2021高考数学一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 4.5 函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象及应用教学案 理 新人教A版

4.5函数yasin(x)的图象及应用最新考纲考情考向分析1.了解函数yasin(x)的物理意义；能画出yasin(x)的图象.2.了解参数a，对函数图象的变化的影响.3.会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型.以考查函数yasin(x)的图象的五点法画图、平移伸缩变换、由图象求函数解析式以及利用正弦型函数解决实际问题为主，加强数形结合思想的应用意识，题型为选择题和填空题，中档难度.1.简谐运动的有关概念yasin(x)(a0，0)，x0振幅周期频率相位初相atfx2.用五点法画yasin(x)(a0，0，xr)一个周期内的简图时，要找五个特征点xx02yasin(x)0a0a03.函数ysinx的图象经变换得到yasin(x)(a0，0)的图象的两种途径.概念方法微思考1.怎样从ysinx的图象变换得到ysin(x)(0，0)的图象？提示向左平移个单位长度.2.函数ysin(x)图象的对称轴是什么？对称中心是什么？提示对称轴是直线x(kz)，对称中心是点(kz).题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)ysin的图象可由ysin的图象向右平移个单位长度得到.()(2)将函数ysinx的图象向右平移(0)个单位长度，可以得到函数ysin(x)的图象.()(3)如果函数yacos(x)的最小正周期为t，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为.()(4)函数ysinx的图象上各点纵坐标不变，横坐标缩短为原来的，所得图象对应的函数解析式为ysinx.()题组二教材改编2.为了得到函数y2sin的图象，可以将函数y2sin2x的图象向_平移_个单位长度.答案右(答案不唯一)3.函数y2sin的振幅、频率和初相分别为_.答案2，4.如图，某地一天从614时的温度变化曲线近似满足函数yasin(x)b,0，则这段曲线的函数解析式为_.答案y10sin20，x6,14解析从题图中可以看出，从614时的图象是函数yasin(x)b的半个周期，所以a(3010)10，b(3010)20，又146，所以.又102k，kz,0，所以，所以y10sin20，x6,14.题组三易错自纠5.要得到函数ysin的图象，只需将函数ysin4x的图象()a.向左平移个单位长度b.向右平移个单位长度c.向左平移个单位长度d.向右平移个单位长度答案a解析ysinsin，要得到ysin的图象，只需将函数ysin4x的图象向左平移个单位长度.6.已知函数f(x)asin(x)的部分图象如图所示，则使f(xm)f(mx)0成立的m的最小正值为_.答案解析由函数图象可知a1，又，t，所以2，因为函数图象过点，代入解析式可知sin0，所以2k，kz.因为|，所以，所以函数解析式为f(x)sin，由k，kz，可得其对称轴x，kz.因为f(xm)f(mx)0，即f(xm)f(mx)，所以xm是函数的一条对称轴，当k0时，m的最小正值为m.函数yasin(x)的图象及变换例1 已知函数f(x)asin(x)的最小正周期是，且当x时，f(x)取得最大值2.(1)求f(x)的解析式；(2)作出f(x)在0，上的图象(要列表)；(3)函数yf(x)的图象可由函数ysinx的图象经过怎样的变换得到？解(1)因为函数f(x)的最小正周期是，所以2.又因为当x时，f(x)取得最大值2.所以a2，同时22k，kz，2k，kz，因为0)个单位长度后得到函数yg(x)的图象，且yg(x)是偶函数，求m的最小值.解由已知得yg(x)f(xm)2sin2sin是偶函数，所以2mk，kz，得m，kz，又因为m0，所以m的最小值为.思维升华(1)yasin(x)的图象可用“五点法”作简图得到，可通过变量代换zx计算五点坐标.(2)由函数ysinx的图象通过变换得到yasin(x)的图象有两条途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.跟踪训练1 (1)为了得到函数ysin3xcos3x的图象，可以将函数ycos3x的图象()a.向右平移个单位长度b.向左平移个单位长度c.向右平移个单位长度d.