2021高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何 9.5 椭圆 第2课时 直线与椭圆教学案 理 新人教A版

第2课时直线与椭圆直线与椭圆的位置关系1.若直线ykx1与椭圆1总有公共点，则m的取值范围是()a.m1b.m0c.0m5且m1d.m1且m5答案d解析方法一由于直线ykx1恒过点(0，1)，所以点(0，1)必在椭圆内或椭圆上，则00且m5，5k2m10，m1且m5.2.已知直线l：y2xm，椭圆c：1.试问当m取何值时，直线l与椭圆c：(1)有两个不重合的公共点；(2)有且只有一个公共点；(3)没有公共点.解将直线l的方程与椭圆c的方程联立，得方程组将代入，整理得9x28mx2m240.方程根的判别式(8m)249(2m24)8m2144.(1)当0，即3m3时，方程有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解.这时直线l与椭圆c有两个不重合的公共点.(2)当0，即m3时，方程有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解.这时直线l与椭圆c有两个互相重合的公共点，即直线l与椭圆c有且只有一个公共点.(3)当0，即m3时，方程没有实数根，可知原方程组没有实数解.这时直线l与椭圆c没有公共点.思维升华研究直线与椭圆位置关系的方法(1)研究直线和椭圆的位置关系，一般转化为研究直线方程与椭圆方程组成的方程组解的个数.(2)对于过定点的直线，也可以通过定点在椭圆内部或椭圆上判定直线和椭圆有交点.弦长及中点弦问题命题点1弦长问题例1斜率为1的直线l与椭圆y21相交于a，b两点，则|ab|的最大值为()a.2b.c.d.答案c解析设a，b两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，直线l的方程为yxt，由消去y，得5x28tx4(t21)0，则x1x2t，x1x2.|ab|x1x2|，当t0时，|ab|max.命题点2中点弦问题例2已知p(1，1)为椭圆1内一定点，经过p引一条弦，使此弦被p点平分，则此弦所在的直线方程为_.答案x2y30解析方法一易知此弦所在直线的斜率存在，设其方程为y1k(x1)，弦所在的直线与椭圆相交于a，b两点，a(x1，y1)，b(x2，y2).由消去y得，(2k21)x24k(k1)x2(k22k1)0，x1x2，又x1x22，2，解得k.经检验，k满足题意.故此弦所在的直线方程为y1(x1)，即x2y30.方法二易知此弦所在直线的斜率存在，设斜率为k，弦所在的直线与椭圆相交于a，b两点，设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则1，1，得0，x1x22，y1y22，y1y20，k.经检验，k满足题意.此弦所在的直线方程为y1(x1)，即x2y30.思维升华 (1)解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，应用根与系数的关系，解决相关问题.涉及中点弦的问题时用“点差法”解决，往往会更简单.记住必须检验.(2)设直线与椭圆的交点坐标为a(x1，y1)，b(x2，y2)，则|ab|(k为直线斜率).(3)利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式.跟踪训练1(1)已知椭圆两顶点a(1，0)，b(1，0)，过焦点f(0，1)的直线l与椭圆交于c，d两点，当|cd|时，则直线l的方程为_.答案xy10或xy10.解析由题意得b1，c1.a2b2c2112.椭圆方程为x21.若直线l斜率不存在时，|cd|2，不符合题意.若l斜率存在时，设l的方程为ykx1，联立得(k22)x22kx10.8(k21)0恒成立.设c(x1，y1)，d(x2，y2).x1x2，x1x2.|cd|x1x2|.即，解得k22，k.直线l方程为xy10或xy10.