七年级数学下册 第十一章《因式分解》11.2 提公因式法典型例题（二）（新版）冀教版

典型例题（二）提公因式法(公因式是多项式)例1 把5x3y(x-y)3-10x4y3(y-x)2分解因式分析：首先把多项式5x3y(x-y)3-10x4y3(y-x)2看成由两项5x3y(x-y)3和-10x4y3(y-x)2组成，再根据符号法则把每一项括号内的多项式化成按同一字母降幂或升幂排列的形式，且使括号内第一项的符号为正如5x3y(x-y)3=-5x3y(y-x)3或-10x4y3(y-x)2=-10x4y3(x-y)2.因为(y-x)2=-(x-y)2=(x-y)2，所以公因式是5x3y(x-y)2又因为(x-y)3=-(y-x)3=-(y-x)3，所以公因式也可以是-5x3y(y-x)2解法一： 5x3y(x-y)3-10x4y3(y-x)2=5x3y(x-y)3-10x4y3(x-y)2=5x3y(x-y)2(x-y-2xy2)解法二： 5x3y(x-y)3-10x4y3(y-x)2=-5x3y(y-x)3-10x4y3(y-x)2=-5x3y(y-x)2(y-x+2xy2)说明：解决这类问题的关键，要掌握符号的变化规律在变形中，我们运用了如下的关系：因为y-x=-(x-y)，所以(y-x)2=-(x-y)2=(x-y)2，(y-x)3=-(x-y)3=-(x-y)3，(y-x)4=-(x-y)4=(x-y)4，归纳起来就是如下两条公式：(y-x)2n+1=-(x-y)2n+1，(y-x)2n=(x-y)2n(n为自然数)这两种解法的结果是一致的习惯上按x、y的顺序写，取解法一在分解中，要防止变号时容易出现的错误，如将(y-x)2误等成-(x-y)2例2 分解因式x(x-y)2(a-b)-(y-x)3(b-a)分析1： 因为b-a=-(a-b)，(y-x)3=-(x-y)3，所以原多项式的第二项-(y-x)3(b-a)=-(x-y)3-(a-b)=-(x-y)3(a-b)，因此，公因式为(x-y)2(a-b)解： x(x-y)2(a-b)-(y-x)3(b-a)=x(x-y)2(a-b)-(x-y)3(a-b)=(x-y)2(a-b)x-(x-y)=y(x-y)2(a-b)分析2： 因为b-a=-(a-b)，(x-y)2=(y-x)2，所以原多项式就成为x(y-x)3(a-b)-(y-x)3-(a-b)=x(y-x)2(a-b)+(y-x)3(a-b)，因此，公因式为(y-x)2(a-b)解： x(x-y)2(a-b)-(y-x)3(b-a)=x(y-x)2(a-b)+(y-x)3(a-b)=(y-x)2(a-b)x+(y-x)=y(y-x)2(a-b)说明：（1）最后结果中，有单项式因式，也有多项式因式时，应将单项式因式写在多项式因式的前面本例的结果不要写成(x-y)2y(a-b)，也不要写成(x-y)2(a-b)y（2）在一个因式中，若有同类项的，必须合关例3 把a(x-y)+(ay-ax)y分解因式分析：当被分解的多项式各项没有公因式时，可尝试将某些项组合或将有的项分解，可将第二项提出一个公因式a，再把y-x转化为-(x-y)，原多项式就有公因式为a(x-y)解：a(x-y)+(ay-ax)y=a(x-y)-(ax-ay)y=a(x-y)-a(x-y)y=a(x-y)(1-y)例4 把a2b(m2-mn)+ab2(n2-mn)分解因式分析：这个多项式共含两项，第一项中有一个因式是多项式且有公因式m；第二项中有一个因式也是多项式且有公因式n，把m、n分别提出来以后，原多项式的公因式为ab(m-n)解：a2b(m2-mn)+ab2(n2-mn)=a2bm(m-n)+ab2n(n-m)=a2bm(m-n)-ab2n(m-n)=ab(m-n)(am-bn)例5 求代数式的值（1）已知：a-b-c=16，求a(a-b-c)+b(c-a+b)+c(b+c-a)的值（2）已知：a=88.8，x=-6，y=-9，z=-15，求3ax+3ay-3az的值分析：（1）先分解因式，再求值，因为c-a+b=-(a-b-c)，b+c-a=-(a-b-c)，所以可以利用提取公因式法来分解因式（2）这个多项式有公因式3a，先分解因式，再求值解： （1）a(a-b-c)+b(c-a+b)+c(b+c-a)=a(a-b-c)-b(a-b-c)-c(a-b-c)=(a-b-c)(a-b-c)=(a-b-c)2当a-b-c=16时原式=(a-b-c)2