2021高考数学一轮复习 第十章 计数原理 10.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理教学案 理 新人教A版

10.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理最新考纲考情考向分析1.理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理.2.会用两个计数原理解决一些简单的实际问题.两个计数原理在高考中单独命题较少，一般是与排列组合结合进行考查，一般以选择、填空题的形式出现.基本形式一般形式区别分类加法计数原理完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有nmn种不同的方法完成一件事有n类不同方案，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法，在第n类方案中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有nm1m2mn种不同的方法分类加法计数原理与分步乘法计数原理，都涉及完成一件事情的不同方法种数.它们的区别在于：分类加法计数原理与分类有关，各种方法相互独立，用其中的任何一种方法都可以完成这件事；分步乘法计数原理与分步有关，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成分步乘法计数原理完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有nmn种不同的方法完成一件事需要n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有nm1m2mn种不同的方法概念方法微思考1.在解题过程中如何判定是用分类加法计数原理还是分步乘法计数原理？提示如果已知的每类办法中的每一种方法都能完成这件事，应该用分类加法计数原理；如果每类办法中的每一种方法只能完成事件的一部分，就用分步乘法计数原理.2.两种原理解题策略有哪些？提示明白要完成的事情是什么；分清完成该事情是分类完成还是分步完成，“类”间互相独立，“步”间互相联系；有无特殊条件的限制；检验是否有重复或遗漏.题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同.()(2)在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能直接完成这件事.()(3)在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的.()(4)在分步乘法计数原理中，事情是分两步完成的，其中任何一个单独的步骤都能完成这件事.()题组二教材改编2.已知集合m1，2,3，n4,5,6，7，从m，n这两个集合中各选一个元素分别作为点的横坐标，纵坐标，则这样的坐标在直角坐标系中可表示第一、第二象限内不同的点的个数是()a.12b.8c.6d.4答案c解析分两步：第一步先确定横坐标，有3种情况，第二步再确定纵坐标，有2种情况，因此第一、二象限内不同点的个数是326，故选c.3.已知某公园有4个门，从一个门进，另一个门出，则不同的走法的种数为()a.16b.13c.12d.10答案c解析将4个门编号为1,2,3,4，从1号门进入后，有3种出门的方式，共3种走法，从2,3,4号门进入，同样各有3种走法，共有不同走法3412(种).4.书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书.从书架中任取1本书，则不同取法的种数为_.答案9解析分三类：第一类，从第1层取一本书有4种，第二类，从第2层取一本书有3种，第三类，从第3层取一本书有2种.共有4329(种).题组三易错自纠5.从0,2中选一个数字，从1,3,5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为()a.24b.18c.12d.6答案b解析分两类情况讨论：第1类，奇偶奇，个位有3种选择，十位有2种选择，百位有2种选择，共有32212(个)奇数；第2类，偶奇奇，个位有3种选择，十位有2种选择，百位有1种选择，共有3216(个)奇数.根据分类加法计数原理知，共有12618(个)奇数.6.某人有3个电子邮箱，他要发5封不同的电子邮件，则不同的发送方法有_种.