2021高考数学一轮复习 第十二章 概率、随机变量及其分布 12.3 离散型随机变量的分布列、均值与方差教学案 理 新人教A版

12.3离散型随机变量的分布列、均值与方差最新考纲考情考向分析1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，认识分布列刻画随机现象的重要性，会求某些取有限个值的离散型随机变量的分布列2.了解超几何分布，并能进行简单应用3.理解取有限个值的离散型随机变量的均值、方差的概念会求简单离散型随机变量的均值、方差，并能利用离散型随机变量的均值、方差概念解决一些简单问题.以理解离散型随机变量及其分布列的概念为主，经常以频率分布直方图为载体，结合频率与概率，考查离散型随机变量、离散型随机变量分布列的求法在高考中以解答题的形式进行考查，难度多为中档.1离散型随机变量的分布列(1)随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量所有取值可以一一列出的随机变量称为离散型随机变量(2)一般地，若离散型随机变量x可能取的不同值为x1，x2，xi，xn，x取每一个值xi(i1,2，n)的概率p(xxi)pi，则称表xx1x2xixnpp1p2pipn为离散型随机变量x的概率分布列，简称为x的分布列，具有如下性质：pi0，i1,2，n；i1.离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和2两点分布如果随机变量x的分布列为x01p1pp其中0p1，则称离散型随机变量x服从两点分布其中pp(x1)称为成功概率3离散型随机变量的均值与方差一般地，若离散型随机变量x的分布列为xx1x2xixnpp1p2pipn(1)均值称e(x)x1p1x2p2xipixnpn为随机变量x的均值或数学期望它反映了离散型随机变量取值的平均水平(2)方差称d(x)(xie(x)2pi为随机变量x的方差，它刻画了随机变量x与其均值e(x)的平均偏离程度，并称其算术平方根为随机变量x的标准差4均值与方差的性质(1)e(axb)ae(x)b.(2)d(axb)a2d(x)(a，b为常数)5超几何分布一般地，在含有m件次品的n件产品中，任取n件，其中恰有x件次品，则p(xk) (k0,1,2，m)，即x01mp其中mminm，n，且nn，mn，n，m，nn*.如果一个随机变量x的分布列具有上表的形式，则称随机变量x服从超几何分布题组一思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)离散型随机变量的概率分布列描述了由这个随机变量所刻画的随机现象()(2)离散型随机变量的分布列中，随机变量取各个值的概率之和可以小于1.()(3)随机变量的均值是常数，样本的平均数是随机变量，它不确定()(4)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离变量的平均程度越小()题组二教材改编2设随机变量x的分布列如下：x12345pp则p为()a.b.c.d.答案c解析由分布列的性质知，p1，p1.3已知x的分布列为x101p设y2x3，则e(y)的值为()a.b4c1d1答案a解析e(x)，e(y)e(2x3)2e(x)33.4有一批产品共12件，其中次品3件，每次从中任取一件，在取到合格品之前取出的次品数x的所有可能取值是_答案0,1,2,3解析因为次品共有3件，所以在取到合格品之前取出的次品数x的可能取值为0,1,2,3.题组三易错自纠5袋中有3个白球、5个黑球，从中任取2个，可以作为随机变量的是()a至少取到1个白球b至多取到1个白球c取到白球的个数d取到的球的个数答案c解析选项a，b表述的都是随机事件；选项d是确定的值2，并不随机；选项c是随机变量，可能取值为0,1,2.6一盒中有12个乒乓球，其中9个新的、3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数x是一个随机变量，则p(x4)的值为_答案解析由题意知取出的3个球必为2个旧球、1个新球，故p(x4).分布列的求法例1甲同学参加化学竞赛初赛，考试分为笔试、口试、实验三个项目，各单项通过考试的概率依次为，.记甲同学三个项目中通过考试的个数为x，求随机变量x的分布列解随机变量x的所有可能取值为0,1,2,3.p(x0)，p(x1)，p(x2)，p(x3).随机变量x的分布列为x0123p思维升华求离散型随机变量x的分布列的步骤(1)理解x的意义，写出x的所有可能取值(2)求x取每个值的概率(3)写出x的分布列求离散型随机变量的分布列的关键是求随机变量所取值对应的概率，在求解时，要注意应用计数原理、古典概型等知识跟踪训练1在一次购物抽奖活动中，假设某10张劵中有一等奖券1张，可获价值50元的奖品；有二等奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖某顾客从此10张奖券中任抽2张，求：(1)该顾客中奖的概率；(2)该顾客获得的奖品总价值x元的分布列解(1)该顾客中奖，说明是从有奖的4张奖券中抽到了1张或2张，由于是等可能地抽取，所以该顾客中奖的概率p.(2)依题意可知，x的所有可能取值为0,10,20,50,60，且p(x0)，p(x10)，p(x20)，p(x50)，p(x60).所以x的分布列为x010205060p均值与方差例2某投资公司在2019年年初准备将1000万元投资到“低碳”项目上，现有两个项目供选择：项目一：新能源汽车据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利30%，也可能亏损15%，且这两种情况发生的概率分别为和；项目二：通信设备据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利50%，可能损失30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为，和.针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由解若按“项目一”投资，设获利为x1万元，则x1的分布列为x1300150pe(x1)300(150)200.