(2)(2019石家庄模拟)已知椭圆1(ab0)，点f为左焦点，点p为下顶点，平行于fp的直线l交椭圆于a，b两点，且ab的中点为m，则椭圆的离心率为()a.b.c.d.答案a解析设a(x1，y1)，b(x2，y2).ab的中点为m，x1x22，y1y21.pfl，kpfkl.1，1.0，0，可得2bca2，4c2(a2c2)a4，化为4e44e210，解得e2，又0eb0)的左焦点为f，上顶点为b.已知椭圆的短轴长为4，离心率为.(1)求椭圆的方程；(2)设点p在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点m为直线pb与x轴的交点，点n在y轴的负半轴上，若|on|of|(o为原点)，且opmn，求直线pb的斜率.解(1)设椭圆的半焦距为c，依题意知，2b4，又a2b2c2，可得a，b2，c1.所以，椭圆的方程为1.(2)由题意，设p(xp，yp)(xp0)，m(xm，0).设直线pb的斜率为k(k0)，又b(0，2)，则直线pb的方程为ykx2，与椭圆方程联立整理得(45k2)x220kx0，可得xp，代入ykx2得yp，进而直线op的斜率为.在ykx2中，令y0，得xm.由题意得n(0，1)，所以直线mn的斜率为.由opmn，得1，化简得k2，从而k.所以，直线pb的斜率为或.思维升华(1)解答直线与椭圆相交的题目时，常用到“设而不求”的方法，即联立直线和椭圆的方程，消去y(或x)得一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件，建立有关参变量的等量关系求解.(2)涉及直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形.跟踪训练2已知椭圆c的两个焦点分别为f1(1，0)，f2(1，0)，短轴的两个端点分别为b1，b2.(1)若f1b1b2为等边三角形，求椭圆c的方程；(2)若椭圆c的短轴长为2，过点f2的直线l与椭圆c相交于p，q两点，且，求直线l的方程.解(1)由题意知，f1b1b2为等边三角形，则即解得故椭圆c的方程为3y21.(2)易知椭圆c的方程为y21，当直线l的斜率不存在时，其方程为x1，不符合题意；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为yk(x1)，由得(2k21)x24k2x2(k21)0，8(k21)0，设p(x1，y1)，q(x2，y2)，则x1x2，x1x2，(x11，y1)，(x21，y2)，因为，所以0，即(x11)(x21)y1y2x1x2(x1x2)1k2(x11)(x21)(k21)x1x2(k21)(x1x2)k210，解得k2，即k，故直线l的方程为xy10或xy10.1.若直线mxny4与o：x2y24没有交点，则过点p(m，n)的直线与椭圆1的交点个数是()a.至多为1b.2c.1d.0答案b解析由题意知，2，即b0)的右焦点为f(3，0)，过点f的直线交e于a，b两点，若ab的中点为m(1，1)，则椭圆e的方程为()a.1b.1c.1d.1答案d解析kab，kom1，由kabkom，得，a22b2.c3，a218，b29，椭圆e的方程为1.6.(2019南昌模拟)椭圆ax2by21(a0，b0)与直线y1x交于a，b两点，过原点与线段ab中点的直线的斜率为，则的值为()a.b.c.d.答案b解析方法一设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则axby1，axby1，即axax(byby)，则1，1，由题意知，1，过点与原点的直线的斜率为，即，(1)1，故选b.方法二由消去y，得(ab)x22bxb10，可得ab中点p的坐标为，kop，.7.直线ykxk1与椭圆1的位置关系是_.答案相交解析由于直线ykxk1k(x1)1过定点(1，1)，而(1，1)在椭圆内，故直线与椭圆必相交.8.设f1，f2为椭圆c：1(ab0)的左、右焦点，经过f1的直线交椭圆c于a，b两点，若f2ab是面积为4的等边三角形，则椭圆c的方程为_.答案1解析f2ab是面积为4的等边三角形，abx轴，a，b两点的横坐标为c，代入椭圆方程，可求得|f1a|f1b|.