因式分解精选例题(附答案)

素因数分解例题的说明和练习【例题精选】:(1)评价：首先检查各系数(其他字符暂时不见)，5、15、20的最大系数为5，系数为5，进一步检查各项中是否有字符x，确认各项都是x的最小幂是什么，在此确认提取X2，用同样的方法确定提示y，最后提示因子5X2Y 提取公因性后，计算括号内的各项目。解答：=(2)评价：多项式的第一项系数为负数，首先给出负数，各系数的最大公系数为3，同一个字母的最低项为X2Y解：=(3) (y-x ) (c-B- a )-(x-y ) (2a-B- c )-(x-y ) (B- 2a )评价：在本问题中，y-x和x-y均可作为公因，但必须避免负号过多，因此必须提取y-x解：公式=(y-x ) (c-b-a ) (y-x ) (2a-b-c ) (y-x ) (b-2 a )=(y-x)(c-b-a 2a b-c b-2a )=(y-x)(b-a )(4)将(4)分解因子评价：由于该多项式具有公因性2x3，因此首先提取公因性，其馀的多项式16y4-1具有平均方差式的形式解：=2=2=(5)分解因子评价：首先提取公式因子xy2，其馀的多项式x6-y6可以看到作用的平均方差式的分解，最后利用立方和立方差式的分解。对于x6-y6，也可以首先使用立方差式进行分解，但很麻烦。解答：=xy2(x6-y6)=xy2=(6)将分解因子评价： (x yY )视为一个整体，这个多项式相当于(XY )的二次三项式，而且由于是应降序列，因此适合于完全平方式。 虽然本实例的多项式剪辑不能通过乘法展开来分解，但是注意到分析的观察结果表明(x y )在完全平方的a，(6Z )变换公式中的解答：=(x y-6z)2(7) (7)分解因子评估：如果将x2-2y2和y2看作两个整体，则注意到该多项式是关于x2-2y2和y2的二次三项式，但最后两个不是有理数范围内的完全平方项，不能按原样应用完全平方式，但在提出第一个系数后，括号中实质上是完全平方式。解答：=(8)分解因子a2-b2-2b-1评价：首先看，前两个可以用平均方差式分解。 若采用二、二组合，则式=(a b)(a-b)-(2b 1)不能继续分解。 进一步详细看，后三项是完全平坦的方式，必须采用“一、三”组。解： a2-B2-2 B-1=a2-(B2-2 B1 )=a2-(B1 )2= a (B1 ) =(a-B-1) (ab1 )一般来说，四项式“一、三”分解，最后使用“平方方差”。 四项式“二、二”的组合，只在前后两个组合中出现公因性，是正确的组合方案。(9)对a2- ABAC-BC进行因子分解解法1:a2-ABAC-BC=(a2-ab ) (AC-BC )=a (a-b ) c (a-b )=(a-b ) (a-c )解法2:a2-ABAC-BC=(a2ac )-(abbc )=a (AC )-b (AC )=(a-b ) (AC )(10) (10 )分解因子解法1 :=解法2 :=说明：例(2)和例(3)的解法1和解法2虽然分组不同，但具有相同的内在联系，即两组的对应系数成比例。 (2)问题解法1:1，解法2也1:1 (3)问题解法11:1，解法2为2:(-3 )(11 )分解因子评价：四项式观察一般的三项是否完全平整。 那样的话，不考虑“一、三”组，而是考虑“二、二”组解法1 :=解法2:=解法3:=(12 )分解元素(a-b)2-1-2c(a-b) c2评价：本问题将(a-b )视为一个整体，其中3个项目完全平整，可以观察到“一、三”组了解： (a-b)2-1-2c(a-b) c2= (a-b )2- 2c (a-b ) c2)-1= (a-b )-c 2-1=(a-b-c )2-1- (a-b-c1) (a-b-c-1 )(13 )分解因子8a2-5ab-42b2 8a -21b了解：8a2-5ab-42b2 a 2b=(8a-21b)(a 2b) -21ab 16ab=-5ab(14 )分解质数a6- 10a 3了解： a6-10a3 16 a3 -2=(a3-2)(a3-8) a3 -8=(a3-2) (a-2 ) (a2a4)-8 a3-2a3=-10 a 3(15) (15 )分解因子-x2 x 30解：-x2 x 30 (先出负号) x 5=-(x2-x-30) x -6=-(x 5)(x-6) 5x-6x=-x(16 )分解元素12(x y)2-8(x y)-7了解： 12(x y)2-8(x y)-7 2(x y) 1=2(x y) 16(x y)-7 6(x y) -7=(2x 2y 1)(6x 6y-7) -14 6=8(17 )分解因子评价：这个问题有五个公式，能否分组，分组后要看组与组之间是否有公因，或是否符合公式。 