2021高考数学一轮复习 第八章 立体几何与空间向量 8.2 空间点、直线、平面之间的位置关系教学案 理 新人教A版

8.2空间点、直线、平面之间的位置关系最新考纲考情考向分析1.理解空间直线、平面位置关系的定义2.了解可以作为推理依据的公理和定理3.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题.主要考查与点、线、面位置关系有关的命题真假判断和求解异面直线所成的角，题型主要以选择题和填空题的形式出现，解题要求有较强的直观想象和逻辑推理等核心素养，主要为中低档题.1四个公理公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行2直线与直线的位置关系(1)位置关系的分类(2)异面直线所成的角定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点o作直线aa，bb，把a与b所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)范围：.3直线与平面的位置关系有直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行三种情况4平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况5等角定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补概念方法微思考1分别在两个不同平面内的两条直线为异面直线吗？提示不一定因为异面直线不同在任何一个平面内分别在两个不同平面内的两条直线可能平行或相交2空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角一定相等吗？提示不一定如果这两个角开口方向一致，则它们相等，若反向则互补题组一思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)如果两个不重合的平面，有一条公共直线a，就说平面，相交，并记作a.()(2)两个平面，有一个公共点a，就说，相交于过a点的任意一条直线()(3)没有公共点的两条直线是异面直线()(4)若a，b是两条直线，是两个平面，且a，b，则a，b是异面直线()题组二教材改编2.如图所示，在正方体abcda1b1c1d1中，e，f分别是ab，ad的中点，则异面直线b1c与ef所成角的大小为()a30b45c60d90答案c解析连接b1d1，d1c(图略)，则b1d1ef，故d1b1c即为所求的角又b1d1b1cd1c，b1d1c为等边三角形，d1b1c60.3.如图，在三棱锥abcd中，e，f，g，h分别是棱ab，bc，cd，da的中点，则(1)当ac，bd满足条件_时，四边形efgh为菱形；(2)当ac，bd满足条件_时，四边形efgh为正方形答案(1)acbd(2)acbd且acbd解析(1)四边形efgh为菱形，efeh，acbd.(2)四边形efgh为正方形，efeh且efeh，efac，ehbd，且efac，ehbd，acbd且acbd.题组三易错自纠4(2019上海市金山中学月考)设直线l与平面平行，直线m在平面上，那么()a直线l不平行于直线mb直线l与直线m异面c直线l与直线m没有公共点d直线l与直线m不垂直答案c解析直线l与平面平行，由线面平行的定义可知：直线l与平面无公共点，又直线m在平面上，直线l与直线m没有公共点，故选c.5已知直线a和平面，l，a，a，且a在，内的射影分别为直线b和c，则直线b和c的位置关系是()a相交或平行b相交或异面c平行或异面d相交、平行或异面答案d解析依题意，直线b和c的位置关系可能是相交、平行或异面6.如图为正方体表面的一种展开图，则图中的四条线段ab，cd，ef，gh在原正方体中互为异面的对数为_答案3解析平面图形的翻折应注意翻折前后相对位置的变化，则ab，cd，ef和gh在原正方体中，显然ab与cd，ef与gh，ab与gh都是异面直线，而ab与ef相交，cd与gh相交，cd与ef平行故互为异面直线的有且只有3对平面基本性质的应用例1如图所示，在正方体abcda1b1c1d1中，e，f分别是ab和aa1的中点求证：(1)e，c，d1，f四点共面；(2)ce，d1f，da三线共点证明(1)如图，连接ef，cd1，a1b.e，f分别是ab，aa1的中点，efba1.