2021高考数学一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数 Ⅰ 2.8 函数与方程教学案 理 新人教A版

2.8函数与方程最新考纲考情考向分析结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数.利用函数零点的存在性定理或函数的图象，判断零点个数或求相关参数的范围，是高考的热点，题型以选择、填空题为主，也可和导数等知识交汇出现解答题，中高档难度.1函数的零点(1)函数零点的定义对于函数yf(x)(xd)，把使f(x)0的实数x叫做函数yf(x)(xd)的零点(2)三个等价关系方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图象与x轴有交点函数yf(x)有零点(3)函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数yf(x)在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)0)的图象与零点的关系000)的图象与x轴的交点(x1,0)，(x2,0)(x1,0)无交点零点个数210概念方法微思考函数f(x)的图象连续不断，是否可得到函数f(x)只有一个零点？提示不能题组一思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点()(2)函数yf(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则f(a)f(b)0.()(3)二次函数yax2bxc(a0)在b24ac0时没有零点()(4)f(x)x2，g(x)2x，h(x)log2x，当x(4，)时，恒有h(x)f(x)g(x)()题组二教材改编2函数f(x)lnx的零点所在的大致区间是()a(1,2) b(2,3)c.和(3,4) d(4，)答案b解析f(2)ln210，且函数f(x)的图象在(0，)上连续不断，f(x)为增函数，f(x)的零点在区间(2,3)内3函数f(x)ex3x的零点个数是()a0b1c2d3答案b解析由f(x)ex30，得f(x)在r上单调递增，又f(1)30，因此函数f(x)有且只有一个零点4若函数f(x)x24xa存在两个不同的零点，则实数a的取值范围是_答案(，4)题组三易错自纠5已知函数f(x)x(x0)，g(x)xex，h(x)xlnx(x0)的零点分别为x1，x2，x3，则()ax1x2x3bx2x1x3cx2x3x1dx3x10)，yex，ylnx(x0)的图象，如图所示，可知选c.6若函数f(x)2ax2x1在(0,1)内恰有一个零点，则实数a的取值范围是()a(1,1) b1，)c(1，) d(2，)答案c解析当a0时，函数的零点是x1，不符合题意当a0时，若0，f(0)f(1)1.若0，即a，函数的零点是x2，不符合题意，故选c.函数零点所在区间的判定1函数f(x)lnx的零点所在的区间是()a(1,2) b(2,3)c(3,4) d(4,5)答案b解析函数f(x)lnx在(1，)上是增函数，且在(1，)上连续因为f(2)ln220，所以f(2)f(3)0，所以函数的零点所在的区间是(2,3)2若abc，则函数f(x)(xa)(xb)(xb)(xc)(xc)(xa)的两个零点分别位于区间()a(a，b)和(b，c)内b(，a)和(a，b)内c(b，c)和(c，)内d(，a)和(c，)内答案a解析函数yf(x)是开口向上的二次函数，最多有两个零点，由于abc，则ab0，ac0，bc0，f(b)(bc)(ba)0.所以f(a)f(b)0，f(b)f(c)0且a1)当2a3b4时，函数f(x)的零点x0(n，n1)，nn*，则n_.答案2解析对于函数ylogax，当x2时，可得y1，在同一坐标系中画出函数ylogax，yxb的图象，判断两个函数图象的交点的横坐标在(2,3)内，函数f(x)的零点x0(n，n1)时，n2.思维升华判断函数零点所在区间的基本依据是零点存在性定理对于含有参数的函数的零点区间问题，往往要结合图象进行分析，一般是转化为两函数图象的交点，分析其横坐标的情况进行求解函数零点个数的判定例1(1)函数f(x)的零点个数是_答案2解析当x0时，令x220，解得x(正根舍去)，所以在(，0上，f(x)有一个零点；当x0时，f(x)20恒成立，所以f(x)在(0，)上是增函数又因为f(2)2ln20，所以f(x)在(0，)上有一个零点，综上，函数f(x)的零点个数为2.