七年级数学下册 第八章 整式的乘法 8.5 乘法公式 活用乘法公式的“八先“素材 （新版）冀教版

活用乘法公式的“八先”运用乘法公式可使乘法运算简捷，但有些多项式相乘不能直接运用公式计算，这时若能先适当变形，使之便于运用公式，则往往可化难为易、避繁就简一、先结合后用公式例1：计算(a-b+c-d)(a+b-c-d)分析：两因式中的a，-d分别相同，而b，c分别相反，因而可把第一、四项结合为一组，第二、三项结合为另一组，再用平方差公式计算解： 原式=(a-d)-(b-c)(a-d)+(b-c)=(a-d)2 -(b-c)2=a2 -2ad+d2 -b2 +2bc-c2 二、先活用运算律后用公式分析：本题虽可利用平方差公式计算，但若能利用乘法交换律与结合律适当变形，改用立方和与立方差公式计算较简便三、先逆用法则后用公式例3：计算(x-y)2 (x+y)2 (x2 +y2 )2 分析：若顺向先平方展开再相乘将不胜其繁，倒不如逆用积的乘方法则(abc)2 =a2 b2 c2 ，再利用平方差公式计算较简捷解： 原式=(x-y)(x+y)(x2 +y2 )2=(x2 -y2 )(x2 +y2 )2=(x4 -y4 )2=x8-2x4 x4 +y8四、先拆项后用公式例4：计算(2x+5y-3)(-2x+5y+5)分析：初看两个因式不符合平方差公式的结构特征，难以运用公式求解，但若把“-3”拆为“-4+1”，把“5”拆为“4+1”，则运用公式的前景依稀可见解：原式=(2x+5y-4+1)(-2x+5y+4+1)=(5y+1)+(2x-4)(5y+1)-(2x-4)=(5y+1)2 -(2x-4)2=25y2 +10y-4x2 +16x-15五、先增添因式后用公式例5：计算(22 +2+1)(26+23 +1)(218+29+1)分析：若直接相乘将繁杂冗长，注意到各因式具有立方差公式中第二个因式的结构特征，因而先增添因式(2-1)，再用公式简捷运算解：原式=(2-1)(22 +2+1)(26+23 +1)(218+29+1)=(23 -1)(26+23 +1)(218+29+1)=(29-1)(218+29+1)=22 7-1六、先换元后用公式例6：计算(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)分析：注意到1+4=2+3这个特征，因而可先换元然后运用公式计算解：原式=(x+1)(x+4)(x+2)(x+3)=(x2 +5x+4)(x2 +5x+6)设a=x2 +5x+5，则原式=(a-1)(a+1)=a2 -1=(x2 +5x+5)2 -1=x4 +10x3 +35x2 +50x+24说明：本解法用到了公式(a+b+c)2 =a2 +b2 +c2 +2ab+2ac+2bc七、先变换所求式后用公式例7：a=1998x+1997，b=1998x+1998，c=1998x+1999，那么a2 +b2 +c2 -ab-bc-ca的值是_分析：注意到所求式的2培具有完全平方公式的特征，因而先变换所求式然后应用公式计算解：由已知，得a-b=-1，b-c=-1，c-a=2，则八、先添项后用公式例8：若(z-x)2 -4(x-y)(y-z)=0，则x+z-2y+1999=_分析：注意到已知式中4(x-y)(y-z)具有完全平方公式中2ab的形式，因而在(z-x)2 中添项“-y+y”，把它变形为(z-y)+(y-x)2 ，然后运用公式计算解：(z-x)2 -4(x-y)(y-z)=(z-y)+(y-z)2 -4(z-y)(y-x)=(z-y)2 -2(