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文档简介

第2课时直线与椭圆直线与椭圆的位置关系1.若直线ykx1与椭圆1总有公共点,则m的取值范围是()a.m1b.m0c.0m5且m1d.m1且m5答案d解析方法一由于直线ykx1恒过点(0,1),所以点(0,1)必在椭圆内或椭圆上,则00且m5,5k2m10,m1且m5.2.已知直线l:y2xm,椭圆c:1.试问当m取何值时,直线l与椭圆c:(1)有两个不重合的公共点;(2)有且只有一个公共点;(3)没有公共点.解将直线l的方程与椭圆c的方程联立,得方程组将代入,整理得9x28mx2m240.方程根的判别式(8m)249(2m24)8m2144.(1)当0,即3m3时,方程有两个不同的实数根,可知原方程组有两组不同的实数解.这时直线l与椭圆c有两个不重合的公共点.(2)当0,即m3时,方程有两个相同的实数根,可知原方程组有两组相同的实数解.这时直线l与椭圆c有两个互相重合的公共点,即直线l与椭圆c有且只有一个公共点.(3)当0,即m3时,方程没有实数根,可知原方程组没有实数解.这时直线l与椭圆c没有公共点.思维升华研究直线与椭圆位置关系的方法(1)研究直线和椭圆的位置关系,一般转化为研究直线方程与椭圆方程组成的方程组解的个数.(2)对于过定点的直线,也可以通过定点在椭圆内部或椭圆上判定直线和椭圆有交点.弦长及中点弦问题命题点1弦长问题例1斜率为1的直线l与椭圆y21相交于a,b两点,则|ab|的最大值为()a.2b.c.d.答案c解析设a,b两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),直线l的方程为yxt,由消去y,得5x28tx4(t21)0,则x1x2t,x1x2.|ab|x1x2|,当t0时,|ab|max.命题点2中点弦问题例2已知p(1,1)为椭圆1内一定点,经过p引一条弦,使此弦被p点平分,则此弦所在的直线方程为_.答案x2y30解析方法一易知此弦所在直线的斜率存在,设其方程为y1k(x1),弦所在的直线与椭圆相交于a,b两点,a(x1,y1),b(x2,y2).由消去y得,(2k21)x24k(k1)x2(k22k1)0,x1x2,又x1x22,2,解得k.经检验,k满足题意.故此弦所在的直线方程为y1(x1),即x2y30.方法二易知此弦所在直线的斜率存在,设斜率为k,弦所在的直线与椭圆相交于a,b两点,设a(x1,y1),b(x2,y2),则1,1,得0,x1x22,y1y22,y1y20,k.经检验,k满足题意.此弦所在的直线方程为y1(x1),即x2y30.思维升华 (1)解决直线与椭圆的位置关系的相关问题,其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立,应用根与系数的关系,解决相关问题.涉及中点弦的问题时用“点差法”解决,往往会更简单.记住必须检验.(2)设直线与椭圆的交点坐标为a(x1,y1),b(x2,y2),则|ab|(k为直线斜率).(3)利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的,不要忽略判别式.跟踪训练1(1)已知椭圆两顶点a(1,0),b(1,0),过焦点f(0,1)的直线l与椭圆交于c,d两点,当|cd|时,则直线l的方程为_.答案xy10或xy10.解析由题意得b1,c1.a2b2c2112.椭圆方程为x21.若直线l斜率不存在时,|cd|2,不符合题意.若l斜率存在时,设l的方程为ykx1,联立得(k22)x22kx10.8(k21)0恒成立.设c(x1,y1),d(x2,y2).x1x2,x1x2.|cd|x1x2|.即,解得k22,k.直线l方程为xy10或xy10.(2)(2019石家庄模拟)已知椭圆1(ab0),点f为左焦点,点p为下顶点,平行于fp的直线l交椭圆于a,b两点,且ab的中点为m,则椭圆的离心率为()a.b.c.d.