七年级数学下册 第十一章《因式分解》11.1 因式分解 因式分解教学谈素材 （新版）冀教版

因式分解教学谈因式分解是整式变形的重要内容，也是解决某些数学问题的重要手段学习多项式的因式分解，首先要明确因式分解与整式乘法的区别和联系事实上，整式乘法是把几个整式相乘，化为一个多项式；而因式分解是把一个多项式化为几个因式相乘，其基本格式如：知道了这种区别和联系，即明白了因式分解实质上就是把整式乘法的过程倒过来，为使同学们更好地掌握因式分解的技巧，形成能力，笔者以为从以下三个方面入手进行教学，可望取得较好的效果一、熟悉分解方法1提公因式法，只要所给多项式的各项有公因式，就先把各项的公因式提出来例1 分解因式：56x3yz+14x2y2z-21xy2z2解 原式=7xyz(8x2+2xy-3yz)2以所给多项式的项数为线索，确定分解方法，一般来说，二项式、三项式采用公式法或十字相乘法；四项以上的采用分组分解法例2 分解因式：a4b-ab4分析 提取公因式后，运用立方差公式解 原式=ab(a3-b3)=ab(a-b)(a2+ab+b2)有一些题目从表面上看不是二项式或三项式，这时可把几项看作一项，归结为二项式或三项式例3 分解因式：x2-y2-z2-2yz.分析 把-y2-z2-2yz看成一项，利用平方差公式就可以分解解 原式=x2-(y2+2yz+z2)=x2-(y+z)2=(x+y+z)(x-y-z)例4 分解因式：a3-6a2b+12ab2-8b3分析 考虑用分组分解法，注意从各种分组方法中找出比较合适的，以达到能将整个多项式分解之目的解 原式=(a3-8b3)-(6a2b-12ab2)=(a-2b)(a2+2ab+4b2)-6ab(a-2b)=(a-2b)(a2-4ab+4b2)=(a-2b)33有时所给多项式有多种合适的分组方法例5 分解因式：x5-x4+x3-x2+x-1解法1 原式=(x5-x2)-(x4-x)+(x3-1)=x2(x3-1)-x(x3-1)+(x3-1)=(x3-1)(x2-x+1)=(x-1)(x2+x+1)(x2-x+1)解法2 原式=(x5-x4+x3)-(x2-x+1)=x3(x2-x+1)-(x2-x+1)=(x2-x+1)(x3-1)=(x-1)(x2+x+1)(x2-x+1)二、掌握变形技巧1去掉括号，重新分组例6 分解因式：ab(c2+d2)+cd(a2+b2)解 原式=abc2+abd2+a2cd+b2cd=(abc2+a2cd)+(abd2+b2cd)=ac(bc+ad)+bd(ad+bc)=(ac+bd)(bc+ad)例7 分解因式：(x2+3x-2)(x2+3x+4)-16解 设x2+3x=y，则原式=(y-2)(y+4)-16=y2+2y-24=(y+6)(y-4)将y=x2+3x代回上式，则原式=(x2+3x+6)(x2+3x-4)=(x2+3x+6)(x-1)(x+4)2拆项添项，重新整理例8 分解因式：x3+3x2-4解法1 原式=(x3+2x2)+(x2-4)=x2(x+2)+(x+2)(x-2)=(x+2)(x2+x-2)=(x+2)(x+2)(x-1)=(x+2)2(x-1)解法2 原式=(x3-1)+(3x2-3)=(x-1)(x2+x+1)+3(x+1)(x-1)=(x-1)(x2+4x+4)=(x+2)2(x-1)解法3 原式=(x3+3x2-4x)+(4x-4)=x(x2+3x-4)+4(x-1)=x(x+4)(x-1)+4(x-1)=(x-1)(x2+4x+4)=(x+2)2(x-1)三、规范分解结果对因式分解的结果必须注意以下几点：1必须是几个因式的乘积如分解x2+3x-4=(x+2)(x-2)+3x，此结果不是乘积的形式，应分解为：x2+3x-4=(x+4)(x-1)2每个因式必须都是整式x4+4y4=x4+4x2y2+4y4-4x2y2=(x2+2y2)2-4x2y2=(x2+2y2+2xy)(x2+2y2-2xy)3必须分解到不能再分解为止如：，其中因式还可以分解为发；若规定在实数范围内分解