(2)(2019秦皇岛模拟)函数f(x)的零点个数是_答案3解析当x0时，作出函数yln x和yx22x的图象，由图知，当x0时，f(x)有2个零点；当x0时，由f(x)0，得x.综上，f(x)有3个零点(3)函数f(x)2xx32在区间(0,1)内的零点个数是()a0b1c2d3答案b解析方法一f(0)f(1)(1)110，且函数在定义域上单调递增且连续，函数f(x)在区间(0,1)内有且只有1个零点方法二设y12x，y22x3，在同一坐标系中画出两函数的图象如图所示，在区间(0,1)内，两图象的交点个数即为f(x)的零点个数故函数f(x)在区间(0,1)内有且只有1个零点思维升华函数零点个数的判定有下列几种方法(1)直接求零点：令f(x)0，如果能求出解，那么有几个解就有几个零点(2)零点存在性定理：利用该定理不仅要求函数在a，b上是连续的曲线，且f(a)f(b)0，还必须结合函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点(3)画两个函数图象，看其交点的个数有几个，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点跟踪训练1(1)已知函数f(x)则函数g(x)f(1x)1的零点个数为()a1b2c3d4答案c解析g(x)f(1x)1易知当x1时，函数g(x)有1个零点；当x1时，函数g(x)有2个零点，所以函数g(x)的零点共有3个，故选c.(2)函数f(x)|x|cosx在(，)内的零点个数为()a0b1c2d无穷多个答案c解析求解方程|x|cos x在(，)内根的个数问题，可转化为求解函数h(x)|x|和g(x)cos x在(，)内的交点个数问题h(x)|x|和g(x)cos x的图象如图所示，显然有两交点，即原方程有且仅有两个根函数零点的应用命题点1根据函数零点个数求参数例2(1)若函数f(x)x2ax1在区间上有零点，则实数a的取值范围是()a(2，) b2，)c.d.答案d解析由题意知方程axx21在上有实数解，即ax在上有解，设tx，x，则t的取值范围是.所以实数a的取值范围是.(2)(2018全国)已知函数f(x)g(x)f(x)xa.若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是()a1,0) b0，)c1，) d1，)答案c解析令h(x)xa，则g(x)f(x)h(x)在同一坐标系中画出yf(x)，yh(x)图象的示意图，如图所示若g(x)存在2个零点，则yf(x)的图象与yh(x)的图象有2个交点由图知a1，a1.命题点2根据函数零点的范围求参数例3(1)若函数f(x)(m2)x2mx2m1的两个零点分别在区间(1,0)和区间(1,2)内，则m的取值范围是_答案解析依题意，结合函数f(x)的图象分析可知，m需满足即解得m.(2)(2019昆明模拟)已知定义在r上的偶函数f(x)满足f(x4)f(x)，且在区间0,2上f(x)x，若关于x的方程f(x)logax有三个不同的实根，则a的取值范围为_答案(，)解析由f(x4)f(x)知，函数的周期为4，又函数为偶函数，所以f(x4)f(x)f(4x)，所以函数图象关于x2对称，且f(2)f(6)f(10)2，要使方程f(x)logax有三个不同的根，则满足如图，解得a.故a的取值范围是(，)思维升华根据函数零点的情况求参数有三种常用方法(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后数形结合求解跟踪训练2(1)方程有解，则a的最小值为_答案1解析若方程有解，则2xa2x有解，即x2xa有解，因为x2x1，当且仅当x1时等号成立，故a的最小值为1.(2)(2020岳阳检测)对任意实数a，b定义运算：ab设f(x)(x21)(4x)，若函数yf(x)k有3个零点，则实数k的取值范围是()a(1,3 b3,1c1,2) d2,1)答案d解析令x21(4x)1，得x2或x3，令x21(4x)1，得2x3，则f(x)作出函数f(x)的图象，如图所示函数yf(x)k有3个零点，等价于函数yf(x)的图象与直线yk有3个交点，根据函数图象可得1k2，即2k0)的解的个数是()a1b2c3d4答案b解析(数形结合法)a0，a211.