答案a解析设a(x1,y1),b(x2,y2).ab的中点为m,x1x22,y1y21.pfl,kpfkl.1,1.0,0,可得2bca2,4c2(a2c2)a4,化为4e44e210,解得e2,又0eb0)的左焦点为f,上顶点为b.已知椭圆的短轴长为4,离心率为.(1)求椭圆的方程;(2)设点p在椭圆上,且异于椭圆的上、下顶点,点m为直线pb与x轴的交点,点n在y轴的负半轴上,若|on|of|(o为原点),且opmn,求直线pb的斜率.解(1)设椭圆的半焦距为c,依题意知,2b4,又a2b2c2,可得a,b2,c1.所以,椭圆的方程为1.(2)由题意,设p(xp,yp)(xp0),m(xm,0).设直线pb的斜率为k(k0),又b(0,2),则直线pb的方程为ykx2,与椭圆方程联立整理得(45k2)x220kx0,可得xp,代入ykx2得yp,进而直线op的斜率为.在ykx2中,令y0,得xm.由题意得n(0,1),所以直线mn的斜率为.由opmn,得1,化简得k2,从而k.所以,直线pb的斜率为或.思维升华(1)解答直线与椭圆相交的题目时,常用到“设而不求”的方法,即联立直线和椭圆的方程,消去y(或x)得一元二次方程,然后借助根与系数的关系,并结合题设条件,建立有关参变量的等量关系求解.(2)涉及直线方程的设法时,务必考虑全面,不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形.跟踪训练2已知椭圆c的两个焦点分别为f1(1,0),f2(1,0),短轴的两个端点分别为b1,b2.(1)若f1b1b2为等边三角形,求椭圆c的方程;(2)若椭圆c的短轴长为2,过点f2的直线l与椭圆c相交于p,q两点,且,求直线l的方程.解(1)由题意知,f1b1b2为等边三角形,则即解得故椭圆c的方程为3y21.(2)易知椭圆c的方程为y21,当直线l的斜率不存在时,其方程为x1,不符合题意;当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为yk(x1),由得(2k21)x24k2x2(k21)0,8(k21)0,设p(x1,y1),q(x2,y2),则x1x2,x1x2,(x11,y1),(x21,y2),因为,所以0,即(x11)(x21)y1y2x1x2(x1x2)1k2(x11)(x21)(k21)x1x2(k21)(x1x2)k210,解得k2,即k,故直线l的方程为xy10或xy10.1.若直线mxny4与o:x2y24没有交点,则过点p(m,n)的直线与椭圆1的交点个数是()a.至多为1b.2c.1d.0答案b解析由题意知,2,即b0)的右焦点为f(3,0),过点f的直线交e于a,b两点,若ab的中点为m(1,1),则椭圆e的方程为()a.1b.1c.1d.1答案d解析kab,kom1,由kabkom,得,a22b2.c3,a218,b29,椭圆e的方程为1.6.(2019南昌模拟)椭圆ax2by21(a0,b0)与直线y1x交于a,b两点,过原点与线段ab中点的直线的斜率为,则的值为()a.b.c.d.答案b解析方法一设a(x1,y1),b(x2,y2),则axby1,axby1,即axax(byby),则1,1,由题意知,1,过点与原点的直线的斜率为,即,(1)1,故选b.方法二由消去y,得(ab)x22bxb10,可得ab中点p的坐标为,kop,.7.直线ykxk1与椭圆1的位置关系是_.答案相交解析由于直线ykxk1k(x1)1过定点(1,1),而(1,1)在椭圆内,故直线与椭圆必相交.8.设f1,f2为椭圆c:1(ab0)的左、右焦点,经过f1的直线交椭圆c于a,b两点,若f2ab是面积为4的等边三角形,则椭圆c的方程为_.答案1解析f2ab是面积为4的等边三角形,abx轴,a,b两点的横坐标为c,代入椭圆方程,可求得|f1a|f1b|.又|f1f2|2c,f1f2a30,2c.又2c4,a2b2c2,由解得a29,b26,c23,椭圆c的方程为1.9.