2021高考数学一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 4.3 简单的三角恒等变换 第1课时教学案 理 新人教A版

4.3简单的三角恒等变换最新试验纲试验性地分析1 .根据向量的数积导出两角差的馀弦公式2 .利用两角差的馀弦公式，可导出两角差的正弦、正切公式3 .利用两角差的馀弦公式，导出两角和的正弦、馀弦、正切公式，进一步导出二倍方式4 .能够使用上述式子进行简单的恒等变换(包括积分化和差分化、差分化积、半角式的导出，但这3组式子不要求记忆)。研究三角函数化的简单性和评价，或结合三角函数的图像、性质研究应用意识1 .两角与差的馀弦、正弦、正切式(1) cos (-)=cos- cos- sin- sin(c (-) )。(2) cos ()=coscos- sinsin(c () ) .(3) sin (-)=sincos- cossin(s (-) ) .(4) sin ()=sin- cos- cos- sin(s () )。(5)tan(-)=(t(-) )。(6)tan( )=(t( ) )。2 .二倍方式(1)基本式：sin2=2sincos。cos 2=cos 2- sin 2=2os 2-1=1-2sin 2.tan2=(2)式的变形：由cos2=2cos2-1=1-2sin2得到幂式： cos2=； sin2=；幂式： cos2=2cos2-1=1-2sin2对概念方法的思考1 .感应式和两角和差的三角函数式之间的关系是？提示诱导式可以看作是和差式中=k(kz )时的特殊状况。如何研究函数的性质，如f(x)=asinx bcosx？首先，基于辅助方程式asinx bcosx=sin(x )，使f(x )为f(x)=asin(x ) k的形式，提示结合图像研究函数的性质3 .考虑求出的签字、馀弦、正切式(1)sin=(2)cos=(3)tan=。当问题小组考虑到1 .判断以下结论是否正确(请在括号内加上“”或“-”)。(1)存在实数，使方程式sin( )=sin sin成立(，2)时=sin.()(3)3且|cos|=，sin的值为.()(4)非直角三角形中tana tanb tanc=tanatanbtanc.()问题组2教材改编如果cos=-是第三象限中的角，则sin等于()a.-b.c.-d .答案c分析-是第三象限角，24444444444444444653sin=-=-.3.sin347cos148 sin77cos58=答案分析sin347cos148 sin77cos58=sin(270 77)cos(90 58) sin77cos58=(-cos77)(-sin58) sin77cos58=sin58cos77 cocs58sin77=sin(58 77)=sin135=.4.tan10 tan50 tan10tan50=答案tan60=tan(10 50)=tan10 tan50=tan60(1-tan10tan50 )=-tan10tan50表达式=-tan10tan50 tan10tan50=5.(tan10-)sin40的值为答案-1分析(tan10-)sin40=sin40=sin40=sin40=-=fufu-1问题组3容易出错的自我修复6.(2019衡水中学调查)已知，sin=-，tan为()a.-7b.-c.d.7答案b解析，sin=-，cos=，tan=-.tan=-. -7 .简化：=.答案4sin分析=4sin8 .已知且sin=、tan2=答案-分析方法sin=sin-cos=、平方2sincos=另外，sin cos=sin=、cos=tan=、tan2=-。方法2且sin=cos=tan=tan=tan2=- .第一会话和角、差角和倍角公式和差倍方程的简单应用cos=，sin2等于()a.b.c.-d.-答案d分析由sin2=cos=2cos2-1、cos=sin2=2-1=-，故选d已知sin=，tan(-)=，tan(-)的值为()a.-b.c.d.-答案a分析了，cos=-，tan=-，另外，tan(-)=，tan=-，tan(-)=-.3 .计算出的值为答案分析=.4.(2019全国)函数f(x)=sin-3cosx的最小值为答案-4解析f(x)=sin-3cosx=-cosx2x-3cosx=-2cosx2x-3cosx 1假设t=cosx，则t1，1 ； 成为f(t)=-2t2-3t 1.另外，函数f(t )图像的对称轴t=-1，1 的开口朝下当t=1时，f(t )具有最小值-4.由此，f(x )最小值为-4.思想升华(1)应用二角和差的三角函数式，首先记住式的构造特征使用(2)式进行评价，首先求出相关角的函数值，代入式子进行评价公式的运用命题点一角的变换例1 (1)已知sin=、cos的值为.答案sin=，然后分析。cos=fufu -cos=cos=coscos sinsin=-=.