答案243解析因为每个邮件选择发的方式有3种不同的情况.所以要发5个电子邮件，发送的方法有3333335243(种).分类加法计数原理1.满足a，b1,0,1,2，且关于x的方程ax22xb0有实数解的有序数对(a，b)的个数为()a.14b.13c.12d.10答案b解析方程ax22xb0有实数解的情况应分类讨论.当a0时，方程为一元一次方程2xb0，不论b取何值，方程一定有解.此时b的取值有4个，故此时有4个有序数对.当a0时，需要44ab0，即ab1.显然有3个有序数对不满足题意，分别为(1,2)，(2,1)，(2,2).a0时，(a，b)共有3412(个)实数对，故a0时满足条件的实数对有1239(个)，所以答案应为4913.2.如果一个三位正整数如“a1a2a3”满足a1a3，则称这样的三位数为凸数(如120,343,275等)，那么所有凸数的个数为()a.240b.204c.729d.920答案a解析若a22，则百位数字只能选1，个位数字可选1或0，“凸数”为120与121，共2个.若a23，则百位数字有两种选择，个位数字有三种选择，则“凸数”有236(个).若a24，满足条件的“凸数”有3412(个)，若a29，满足条件的“凸数”有8972(个).所以所有凸数有26122030425672240(个).3.如果把个位数是1，且恰有3个数字相同的四位数叫做“好数”，那么在由1,2,3,4四个数字组成的有重复数字的四位数中，“好数”共有_个.答案12解析当组成的数字有三个1，三个2，三个3，三个4时共有4种情况.当有三个1时：2111,3111,4111,1211,1311,1411,1121,1131,1141，有9种，当有三个2,3,4时：2221,3331,4441，有3种，根据分类加法计数原理可知，共有12种结果.思维升华分类标准是运用分类加法计数原理的难点所在，应抓住题目中的关键词，关键元素，关键位置.(1)根据题目特点恰当选择一个分类标准.(2)分类时应注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同种类的两种方法是不同的方法，不能重复.(3)分类时除了不能交叉重复外，还不能有遗漏.分步乘法计数原理例1(1)如图，小明从街道的e处出发，先到f处与小红会合，再一起到位于g处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为()a.24b.18c.12d.9答案b解析从e点到f点的最短路径有6条，从f点到g点的最短路径有3条，所以从e点到g点的最短路径有6318(条)，故选b.(2)有六名同学报名参加三个智力项目，每项限报一人，且每人至多参加一项，则共有_种不同的报名方法.答案120解析每项限报一人，且每人至多参加一项，因此可由项目选人，第一个项目有6种选法，第二个项目有5种选法，第三个项目有4种选法，根据分步乘法计数原理，可得不同的报名方法共有654120(种).本例(2)中若将条件“每项限报一人，且每人至多参加一项”改为“每人恰好参加一项，每项人数不限”，则有多少种不同的报名方法？解每人都可以从这三个比赛项目中选报一项，各有3种不同的报名方法，根据分步乘法计数原理，可得不同的报名方法共有36729(种).本例(2)中若将条件“每项限报一人，且每人至多参加一项”改为“每项限报一人，但每人参加的项目不限”，则有多少种不同的报名方法？解每人参加的项目不限，因此每一个项目都可以从这六人中选出一人参赛，根据分步乘法计数原理，可得不同的报名方法共有63216(种).思维升华(1)利用分步乘法计数原理解决问题要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的，并且分步必须满足：完成一件事的各个步骤是相互依存的，只有各个步骤都完成了，才算完成这件事.(2)分步必须满足两个条件：一是步骤互相独立，互不干扰；二是步与步之间确保连续，逐步完成.跟踪训练1(1)(2020洛阳联考)2019年牡丹花会期间，5名志愿者被分配到我市3个博物馆为外地游客提供服务，其中甲博物馆分配1人，另2个博物馆各分配2人，则不同的分配方法共有()a.15种b.30种c.90种d.180种答案b解析分两步完成：第一步，选1人到甲博物馆，有5种分配方法；第二步，将余下的4人各分配2人到另2个博物馆，有6种分配方法.根据分步乘法计数原理可得，不同的分配方法共有5630(种).