又a1bd1c，efcd1，e，c，d1，f四点共面(2)efcd1，ef0)，则aa1tab.ab1，aa1t.a1c1，a1bbc1，cosa1bc1.t3，即3.思维升华用平移法求异面直线所成的角的三个步骤(1)一作：根据定义作平行线，作出异面直线所成的角(2)二证：证明作出的角是异面直线所成的角(3)三求：解三角形，求出所作的角跟踪训练3 (2017全国)已知直三棱柱abca1b1c1中，abc120，ab2，bccc11，则异面直线ab1与bc1所成角的余弦值为()a.b.c.d.答案c解析方法一将直三棱柱abca1b1c1补形为直四棱柱abcda1b1c1d1，如图所示，连接ad1，b1d1，bd.图由题意知abc120，ab2，bccc11，所以ad1bc1，ab1，dab60.在abd中，由余弦定理知bd2ab2ad22abadcosdab2212221cos603，所以bd，所以b1d1.又ab1与ad1所成的角即为ab1与bc1所成的角，所以cos.故选c.方法二以b1为坐标原点，b1c1所在的直线为x轴，垂直于b1c1的直线为y轴，bb1所在的直线为z轴建立空间直角坐标系，如图所示图由已知条件知b1(0,0,0)，b(0,0,1)，c1(1,0,0)，a(1，1)，则(1,0，1)，(1，1)所以cos，.所以异面直线ab1与bc1所成角的余弦值为.故选c.1四条线段顺次首尾相连，它们最多可确定的平面个数为()a4b3c2d1答案a解析首尾相连的四条线段每相邻两条确定一个平面，所以最多可以确定四个平面2a，b，c是两两不同的三条直线，下面四个命题中，真命题是()a若直线a，b异面，b，c异面，则a，c异面b若直线a，b相交，b，c相交，则a，c相交c若ab，则a，b与c所成的角相等d若ab，bc，则ac答案c解析若直线a，b异面，b，c异面，则a，c相交、平行或异面；若a，b相交，b，c相交，则a，c相交、平行或异面；若ab，bc，则a，c相交、平行或异面；由异面直线所成的角的定义知c正确故选c.3.如图所示，平面平面l，a，b，abld，c，cl，则平面abc与平面的交线是()a直线acb直线abc直线cdd直线bc答案c解析由题意知，dl，l，所以d，又因为dab，所以d平面abc，所以点d在平面abc与平面的交线上又因为c平面abc，c，所以点c在平面与平面abc的交线上，所以平面abc平面cd.4.如图所示，abcda1b1c1d1是长方体，o是b1d1的中点，直线a1c交平面ab1d1于点m，则下列结论正确是()aa，m，o三点共线ba，m，o，a1不共面ca，m，c，o不共面db，b1，o，m共面答案a解析连接a1c1，ac(图略)，则a1c1ac，a1，c1，a，c四点共面，a1c平面acc1a1，ma1c，m平面acc1a1，又m平面ab1d1，m在平面acc1a1与平面ab1d1的交线上，同理a，o在平面acc1a1与平面ab1d1的交线上a，m，o三点共线5(2019甘肃省、青海省、宁夏回族自治区联考)在四棱锥pabcd中，所有侧棱长都为4，底面是边长为2的正方形，o是p在平面abcd内的射影，m是pc的中点，则异面直线op与bm所成角为()a30b45c60d90答案c解析如图，由题意可知o是正方形abcd的中心，取n为oc的中点，连接mn，所以opmn，则bmn是异面直线op与bm所成的角因为op平面abcd，所以mn平面abcd，因为在四棱锥pabcd中，所有侧棱长都为4，底面是边长为2的正方形，所以oc2，所以op2，因此mn，在rtbon中，bn，tanbmn，bmn60，则异面直线op与bm所成的角为60.故选c.6正方体ac1中，与面abcd的对角线ac异面的棱有_条答案6解析如图，在正方体ac1中，与面abcd的对角线ac异面的棱有bb1，dd1，a1b1，a1d1，d1c1，b1c1，共6条7(2020东北三省三校模拟)若直线l平面，平面平面，则直线l与平面的位置关系为_答案l或l解析直线l平面，平面平面，直线l平面，或者直线l平面.8在三棱锥sabc中，g1，g2分别是sab和sac的重心，则直线g1g2与bc的位置关系是_答案平行解析如图所示，连接sg1并延长交ab于m，连接sg2并延长交ac于n，连接mn.由题意知sm为sab的中线，且sg1sm，sn为sac的中线，且sg2sn，在smn中，g1g2mn，易知mn是abc的中位线，mnbc，g1g2bc.9.