向左平移个单位长度答案c解析因为ysin 3xcos 3xcoscos 3，所以将函数ycos 3x的图象向右平移个单位长度后，可得到ycos的图象，故选c.(2)将函数ycos的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移个单位长度，所得函数图象的一条对称轴为()a.xb.xc.xd.x答案a解析将函数ycos的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)时，得到函数ycos的图象；再将此函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数ycoscos的图象，该函数图象的对称轴满足k(kz)，即x2k(kz).结合选项，只有a符合，故选a.(3)已知函数f(x)sin(00)个单位长度，则m的最小值为()a.1b.c.d.答案a解析由题意得sin0，即k(kz)，则2k(kz)，结合02，得，所以f(x)sincoscos，所以只需将函数g(x)cos x的图象向右至少平移1个单位长度，即可得到函数yf(x)的图象，故选a.由图象确定yasin(x)的解析式1.函数f(x)2sin(x)的部分图象如图所示，则_，_.答案2解析设f(x)的最小正周期为t，由题中图象可知t得t，则2，又图象过点，则f2，即2sin2，则sin1.，.2.已知函数f(x)acos(x)的图象如图所示，f，则f_.答案解析方法一设f(x)的最小正周期为t，由题图可知，所以t，3，当x时，y0，即32k，kz，所以2k，kz，因为|，所以k1，所以f(x)acos.又facos，所以a，所以f(x)cos，故fcos.方法二同方法一得f(x)的周期t，所以fff.3.已知函数f(x)sin(x) 的部分图象如图所示，则yf取得最小值时x的集合为_.答案解析方法一根据题干所给图象，周期t4，故，2，因此f(x)sin(2x)，另外图象经过点，代入有22k(kz)，再由|0)的图象向左平移个单位长度，所得图象经过点，则的最小值是_.答案1解析依题意得，函数fsin(0)的图象过点，于是有fsinsin 0(0)，k，kn，即kn，因此正数的最小值是1.(2)函数f(x)sin(x)的部分图象如图所示，则f(x)的单调递增区间为_.答案8k3,8k1，kz解析由题图知其最小正周期t4(31)8.结合图象易知3,1为函数f(x)sin(x)的一个单调递增区间，故f(x)的单调递增区间为8k3,8k1，kz.命题点2函数零点(方程根)问题例3 已知关于x的方程2sin2xsin2xm10在上有两个不同的实数根，则m的取值范围是_.答案(2，1)解析方程2sin2xsin2xm10可转化为m12sin2xsin2xcos2xsin2x2sin，x.设2xt，则t，题目条件可转化为sint，t有两个不同的实数根.y和ysint，t的图象有两个不同交点，如图：由图象观察知，的取值范围是，故m的取值范围是(2，1).本例中，若将“有两个不同的实数根”改成“有实根”，则m的取值范围是_.答案2,1)解析同例题知，的取值范围是，2m0)的图象向右平移个单位长度，得到函数yg(x)的图象.若yg(x)在上为增函数，则的最大值为()a.3b.2c.d.答案c解析函数f(x)2sin(0)的图象向右平移个单位长度，可得g(x)2sin2sinx的图象.若g(x)在上为增函数，则2k且2k，kz，解得312k且6k，kz，0，当k0时，取最大值，故选c.(2)若函数f(x)sin(0)满足f(0)f，且函数在上有且只有一个零点，则f(x)的最小正周期为_.答案解析f(0)f，x是f(x)图象的一条对称轴，f1，k，kz，6k2，kz，t(kz).又f(x)在上有且只有一个零点，t，0)，k，又kz，k0，t.1.函数ysin在区间上的简图是()答案a解析令x0得ysin，排除b，d项，由f0，f0，排除c项，故选a.2.为了得到函数ysin的图象，可以将函数ysin2x的图象()a.向右平移个单位长度b.向右平移个单位长度c.向左平移个单位长度d.向左平移个单位长度答案b解析ysinsin 2，故将函数ysin 2x的图象向右平移个单位长度，可得ysin的图象.3.(2020宁德模拟)将函数y3sin的图象上各点沿x轴向右平移个单位长度，所得函数图象的一个对称中心为()a.b.c.d.答案a解析将函数y3sin的图象上各点沿x轴向右平移个单位长度，可得函数y3sin3sin的图象，由2xk，kz，可得x，kz.故所得函数图象的对称中心为，kz.令k1可得一个对称中心为.故选a.4.