而y|x22x|的图象如图，y|x22x|的图象与ya21的图象总有两个交点即方程有2个解(2)若函数f(x)|logax|2x(a0且a1)的两个零点是m，n，则()amn1bmn1c0mn1，mn，画出函数y|logax|，yx的图象如图所示，结合图象可知0m1，且logamm，logann，以上两式两边相减可得loga(mn)nm0，所以0mn1)在区间(2,6内恰有三个不同实根，则实数a的取值范围是()a(，) b(，2)c(，2 d(，2答案b解析f(x)为偶函数，故f(2x)f(x2)，f(x2)f(x2)，故f(x)的周期为4，x2,0时，f(x)x1，故f(x)在(2,6上的图象如图所示，f(x)loga(x2)0有3个不同的解，f(x)的图象与yloga(x2)的图象有3个不同的交点，故即解得a0，f(x)在(1,0)，(0，)上单调递增fln40，f(1)ln 220，f(e1)10，f(e1)f(2)0，sinx0，所以f(x)0，故f(x)在0,1上单调递增，且f(0)10，所以f(x)在0,1内有唯一零点当x1时，f(x)cosx0，故函数f(x)在0，)上有且仅有一个零点，故选b.5已知函数f(x)则使方程xf(x)m有解的实数m的取值范围是()a(1,2) b(，2c(，1)(2，) d(，12，)答案d解析当x0时，xf(x)m，即x1m，解得m1；当x0时，xf(x)m，即xm，解得m2，即实数m的取值范围是(，12，)故选d.6(2019郑州质检)x表示不超过x的最大整数，例如2.92，4.15，已知f(x)xx(xr)，g(x)log4(x1)，则函数h(x)f(x)g(x)的零点个数是()a1b2c3d4答案b解析作出函数f(x)与g(x)的图象如图所示，可知两函数图象有两个不同的交点，故选b.7已知a，b，c，d都是常数，ab，cd.若f(x)2019(xa)(xb)的零点为c，d，则下列不等式正确的是()aacbdbabcdccdabdcabd答案d解析f(x)2 019(xa)(xb)，又f(a)f(b)2 019，c，d为函数f(x)的零点，且ab，cd，所以可在平面直角坐标系中作出函数f(x)的大致图象，如图所示，由图可知cabd，故选d.8若函数f(x)x2axb的两个零点是2和3，则不等式af(2x)0的解集是_答案解析f(x)x2axb的两个零点是2,3.2,3是方程x2axb0的两根，由根与系数的关系知f(x)x2x6.不等式af(2x)0，即(4x22x6)02x2x30时，由f(x)ln x0，得x1.因为函数f(x)有两个不同的零点，则当x0时，函数f(x)2xa有一个零点令f(x)0，得a2x.因为02x201，所以0a1，所以实数a的取值范围是(0,110(2020杭州学军中学模拟)已知函数f(x)则函数yff(x)1的所有零点所构成的集合为_答案解析由题意知ff(x)1，所以f(x)2或f(x)，则函数yff(x)1的零点就是使f(x)2或f(x)的x值解f(x)2，得x3或x；解f(x)，得x或x.从而函数yff(x)1的零点构成的集合为.11关于x的二次方程x2(m1)x10在区间0,2上有解，求实数m的取值范围解显然x0不是方程x2(m1)x10的解，当00)(1)作出函数f(x)的图象；(2)当0ab且f(a)f(b)时，求的值；(3)若方程f(x)m有两个不相等的正根，求实数m的取值范围解(1)函数f(x)的图象如图所示(2)因为f(x)故f(x)在(0,1上是减函数，在(1，)上是增函数，由0ab且f(a)f(b)，得0a1b，且11，所以2.(3)由函数f(x)的图象可知，当0m1时，方程f(x)m有两个不相等的正根，即实数m的取值范围为(0,1)13已知x0是函数f(x)2x的一个零点若x1(1，x0)，x2(x0，)，则()af(x1)0，f(x2)0bf(x1)0cf(x1)0，f(x2)0，f(x2)0答案b解析设g(x)，由于函数g(x)在(1，)上单调递增，函数h(x)2x在(1，)上单调递增，故函数f(x)h(x)g(x)在(1，)上单调递增，所以函数f(x)在(1，)上只有唯一的零点x0，且在(1，x0)上f(x)0，又x1(1，x0)，x2(x0，)，f(x1)0.故选b.14(2019福建福州三校联考)已知函数f(x)若存在正实数k，使得方程f(x)有三个互不相等的实根x1，x2，x3，则x1x2x3的取值范围是()a(4,22) b(4,62)c(6,42) d(8,62)答案d解析方程f(x)可化为xf(x)k，令g(x)xf(x)，则g(x)作出g(x)的图象，如图所示方程xf(x)k有三个互不相等的实根x1，x2，x3，等价于函数g(x)的图象与直线yk有三个不同的交点，结合图象知0k4.不妨设x1x24.由二次函数yx24x的图象关于直线x2对称可知，2，即x1x24.令x24x4，解得x22，所以4x322，所以8x1x2x30.若存