(2)已知a1,2,3，b4,5,6,7，则方程(xa)2(yb)24可表示不同的圆的个数为()a.7b.9c.12d.16答案c解析得到圆的方程分两步：第一步：确定a有3种选法；第二步：确定b有4种选法，由分步乘法计数原理知，共有3412(个).两个计数原理的综合应用例2(1)现有5种不同颜色的染料，要对如图所示的四个不同区域进行涂色，要求有公共边的两个区域不能使用同一种颜色，则不同的涂色方法的种数是()a.120b.140c.240d.260答案d解析由题意，先涂a处共有5种涂法，再涂b处有4种涂法，然后涂c处，若c处与a处所涂颜色相同，则c处共有1种涂法，d处有4种涂法；若c处与a处所涂颜色不同，到c处有3种涂法，d处有3种涂法，由此可得不同的涂色方法有54(1433)260(种).故选d.(2)(2019赫山区校级月考)中国古代儒家要求学生掌握六种基本才能(六艺)：礼、乐、射、御、书、数，某校国学社团周末开展“六艺”课程讲座活动，一天连排六节，每艺一节，排课有如下要求：“射”不能排在第一，“数”不能排在最后，则“六艺”讲座不同的排课顺序共有_种.答案504解析根据题意，分2种情况讨论：“数”排在第一，将剩下的“五艺”全排列，安排在剩下的5节，有a120(种)情况.“数”不排在第一，则“数”的排法有4种，“射”的排法有4种，将剩下的“四艺”全排列，安排在剩下的4节，有a24(种)情况，则此时有4424384(种)情况.则一共有120384504(种)排课顺序.(3)用0,1,2,3,4,5,6这7个数字可以组成_个无重复数字的四位偶数.(用数字作答)答案420解析要完成的“一件事”为“组成无重复数字的四位偶数”，所以千位数字不能为0，个位数字必须是偶数，且组成的四位数中四个数字不重复，因此应先分类，再分步.第1类，当千位数字为奇数，即取1,3,5中的任意一个时，个位数字可取0,2,4,6中的任意一个，百位数字不能取与这两个数字重复的数字，十位数字不能取与这三个数字重复的数字.根据分步乘法计数原理，有3454240(种)取法.第2类，当千位数字为偶数，即取2,4,6中的任意一个时，个位数字可以取除首位数字的任意一个偶数数字，百位数字不能取与这两个数字重复的数字，十位数字不能取与这三个数字重复的数字.根据分步乘法计数原理，有3354180(种)取法.根据分类加法计数原理，共可以组成240180420(个)无重复数字的四位偶数.思维升华利用两个计数原理解决应用问题的一般思路(1)弄清完成一件事是做什么.(2)确定是先分类后分步，还是先分步后分类.(3)弄清分步、分类的标准是什么.(4)利用两个计数原理求解.跟踪训练2(1)(2020郑州质检)将数字“124467”重新排列后得到不同的偶数的个数为()a.72b.120c.192d.240答案d解析将数字“124467”重新排列后所得数字为偶数，则末位数应为偶数，(1)若末位数字为2，因为含有2个4，所以有60(种)情况；(2)若末位数字为6，同理有60种情况；(3)若末位数字为4，因为有两个相同数字4，所以共有54321120(种)情况.综上，共有6060120240(种)情况.(2)从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60的共有()a.24对b.30对c.48对d.60对答案c解析如图，在正方体abcda1b1c1d1中，与面对角线ac成60角的面对角线有b1c，bc1，a1d，ad1，ab1，a1b，d1c，dc1，共8条，同理与db成60角的面对角线也有8条.因此一个面上的2条面对角线与其相邻的4个面上的8条对角线共组成16对.又正方体共有6个面，所以共有16696(对).又因为每对被计算了2次，因此成60的面对角线有9648(对).1.有不同的语文书9本，不同的数学书7本，不同的英语书5本，从中选出不属于同一学科的书2本，则不同的选法有()a.21种b.315种c.143种d.153种答案c解析可分三类：一类：语文、数字各1本，共有9763(种)；二类：语文、英语各1本，共有9545(种)；三类：数字、英语各1本，共有7535(种)，共有634535143(种)不同选法.2.(2020保定质检)三个人踢毽子，互相传递，每人每次只能踢一下，由甲开始踢，经过4次传递后，毽子又被踢回给甲，则不同的传递方式共有()a.4种b.6种c.10种d.16种答案b解析分两类：甲第一次踢给乙时，满足条件的有3种传递方式(如图)，同理，甲先传给丙时，满足条件的也有3种传递方式.由分类加法计数原理可知，共有336(种)传递方式.3.十字路口来往的车辆，如果不允许回头，则行车路线共有()a.24种b.16种c.12种d.10种答案c解析根据题意，车的行驶路线起点有4种，行驶方向有3种，所以行车路线共有4312(种)，故选c.4.