该问题注意到以下3个项目提出-1后，实际上是立方差式分解的一个因子解答：=(18) (18 )分解因子评价：符合完全平方式，其馀3个项目在提出-1后立即认为是完全平方式，分组后也可以用平方分散式继续分解。解答：=(19 )分解因子评估：不先展开两个二次三项式的乘积，而是注意到两个二次三项式的前两项是这一显着特征，我们可以分解为=a可能(a 1)(a 2)-6即a2 3a 2-6，即a2 3a-4，在此情况下为(a 4)(a-1 )。解答：=(20 )将分解因子解答：=(21 )将分解因子评价：它与例3(1)的形式不同，但通过观察，我们可以先分解这两个二次三项式。 再次回到例3(1)的形式，结合第一项和第三项，结合第二项和第四项，全部发生(x2-3x )。解答：=(22 )将分解因子评价：不要轻易展开前四个要素的乘积。 请注意，常数为16=23=6，如果利用结合律则会出现a2 6解答：=(23)(x1)(x3)(x5)(x7)-9分解因子评价：不要轻易展开前四次素因数的乘积。 注意1 7=3 5，通过使用乘法的组合方程，以(x1)、(x7)和(x3)、(x5)分别乘以一次出现的形式，以(x2 8x )作为总体a同时出现在两个质数之中的形式，即，在展开之后具有a2 22a 96，并且以十字相乘(a6)、(a 16 )解： (x 1)(x 3)(x 5)(x 7)-9=(x 1)(x 7)(x 3)(x 5)-9=以下，与实施例3同样=96=(24 )将x (x1 ) (x2 ) (x3 )-24分解为因子评价：观察第一项和第四项的上次式的乘法出现(x23x )，观察第二项和第三项的上次式的乘法出现(x23x )。 x2 3x=a时，为a(a 2)-24，容易分解了解： x(x 1)(x 2)(x 3)-24=x(x 3)(x 1)(x 2)-24=(25 )分解因子评价：不要匆忙展开，通过观察前两项发现有共同的x2 3x。 这种情况下，将其作为整体来考虑可简化计算。解答：=(26 )分解因子评价：观察到前后2个为(a b )和(c-d )。 由此，可以将它们作为整体来看待。解答：=(27 )分解因子评价： (1 a )视为一个整体，第一项1和第二项a也合成一个整体(1 a )解答：=(28 )将分解因子评价：该问题容易考虑分组法，但考虑到困难此时可设定用未定系数法求出m和n解：设定=比较两侧对应系数而得到m 2n=2 -3n 2m=11 mn=-4 由和得到的m=4，n=-1代入也成立=(2x-3y 4)(x 2y-1 )(29 )将分解因子解答：=(x 4y m)(x-2y n )=m n=-4 有4n-2m=-10 mn=3 由和代入m=-3、n=-1，也成立=(x 4y-3)(x-2y-1 )(30)xy=2时求出值评估：x y=2这是唯一的条件。 从中找到x y或关系(x y )的表达式解：=(x y)() 6xyx y=2表达式=2=8(31 )以已知=2求出的值解：=2表达式=2/2-3=2(32 )已知的x-y=2，求出的值解答：=(x-y) -3a=(x-y) 2ax-y=a公式=中学质因数分解的常用方法(例题详细解)一、提出公法如多项式其中，m被称为该多项式的各项目的公因性，m可以是一项式也可以是多项式二、运用公式法运用公式法，即可使用写出结果三、分组分解法(1)分组后，可以直接提出公因性例1、分解因子：分析：从“整体”来看，该多项式的各项目没有公因性，也不能用公式进行分解，但从“局部”来看，由于该多项式的前两个项目含有a，后两个项目含有b，因此将前两个项目分为一组，将后两个项目分为一组进行分解解：原式=各组之间还有公因性！=想一想：这个问题可以怎样分组？这种类型的组合的关键：组合之后，可以在每个组内提供公共元素，并且在每个组分解之后，可以在组与组之间提供公共元素。例2、分解因子：解法1 :第一、第二项为一组解法2 :第一、四项为一组第三、四项为一组。 第二、三项为一组。解：原式=原式=练习：分解素因数1、2，(2)分组后，可直接应用公式例3、分解因子：分析：将第一项、第三项分为组，将第二项、第四项分为组，可以提出公因性，但提出后可以继续分解，只能分为别的组。解：原式=例4、分解因子：解：原式=注意这两个例题的区别！练习：分解因子3、4，综合练习： (1) (2)(3) (4)(5) (