设f1,f2分别是椭圆y21的左、右焦点,若椭圆上存在一点p,使()0(o为坐标原点),则f1pf2的面积是_.答案1解析()()0,pf1pf2,f1pf290.设|pf1|m,|pf2|n,则mn4,m2n212,2mn4,mn2,mn1.10.(2020湖北部分重点中学联考)已知f1,f2是椭圆c:1(ab0)的左、右焦点,过左焦点f1的直线与椭圆c交于a,b两点,且|af1|3|bf1|,|ab|bf2|,则椭圆c的离心率为_.答案解析设|bf1|k,则|af1|3k,|bf2|4k.由|bf1|bf2|af1|af2|2a,得2a5k,|af2|2k.在abf2中,cosbaf2,又在af1f2中,cosf1af2,所以2ck,故离心率e.11.已知椭圆c:1,过椭圆c上一点p(1,)作倾斜角互补的两条直线pa,pb,分别交椭圆c于a,b两点,则直线ab的斜率为_.答案解析设a(x1,y1),b(x2,y2),同时设pa的方程为yk(x1),代入椭圆方程化简,得(k22)x22k(k)xk22k20,显然1和x1是这个方程的两解,因此x1,y1,由k代替x1,y1中的k,得x2,y2,所以.故直线ab的斜率为.12.设f1,f2分别是椭圆e:1(ab0)的左、右焦点,e的离心率为,点(0,1)是e上一点.(1)求椭圆e的方程;(2)过点f1的直线交椭圆e于a,b两点,且2,求直线bf2的方程.解(1)由题意知,b1,且e2,解得a22,所以椭圆e的方程为y21.(2)由题意知,直线ab的斜率存在且不为0,故可设直线ab的方程为xmy1,设a(x1,y1),b(x2,y2).由得(m22)y22my10,则y1y2,y1y2,因为f1(1,0),所以(1x2,y2),(x11,y1),由2可得,y22y1,由可得b,则或,所以直线bf2的方程为x6y0或x6y0.13.(2019全国100所名校联考)已知椭圆c:x21(b0,且b1)与直线l:yxm交于m,n两点,b为上顶点.若|bm|bn|,则椭圆c的离心率的取值范围是()a.b.c.d.答案c解析设直线yxm与椭圆x21的交点为m(x1,y1),n(x2,y2),联立得(b21)x22mxm2b20,所以x1x2,x1x2,(2m)24(b21)(m2b2)4b2(b21m2)0.设线段mn的中点为g,知g点坐标为,因为|bm|bn|,所以直线bg垂直平分线段mn,所以直线bg的方程为yxb,且经过点g,可得b,解得m.因为b21m20,所以b2120,解得0b,因为e21b2,所以eb0)的左、右焦点分别为f1(c,0),f2(c,0),斜率为的直线l与椭圆c交于a,b两点.若abf1的重心为g,则椭圆c的离心率为_.答案解析设a(x1,y1),b(x2,y2),则1,1,两式相减得0.(*)因为abf1的重心为g,所以故代入(*)式得0,所以,即a23b2,所以椭圆c的离心率e.15.已知椭圆具有如下性质:若椭圆的方程为1(ab0),则椭圆在其上一点a(x0,y0)处的切线方程为1.试运用该性质解决以下问题,椭圆c1:1(ab0),其焦距为2,且过点,点b为c1在第一象限中的任意一点,过b作c1的切线l,l分别与x轴和y轴的正半轴交于c,d两点,则ocd面积的最小值为()a.b.c.d.2答案b解析由题意可得2c2,即c1,a2b21,将点代入椭圆方程,可得1,解得a,b1,即椭圆的方程为y21,设b(x2,y2),则椭圆c1在点b处的切线方程为xy2y1,令x0,得yd,令y0,可得xc,所以socd,又点b为椭圆在第一象限上的点,所以x20,y20,y1,即有2,即socd,当且仅当y,即点b的坐标为时,ocd面积取得最小值,故选b.16.已知椭圆c的两个焦点分别为f1(,0),f2(,0),且椭圆c过点p.(1)求椭圆c的标准方程;(2)若与直线op(o为坐标原点)平行的直线交椭圆

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