(2020衡阳模拟)若a1,2,3,4，b1,2,3,4，则yx表示不同直线的条数为()a.8b.11c.14d.16答案b解析若使表示不同的实数，则当a1时，b1,2,3,4；当a2时，b1,3；当a3时，b1,2,4；当a4时，b1,3.故yx表示的不同直线的条数共有423211.5.某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了2个新节目.如要将这2个节目插入原节目单中，那么不同插法的种类为()a.42b.30c.20d.12答案a解析将新增的2个节目分别插入原定的5个节目中，插入第一个有6种插法，插入第2个时有7个空，共7种插法，所以共6742(种).6.从2,3,4,5,6,7,8,9这8个数中任取2个不同的数分别作为一个对数的底数和真数，则可以组成不同对数值的个数为()a.56b.54c.53d.52答案d解析在8个数中任取2个不同的数共有8756(个)对数值；但在这56个数值中，log24log39，log42log93，log23log49，log32log94，即满足条件的对数值共有56452(个).7.(2020石家庄模拟)将“福”“禄”“寿”填入到如图所示的44小方格中，每格内只填入一个汉字，且任意的两个汉字既不同行也不同列，则不同的填写方法有()a.288种b.144种c.576种d.96种答案c解析依题意可分为以下3步：(1)先从16个格子中任选一格放入第一个汉字，有16种方法；(2)任意的两个汉字既不同行也不同列，第二个汉字只有9个格子可以放，有9种方法；(3)第三个汉字只有4个格子可以放，有4种方法，根据分步乘法计数原理可得不同的填写方法有1694576(种).8.(2020安阳模拟)如图为我国数学家赵爽(约3世纪初)在为周髀算经作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案共有()a.120种b.260种c.340种d.420种答案d解析由题意可知上下两块区域可以相同，也可以不同，则共有5431354322180240420(种).故选d.9.若椭圆1的焦点在y轴上，且m1,2,3,4,5，n1,2,3,4,5,6,7，则这样的椭圆的个数为_.答案20解析当m1时，n2,3,4,5,6,7，共6个；当m2时，n3,4,5,6,7，共5个；当m3时，n4,5,6,7，共4个；当m4时，n5,6,7，共3个；当m5时，n6,7，共2个.故共有6543220(个)满足条件的椭圆.10.直线方程axby0，若从0,1,2,3,5,7这6个数字中任取两个不同的数作为a，b的值，则可表示_条不同的直线.答案22解析分成三类：a0，b0；a0，b0和a0，b0，前两类各表示1条直线；第三类先取a有5种取法，再取b有4种取法，故5420(种).所以可以表示22条不同的直线.11.如果一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”.在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是_.答案36解析第1类，对于每一条棱，都可以与两个侧面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有21224(个)；第2类，对于每一条面对角线，都可以与一个对角面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有12个.所以正方体中“正交线面对”共有241236(个).12.如图所示，用五种不同的颜色分别给a，b，c，d四个区域涂色，相邻区域必须涂不同颜色，若允许同一种颜色多次使用，则不同的涂色方法共有_种.答案180解析按区域分四步：第一步，a区域有5种颜色可选；第二步，b区域有4种颜色可选；第三步，c区域有3种颜色可选；第四步，d区域也有3种颜色可选.由分步乘法计数原理，可得共有5433180(种)不同的涂色方法.13.从集合1,2,3,4，10中，选出5个数组成该集合的子集，使得这5个数中任意两个数的和都不等于11，则这样的子集有()a.32个b.34个c.36个d.38个答案a解析先把数字分成5组：1,10，2,9，3,8，4,7，5,6，由于选出的5个数中，任意两个数的和都不等于11，所以从每组中任选一个数字即可，故共可组成2222232(个)这样的子集.14.工人在安装一个正六边形零件时，