(2)(2019烟囱模拟) cos(75-)=、cos(30 2)=答案解析cos(75-)=sin(15 )=，cos(30 2)=1-2sin2(15 )=1-2=命题点2三角函数公式的变换例2 (1)(2019长沙雅礼中学模拟) sin2=，cos2=答案解析方法cos2=(1-sin2)=方法cos=cos-sincos2=(cos-sin)2=(1-2sincos)=(1-sin2)=(2)评价：-sin10=.答案解析表达式=-sin10=-sin10=-sin10=-2cos10=的命题点三式的综合应用例3 (1)(1 tan17)(1 tan28 )的值为答案2解析表达式=1 tan17 tan28 tan17tan28=1tan 45 (1- tan 17 tan 28 ) tan 17 tan 28=1 1=2。(sinx cosx=，tan=答案分析为sin x cos x=、2sin=、即sin=、cos=tan=即tan=tan=.(3)如果是2，则能够简化.答案-cos分析=，因为是2所以|cos|=cos所以，原式=.另外，因为是，所以式=-cos .解决思维升华(1)三角函数评价问题的关键是，在用已知角表示求出角且存在一个已知角的情况下，应着眼于求出角与已知角之和或差的关系.(2)常见配角技巧： 2=( ) (-)、=( )-、=-、=、-等跟踪训练(1)为，cos=，cos( )=-，sin=答案从已知得到sin=，sin( )=，sin=sin () -=sin () cos- cos () sin=不足。=(2)计算：=.(用数字回答)答案分析=.(3)(2019河北保定一中末)如果知道sin2=，0，则cos值为。答案解析sin2=、0sincos=、sin0、cos0 .此外，sin2 cos2=1sincos2=12 sincos=，sin cos=cos=cos sin=(4)在4)abc中，tanatanb=tana tanb 1，即cosc=答案tanatanb=tana tanb 1是=-1即tan(a b)=-1，另外a b(0，)所以a b=、c=、cosc=1 .已知是第二象限角，tan=-，sin2等于()a.-bc.-d .答案c分析中，为第二象限角，tan=-，sin=、cos=-、sin2=2sincos=2=-。2.(2019衡水中学调查) sin( 20)=、sin(2-50 )的值为()a.-bc.d答案a分析sin (2- 50 )=sin (240 )-90 =-cos (240 )=2sin2(20 )-1=-.3 .的值为()a.b .c.-d.-答案b解析原式=。=tan(45 15)=如果已知cos=，cos( )=-，且，则cos(-)的值为()a.-b.c.-d .答案d因为分析是所以是2(0，)cos =、cos 2=2cos2-1=-，sin 2=。因为，所以 (0，)是sin( )=cos(-)=cos2-( )=cos 2cos( ) sin 2sin( )=.5 .简化5.cos250-sin220-sin30sin50=的操作()a.sc10b.-sc10c.sin10d.-sin10答案d解析公式=-cos40=cos100=-sin10。如果设a=cos50cos127 cos40sin127，b=(sin56-cos56 )，c=，则a、b、c的大小关系为()a.abcb.bacc.cabd.acb答案d分析a=sin40cos127 cos40sin127=sin(40 127)=sin167=sin13b=(sin56-cos56)=sin56-cos56=sin(56-45)=sin11c=cos239-sin239=cos78=sin12222222222222222222222222227.=.答案分析=。设为锐角，设cos=、sin值。答案解析为锐角，cos=0222222222222222卡卡卡卡卡卡6sin=sin=sin2cos-cos2sin=sincos-=-=不足。=9.=.答案-4解析表达式=-410.sin cos=、sin-cos=、sin(-)=已知.答案-sin cos=、sin-cos=sincos2=，(sin-cos)2=，即，sin2 2sincos cos2=。sin2-2sincos cos2=. 2 2sin(-)=sin(-)=-.11 .如果sin=且3，则求出cos、tan值.解sin=，3-cos=-.-.-cos=2cos2-12222222222卡卡卡卡卡卡卡卡6呼呼呼的呼呼的tan=212 .在sin=、cos=、且0情况下，求出cos( )的值.解是0。 、-0另外sin=cos=，cos=-、sin=-、cos( )=sin=sin=sincos-cossin=-.13 .已知cos sin=，sin的值为()a.-bc.d.-答案dcos sin=、cos sin sin=即sin cos=sin=，sin=，sin=-sin=-.14 .已知sin (-) cos- cos (-) sin=，是第三象限，sin=.答案分析根据问题推断已知的条件sin(-)-=-sin=、sin=-.另外，由于是第三象限角，因此cos=-.sin=-sin=-sincos-cossin=.15.coscos=、sin4 cos4的值为答案基于co