若按“项目二”投资，设获利为x2万元，则x2的分布列为x25003000pe(x2)500(300)0200.d(x1)(300200)2(150200)235000，d(x2)(500200)2(300200)2(0200)2140000.e(x1)e(x2)，d(x1)0，所以a1，所以e(x)01.故选c.3设随机变量x的分布列为x1234pm则p(|x3|1)等于()a.b.c.d.答案b解析根据分布列的性质得出m1，则m，随机变量x的分布列为x1234p所以p(|x3|1)p(x4)p(x2).4随机变量x的分布列为x124p0.40.30.3则e(5x4)等于()a15b11c2.2d2.3答案a解析e(x)10.420.340.32.2，e(5x4)5e(x)411415.5若随机变量x的分布列为x210123p0.10.20.20.30.10.1则当p(xa)0.8时，实数a的取值范围是()a(，2 b1,2c(1,2 d(1,2)答案c解析由随机变量x的分布列知，p(x1)0.1，p(x0)0.3，p(x1)0.5，p(x2)0.8，则当p(x6)p(x7)p(x8).8随机变量x的分布列为x01mpn且e(x)1.1，则d(x)_.答案0.49解析由n1，得n，e(x)1.1，01m1.1，得m2，d(x)(01.1)2(11.1)2(21.1)20.49.9若随机变量的分布列为p(n)(n1,2,3,4)，其中a是常数，则p的值为_答案解析p(n)(n1,2,3,4)，1，a.pp(1)p(2)a.10随机变量x的分布列如下：x101pabc其中a，b，c成等差数列，则p(|x|1)_，公差d的取值范围是_答案解析a，b，c成等差数列，2bac.又abc1，b，p(|x|1)ac.又ad，cd，根据分布列的性质，得0d，0d，d.11(2019皖南八校模拟)小李参加一种红包接龙游戏：他在红包里塞了12元，然后发给朋友a，如果a猜中，a将获得红包里的所有金额；如果a未猜中，a将当前的红包转发给朋友b，如果b猜中，a，b平分红包里的金额；如果b未猜中，b将当前的红包转发给朋友c，如果c猜中，a，b和c平分红包里的金额；如果c未猜中，红包里的钱将退回小李的账户，设a，b，c猜中的概率分别为，且a，b，c是否猜中互不影响(1)求a恰好获得4元的概率；(2)设a获得的金额为x元，求x的分布列解(1)依题意，当且仅当c猜中时a恰好获得4元，a恰好获得4元的概率为.(2)x的所有可能取值为0,4,6,12，p(x0)，p(x4)，p(x6)，p(x12)，x的分布列为x04612p12为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名从这8名运动员中随机选择4人参加比赛(1)设a为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，求事件a发生的概率；(2)设x为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量x的分布列和均值解(1)由已知，有p(a).所以事件a发生的概率为.(2)随机变量x的所有可能取值为1,2,3,4.p(xk)(k1,2,3,4)p(x1)，p(x2)，p(x3)，p(x4).所以随机变量x的分布列为x1234p均值e(x)1234.13如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的油漆面数为x，则x的均值e(x)等于()a.b.c.d.答案b解析由题意知x0,1,2,3，p(x0)，p(x1)，p(x2)，p(x3)，e(x)0123.14(2020唐山模拟)某城市美团外卖配送员底薪是每月1800元，设每月配送单数为x，若x1,300，每单提成3元，若x(300,600，每单提成4元，若x(600，)，每单提成4.5元，饿了么外卖配送员底薪是每月2100元，设每月配送单数为y，若y1,400，每单提成3元，若y(400，)，每单提成4元，小王想在美团外卖和饿了么外卖之间选择一份配送员工作，他随机调查了美团外卖配送员甲和饿了么外卖配送员乙在2019年4月份(30天)的送餐量数据，如下表：表1：美团外卖配送员甲送餐量统计日送餐量x(单)131416171820天数2612622表2：饿了么外卖配送员乙送餐量统计日送餐量y(单)111314151618天数4512351(1)设美团外卖配送员月工资为f(x)，饿了么外卖配送员月工资为g(y)，当xy(300,600时，比较f(x)与g(y)的大小关系；(2)将4月份的日送餐量的频率视为日送餐量的概率计算外卖配送员甲和乙每日送餐量的均值e(x)和e(y)；请利用所学的统计学知识为小王作出选择，并说明理由解(1)因为xy(300,600，所以g(x)g(y)，当x(300,400时，f(x)g(x)(1 8004x)(2 1003x)x3000，当x(400,600时，f(x)g(x)(1 8004x)(2 1004x)300g(y)，故x(400,600时，f(x)3 720元，故小王应选择做饿了么外卖配送员15(2019浙江)设0a1.随机变量x的分布列是x0a1p则当a在(0,1)内增大时，()ad(x)增大bd(x)减小cd(x)先增大后减小dd(x)先减小后增大答案d解析由题意可知，e(x)(a1)，所以d(x)，所以当a在(0,1)内增大时，d(x)先减小后增大16(2019全国)为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分甲、乙两种药的治愈率分别记为和，一轮试验中甲药的得分记为x.(1)求x的分布列；(2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，pi(i0,1，8)表示“甲药的累计得分为i时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则p00，p81，piapi1bpicpi1(i1,2，7)，其中ap(x1)，bp(x0)，cp(x1)假设0.5，0.8.证明：pi1pi(i0,1,2，7)为等比数列；求p4，并根据p4的值解释这种试验方案的合理性(1)解x的所有可能取值为1,0,1.p(x1)(1)，p(x0)(1)(1)，p(x1)(1)所以x的分布列为x101p(1)(1)(1)(1)(2)证明由(1)得a0.4，b0.5，c0.1.因此pi0.4pi10.5