将函数f(x)sin(2x)的图象向左平移个单位长度后关于原点对称，则函数f(x)在上的最小值为()a.b.c.d.答案a解析将函数f(x)sin(2x)的图象向左平移个单位长度得到ysinsin的图象，该图象关于原点对称，即为奇函数，则k(kz)，又|，所以，即f(x)sin.当x时，2x，所以当2x，即x0时，f(x)取得最小值，最小值为.5.若把函数ysin的图象向左平移个单位长度，所得到的图象与函数ycosx的图象重合，则的一个可能取值是()a.2b.c.d.答案a解析ysin和函数ycosx的图象重合，可得2k，kz，则6k2，kz.的一个可能值是2.6.(2019安徽省合肥市一中、合肥六中联考)已知函数f(x)sin2x2cos2x1，将f(x)的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标保持不变；再把所得图象向上平移1个单位长度，得到函数yg(x)的图象，若g(x1)g(x2)9，则|x1x2|的值可能为()a.b.c.d.答案c解析函数f(x)sin2x2cos2x1sin2xcos2x2sin，变换后得函数yg(x)2sin1的图象，易知函数yg(x)的值域为1,3.若g(x1)g(x2)9，则g(x1)3且g(x2)3，均为函数yg(x)的最大值，|x1x2|的值为函数yg(x)的最小正周期t的整数倍，且t.7.(2019长沙联考)把函数ysin2x的图象向左平移个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得函数图象的解析式为_.答案ycosx解析把函数ysin 2x的图象向左平移个单位长度，得函数ysin 2sincos 2x的图象，再把ycos 2x的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数ycos x的图象.8.把函数ysin的图象上各点的横坐标缩短为原来的(纵坐标不变)，再将图象向右平移个单位长度，得到函数g(x)的图象，则g(x)在区间上的值域为_.答案解析易知g(x)sincos 2x，x，2x，cos 2x，g(x)在区间上的值域为.9.已知函数f(x)atan(x)的部分图象如图所示，则f_.答案解析由题图知2，所以2.因为2k(kz)，所以k(kz)，又|，所以，这时f(x)atan.又函数图象过点(0,1)，代入上式得a1，所以f(x)tan.所以ftan.10.已知函数f(x)sin(x)的部分图象如图所示，又x1，x2，且f(x1)f(x2)，则f(x1x2)_.答案解析设f(x)周期为t，由题图可知，则t，2，又，所以f(x)的图象过点，即sin1，所以22k，kz，又|0)，且f(x)的最小正周期为.(1)求的值及函数f(x)的单调递减区间；(2)将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后得到函数g(x)的图象，求当x时，函数g(x)的最大值.解(1)由题意知f(x)sin 2x1cos 2x2sin1，周期t，1，f(x)2sin1，令2k2x2k，kz，得kxk，kz.函数f(x)的单调递减区间为，kz.(2)g(x)2sin12sin1，当x时，2x，当2x，即x时，g(x)max2113.12.(2019湖北七校联考)已知函数f(x)asin(x)的部分图象如图所示，其中点p(1,2)为函数f(x)图象的一个最高点，q(4,0)为函数f(x)的图象与x轴的一个交点，o为坐标原点.(1)求函数f(x)的解析式；(2)将函数yf(x)的图象向右平移2个单位长度得到yg(x)的图象，求函数h(x)f(x)g(x)的图象的对称中心.解(1)由题意得a2，周期t4(41)12.又12，.将点p(1,2)代入f(x)2sin，得sin1.00)，xr.在曲线yf(x)与直线y1的交点中，若相邻交点距离的最小值为，则f(x)的最小正周期为_.答案解析f(x)sinxcosx2sin(0).由2sin1，得sin，x12k或x22k(kz).令k0，得x1，x2，x10，x2.由|x1x2|，得，2.故f(x)的最小正周期t.14.已知函数f(x)2cos(x)1，其图象与直线y3相邻两个交点的距离为，若f(x)1对任意x恒成立，则的取值范围是_.答案解析由题意可得函数f(x)2cos(x)1的最大值为3.f(x)的图象与直线y3相邻两个交点的距离为，f(x)的周期t，解得3，f(x)2cos(3x)1.f(x)1对任意x恒成立，2cos(3x)11，即cos(3x)0对任意x恒成立，2k且2k，k