此时只要a3即可，即10知方程恒有两个不等实根，又因为x1x220，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,5.若不等式x2ax20在区间1,5上有解，则a的取值范围是,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,6.在关于x的不等式x2(a1)xa0的解集中至多包含1个整数，则a的取值范围是a.(3,5)b.(2,4)c.1,3d.2,4,解析因为关于x的不等式x2(a1)xa1时，不等式的解集为x|1xa，当a1时，不等式的解集为x|ax1，当a1时，不等式的解集为，要使得解集中至多包含1个整数，则a1或16或x0(答案不唯一),则满足条件的一组有序实数对(a，b)的值可以是(2，1).,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,(2，1)(答案不唯一),9.(2019江西省宜丰中学月考)在r上定义运算：xyx(1y)，若不等式(xa)(xa)1对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为_.,解析由题意，可知不等式(xa)(xa)0对任意实数x都成立，所以14(a2a1)0时，f(x)(x1)21在0,1上的值域为0,1，故在x1,0上的值域为x1,0；如图所示，当函数f(x)的图象在直线yx的下方时，得x的取值范围是(1,0)(1，).,1,0,(1,0)(1，),1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,11.(2019衡水第十三中学质检)已知关于x的不等式x2axb0.(1)若该不等式的解集为(4,2)，求a，b的值；,解得a2，b8.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,(2)若ba1，求此不等式的解集.,解当ba1时，x2axb0x2ax(a1)1，即a2时，原不等式的解集为(1，a1).综上，当a2时，不等式的解集为(1，a1).,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,12.甲厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1x10)，每小时可获得的利润是100元.(1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，求x的取值范围；,又1x10，可解得3x10.故要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，x的取值范围是3,10.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大，则甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润.,故当x6时，ymax457500.故甲厂以6千克/小时的生产速度生产900千克该产品时获得的利润最大，最大利润为457500元.,技能提升练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,13.设a0，(4x2a)(2xb)0在(a，b)上恒成立，则ba的最大值为,解析由题意知a0，ab，则当b0时，x(a，b)，2xb0时，(4x2a)(2xb)0在(a，b)上恒成立，当x0时，(4x2a)(2xb)ab0，则实数a的取值范围是_.,(1,5,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析设f(x)x22(a2)xa，当4(a2)24a0对xr恒成立，符合题意；当a1时，f(1)0，不符合题意；当a4时，f(2)0符合题意；,即4a5.综上所述，实数a的取值范围是(1,5.,拓展冲刺练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,15.(2020上海市金山区模拟)若集合axz|x2(a2)x2a0中有且只有一个元素，则正实数a的取值范围是_.,解析f(x)x2(a2)x2a0，即x22x1a(x1)1，分别令y1x22x1，y2a(x1)1，易知y2过定点(1，1)，在同一坐标系中画出两个函数的图象，如图所示，若集合axz|f(x)0中有且只有一个元素，结合图象可得，即点(0,1)和点(2,1)在直线上或者在直线上方，点(1,0)在直线下方，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,16.(2019南京六校联考)已知函数f(x)x22ax2a1.若对任意的a(0,3)，存在x00,4，使得t|f(x0)|成立，求实数t的取值范围.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解f(x)x22ax2a1的对称轴为xa，且a(0,3)，函数f(x)x22ax2a1在0，a上是减函数，在a,4上是增函数；函数f(x)x22ax