2021高考数学一轮复习 第十三章 系列4选讲 13.2 不等式选讲 第2课时 不等式的证明课件 理 新人教A版

,第2课时不等式的证明,13.2不等式选讲,通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法.,最新考纲,主要考查用比较法、综合法、分析法证明不等式，题型为解答题，中档难度.,考情考向分析,课时精练,内容索引,index,回扣基础知识训练基础题目,基础落实,1.比较法(1)作差比较法已知abab0，ab，只要证明即可，这种方法称为作差比较法.(2)作商比较法由ab01且a0，b0，因此当a0，b0时，要证明ab，只要证明_即可，这种方法称为作商比较法.,知识梳理,ab0,2.综合法从已知条件出发，利用不等式的有关性质或定理，经过推理论证，最终推导出所要证明的不等式成立，这种证明方法叫做综合法，即“由因导果”的方法.3.分析法从待证不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直到将待证不等式归结为一个已成立的不等式(已知条件、定理等)，从而得出要证的不等式成立，这种证明方法叫做分析法，即“执果索因”的方法.,4.反证法先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立.5.放缩法证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值放大或缩小，简化不等式，从而达到证明的目的.,1.综合法与分析法有何内在联系？提示综合法往往是分析法的相反过程，其表述简单、条理清楚，当问题比较复杂时，通常把分析法和综合法结合起来使用，以分析法寻找证明的思路，而用综合法叙述、表达整个证明过程.2.分析法的过程中为什么要使用“要证”，“只需证”这样的连接“关键词”？提示因为“要证”“只需证”这些词说明了分析法需要寻求的是充分条件，符合分析法的思维是逆向思维的特点，因此在证明时，这些词是必不可少的.,概念方法微思考,题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)当a0，b0时，()(2)用反证法证明命题“a，b，c全为0”的假设为“a，b，c全不为0”.()(3)若实数x，y适合不等式xy1，xy2，则x0，y0.()(4)若ma2b，nab21，则nm.(),基础自测,题组二教材改编2.已知a，br，ab2，则的最小值为a.1b.2c.4d.8,解析因为a，br，且ab2，,3.若a，b，mr，且ab，则下列不等式一定成立的是,解析因为a，b，mr，且ab.,题组三易错自纠4.已知abc0，abbcac0，abc0，用反证法求证a0，b0，c0时的假设为a.a0，c0c.a，b，c不全是正数d.abcb1，xa，yb，则x与y的大小关系是a.xyb.xb1，得ab1，ab0，,a.abcb.acbc.bcad.cab,典题深度剖析重点多维探究,题型突破,用综合法与分析法证明不等式,题型一,师生共研,例1(1)已知x，y均为正数，且xy，求证：2x2y3；,证明因为x0，y0，xy0，,(2)设a，b，c0且abbcca1，求证：abc.,证明因为a，b，c0，,只需证明(abc)23.即证a2b2c22(abbcca)3，而abbcca1，故需证明a2b2c22(abbcca)3(abbcca)，即证a2b2c2abbcca.,a2b2c2(当且仅当abc时等号成立)成立，,所以原不等式成立.,用综合法证明不等式是“由因导果”，用分析法证明不等式是“执果索因”，它们是两种思路截然相反的证明方法.综合法往往是分析法的逆过程，表述简单、条理清楚，所以在实际应用时，往往用分析法找思路，用综合法写步骤，由此可见，分析法与综合法相互转化，互相渗透，互为前提，充分利用这一辩证关系，可以增加解题思路，开阔视野.,思维升华,siweishenghua,跟踪训练1已知函数f(x)|x1|.(1)解不等式f(x)f(x4)8；,解依题意，原不等式等价于|x1|x3|8.当x1时，则2x28，解得x3.所以不等式f(x)f(x4)8的解集为x|x3或x5.,只需证|ab1|ba|，只需证(ab1)2(ba)2.因为|a|0.故(ab1)2(ba)2成立.从而原不等式成立.,放缩法证明不等式,题型二,师生共研,即|2xy4|n(k1,2，n)，,原不等式成立.,(1)在不等式的证明中，“放”和“缩”是常用的证明技巧，常见的放缩方法有：,思维升华,siweishenghua,(2)使用绝对值不等式的性质证明不等式时，常与放缩法结合在一起应用，利用放缩法时要目标明确，通过添、拆项后，适当放缩.,跟踪训练2设f(x)x2x1，实数a满足|xa|1，求证：|f(x)f(a)|2(|a|1).,证明|f(x)f(a)|x2xa2a|xa|xa1|xa1|xa2a1|xa|2a1|0.(1)当m1，n1时，求关于x的不等式f(x)4的解集；,解由m1，n1，,当x1时，由2x4得x2，所以f(x)4的解集为(，22，).,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,(2)若mnmn，证明：f(x)4.,f(x)|xm|xn|mn|，当且仅当(xm)(xn)0时取等号.因为m0，n0，,当且仅当mn2时等号成立.所以f(x)4.,1,2,3,4,5,2.(2020晋冀鲁豫中原名校联考)已知函数f(x)x2|x1|x1|.(1)求不等式f(x)0的解集a；,解当x1时，不等式f(x)0可化为x2(x1)(1x)0，解得2x0，故有2x1时，不等式f(x)0可化为x2(x1)(x1)0，解得0x2，故有1x2.综上，不等式f(x)0的解集a为x|2x2.,1,2,3,4,5,(2)在(1)的条件下，若a，ba，求证：2|ab|ab4|.,证明要证2|ab|ab4|，即证|ab4|24|ab|2，由|ab4|24|ab|2(a2b28ab16)4(a22abb2)a2b24a24b216(a24)(b24).因为a，ba，所以a24，b24，所以a240，b240，所以(a24)(b24)0.所以|ab4|24|ab|2，故不等式2|ab|ab4|成立.,3.已知函数f(x)|x5|，g(x)5|2x3|.(1)解不等式f(x)g(x)；,1,2,3,4,5,解由题意得原不等式为|x5|2x3|5，,综上可得1x3.原不等式的解集为x|10，m3nmn，,即m3n12，,f(m)f(3n)|2m1|6n1|2m6n|，,又|2m6n|24，当且仅当m6，n2时取等号，f(m)f(3n)24.,1,2,3,4,5,5.已知函数f(x)|x3|.(1)解不等式f(x)f(x1)5；,1,2