如图，已知圆柱的轴截面abb1a1是正方形，c是圆柱下底面弧ab的中点，c1是圆柱上底面弧a1b1的中点，那么异面直线ac1与bc所成角的正切值为_答案解析取圆柱下底面弧ab的另一中点d，连接c1d，ad，因为c是圆柱下底面弧ab的中点，所以adbc，所以直线ac1与ad所成的角即为异面直线ac1与bc所成的角，因为c1是圆柱上底面弧a1b1的中点，所以c1d垂直于圆柱下底面，所以c1dad.因为圆柱的轴截面abb1a1是正方形，所以c1dad，所以直线ac1与ad所成角的正切值为，所以异面直线ac1与bc所成角的正切值为.10.一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：abef；ab与cm所成的角为60；ef与mn是异面直线；mncd.以上四个命题中，正确命题的序号是_答案解析如图，abef，正确；显然abcm，所以不正确；ef与mn是异面直线，所以正确；mn与cd异面，并且垂直，所以不正确，则正确的是.11.如图所示，a是bcd所在平面外的一点，e，f分别是bc，ad的中点(1)求证：直线ef与bd是异面直线；(2)若acbd，acbd，求ef与bd所成的角(1)证明假设ef与bd不是异面直线，则ef与bd共面，从而df与be共面，即ad与bc共面，所以a，b，c，d在同一平面内，这与a是bcd所在平面外的一点相矛盾故直线ef与bd是异面直线(2)解取cd的中点g，连接eg，fg，则acfg，egbd，所以相交直线ef与eg所成的角，即为异面直线ef与bd所成的角又因为acbd，则fgeg.在rtegf中，由egfgac，求得feg45，即异面直线ef与bd所成的角为45.12.如图，在三棱锥pabc中，pa底面abc，d是pc的中点已知bac，ab2，ac2，pa2.求：(1)三棱锥pabc的体积；(2)异面直线bc与ad所成角的余弦值解(1)sabc222，三棱锥pabc的体积为vsabcpa22.(2)如图，取pb的中点e，连接de，ae，则edbc，所以ade(或其补角)是异面直线bc与ad所成的角在ade中，de2，ae，ad2，cosade.故异面直线bc与ad所成角的余弦值为.13(2019湖南省长沙市湖南师范大学附属中学模拟)已知平面平面直线l，点a，c，点b，d，且a，b，c，dl，点m，n分别是线段ab，cd的中点，则下列说法正确的是()a当|cd|2|ab|时，m，n不可能重合bm，n可能重合，但此时直线ac与l不可能相交c当直线ab，cd相交，且acl时，bd可与l相交d当直线ab，cd异面时，mn可能与l平行答案b解析a选项：当|cd|2|ab|时，若a，b，c，d四点共面且acbd时，则m，n两点能重合，可知a错误；b选项：若m，n可能重合，则acbd，故acl，此时直线ac与直线l不可能相交，可知b正确；c选项：当ab与cd相交，直线acl时，直线bd与l平行，可知c错误；d选项：当ab与cd是异面直线时，mn不可能与l平行，可知d错误故选b.14.如图，正方形acde与等腰直角三角形acb所在的平面互相垂直，且acbc4，acb90，f，g分别是线段ae，bc的中点，则ad与gf所成的角的余弦值为_答案解析取de的中点h，连接hf，gh.由题意，hfad且hfad，gfh为异面直线ad与gf所成的角(或其补角)在ghf中，可求hf2，gfgh2，cosgfh.15.(2019江西省吉安一中、九江一中、新余一中等八所重点中学联考)如图，已知多面体pabcde的底面abcd是边长为1的正方形，pa平面abcd，edpa，且paedab，现将cde以直线de为轴旋转一周后，则直线bp与动直线ce所成角的范围是_答案解析如图所示，将pb平移到eb1的位置，c1点在以d为圆心，半径为1的圆上运动则b1ec1就是所求线线角，根据三角形中，大角对大边，eb1，ec1为定值，故最值由b1c1来确定，故当c1在c处线线角最小，在c2处线线角最大由于paedab，故pbaeb1d.而dedc1，故ecd，所以ceb1.而ec2decd，故b1ec2.所以所求线线角的取值范围是.16.如图所示，三棱柱abca1b1c1的底面是边长为2的正三角形，侧棱a1a底面abc，点e，f分别是棱cc1，bb1上的点，点m是线段ac上的动点，ec2fb2.(1)当点m在何位置时，bm平面aef?(2)若bm平面aef，判断bm与ef的位置关系，说明理由；并求bm与ef所成的角的余弦值解(1)方法一如图所示，取ae的中点o，连接of，过点o作omac于点m.因为ecac，om，ec平面acc1a1，所以omec.又因为ec2fb2，ecfb，所以omfb且omecfb，所以四边形ombf为矩形，bmof.因为of平面aef，bm平面aef，故bm平面aef，此时点