又|f1f2|2c，f1f2a30，2c.又2c4，a2b2c2，由解得a29，b26，c23，椭圆c的方程为1.9.设f1，f2分别是椭圆y21的左、右焦点，若椭圆上存在一点p，使()0(o为坐标原点)，则f1pf2的面积是_.答案1解析()()0，pf1pf2，f1pf290.设|pf1|m，|pf2|n，则mn4，m2n212，2mn4，mn2，mn1.10.(2020湖北部分重点中学联考)已知f1，f2是椭圆c：1(ab0)的左、右焦点，过左焦点f1的直线与椭圆c交于a，b两点，且|af1|3|bf1|，|ab|bf2|，则椭圆c的离心率为_.答案解析设|bf1|k，则|af1|3k，|bf2|4k.由|bf1|bf2|af1|af2|2a，得2a5k，|af2|2k.在abf2中，cosbaf2，又在af1f2中，cosf1af2，所以2ck，故离心率e.11.已知椭圆c：1，过椭圆c上一点p(1，)作倾斜角互补的两条直线pa，pb，分别交椭圆c于a，b两点，则直线ab的斜率为_.答案解析设a(x1，y1)，b(x2，y2)，同时设pa的方程为yk(x1)，代入椭圆方程化简，得(k22)x22k(k)xk22k20，显然1和x1是这个方程的两解，因此x1，y1，由k代替x1，y1中的k，得x2，y2，所以.故直线ab的斜率为.12.设f1，f2分别是椭圆e：1(ab0)的左、右焦点，e的离心率为，点(0，1)是e上一点.(1)求椭圆e的方程；(2)过点f1的直线交椭圆e于a，b两点，且2，求直线bf2的方程.解(1)由题意知，b1，且e2，解得a22，所以椭圆e的方程为y21.(2)由题意知，直线ab的斜率存在且不为0，故可设直线ab的方程为xmy1，设a(x1，y1)，b(x2，y2).由得(m22)y22my10，则y1y2，y1y2，因为f1(1，0)，所以(1x2，y2)，(x11，y1)，由2可得，y22y1，由可得b，则或，所以直线bf2的方程为x6y0或x6y0.13.(2019全国100所名校联考)已知椭圆c：x21(b0，且b1)与直线l：yxm交于m，n两点，b为上顶点.若|bm|bn|，则椭圆c的离心率的取值范围是()a.b.c.d.答案c解析设直线yxm与椭圆x21的交点为m(x1，y1)，n(x2，y2)，联立得(b21)x22mxm2b20，所以x1x2，x1x2，(2m)24(b21)(m2b2)4b2(b21m2)0.设线段mn的中点为g，知g点坐标为，因为|bm|bn|，所以直线bg垂直平分线段mn，所以直线bg的方程为yxb，且经过点g，可得b，解得m.因为b21m20，所以b2120，解得0b，因为e21b2，所以eb0)的左、右焦点分别为f1(c，0)，f2(c，0)，斜率为的直线l与椭圆c交于a，b两点.若abf1的重心为g，则椭圆c的离心率为_.答案解析设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则1，1，两式相减得0.(*)因为abf1的重心为g，所以故代入(*)式得0，所以，即a23b2，所以椭圆c的离心率e.15.已知椭圆具有如下性质：若椭圆的方程为1(ab0)，则椭圆在其上一点a(x0，y0)处的切线方程为1.试运用该性质解决以下问题，椭圆c1：1(ab0)，其焦距为2，且过点，点b为c1在第一象限中的任意一点，过b作c1的切线l，l分别与x轴和y轴的正半轴交于c，d两点，则ocd面积的最小值为()a.b.c.d.2答案b解析由题意可得2c2，即c1，a2b21，将点代入椭圆方程，可得1，解得a，b1，即椭圆的方程为y21，设b(x2，y2)，则椭圆c1在点b处的切线方程为xy2y1，令x0，得yd，令y0，可得xc，所以socd，又点b为椭圆在第一象限上的点，所以x20，y20，y1，即有2，即socd，当且仅当y，即点b的坐标为时，ocd面积取得最小值，故选b.16.已知椭圆c的两个焦点分别为f1(，0)，f2(，0)，且椭圆c过点p.(1)求椭圆c的标准方程；(2)若与直线op(o为坐标原点)平行的直线交椭圆