2021高考数学一轮复习 第六章 数列 高考专题突破三 高考中的数列问题教学案 理 新人教A版

高考专题突破了第三次高考的顺序问题。算术级数和几何级数基本量的计算命题点1序列与数学文化例1 (1)(2019乐山仿真)张丘建算经中的妇女编织问题是：女人擅长编织，每天编织得越来越快，从第二天开始，她每天编织的布量与前一天相同。众所周知，她在第一天织5英尺的布，在一月织390英尺的布(基于30天)，从第二天开始，她每天要织多少英尺的布？()美国广播公司答案b通过分析问题的含义，我们可以知道每天有多少织物被织成等差数列，其中第一项a1=5在第一天，s30=390在1月30日。如果从第二天开始，每天织出的织物比前一天多，则为公差d30=305d=390，结果为d=。因此，选择了b。(2)(2019北京房山区模拟)九章算术有以下问题：今天，蒲生活一天，三尺长，关生活一天，一尺长，蒲生的生日是一半，关生的生日是两倍长。需要多长时间？这意味着蒲第一天长3英尺，关第一天长1英尺，蒲前一天长一半，关前一天长两倍。如果pu和guan长度相等，则所需时间为(结果精确到0.1，参考数据：lg20.3010，lg30.4771)()a.2.2天b.2.4天c.2.6天d.2.8天答案c解析集pu的长度由几何级数an组成，其中a1=3，公比，其前n项之和是an，然后an=6。关的长度由几何级数bn组成，其b1=1，公比为2，其前n项之和为bn。那么bn=2n-1，根据主题，6=2n-1，排序后，2n=7，解为2n=6或2n=1(省略)。n=log26=1+2.6.蒲和关的长度相等大约需要2.6天。所以选择c。思维的升华对于数学文化中涉及的数列模型，在解决问题时，应该仔细检查问题，从问题的背景中提取相关信息，进行分析和总结，然后构造一个合适的数列模型，然后根据算术或几何级数的相关公式求解答案。如果有必要，应该进行测试。继训1 (1)(2019湖南省长沙市第一中学)周髀算经有这样一个问题：从冬至日开始，12个节气(微寒、严寒、立春、雨、螫虫、春分、清明节、谷雨、长夏、小满和天幕子)有一个日影子长度的算术级数，冬至日、立春和春分的日影子长度之和为31.5英尺， 前九个节气的日阴影长度之和为85.5英尺，遮阳篷种子的日阴影长度为()1.5英尺，2.5英尺，3.5英尺，4.5英尺答案b根据分析，这12个节气的太阳长度和阴影将成为算术级数an，sn是其前n项的总和，然后s9=9a5=85.5，所以a5=9.5，根据主题，a1 a4 a7=3a4=31.5，所以a4=10.5。所以公差d=a5-a4=-1，所以a12=a5 7d=2.5，所以选择b。(2)(2019江西省福州市临川一中模拟)中国古代数学名著九章算术中有这样一个问题：今天有牛、马、羊相残的苗，苗主负责五蒲式耳小米。羊主人说：“我的羊吃了半匹马。”马主人说：“我的马吃了半头牛。”现在，如果你想弥补下降，问每个人怎么做？今天，牛、马和羊已经吃了别人的谷物幼苗。谷物幼苗的主人要求赔偿5蒲式耳。羊的主人说：“我的羊只吃了马一半的谷苗。”马的主人说：“我的马只吃了牛一半的谷苗。”按照这个比例，他们每个人应该偿还多少？在这个问题上，如果一桶是10升，马主人应该偿还小米()a.促销b .促销c .促销d .促销答案d因为5桶=50升，假设羊、马和牛的主人应该分别支付a1、a2和a3。根据问题的含义，它形成了一个几何级数，通常比率为2，s3=50。则=50，结果a1=，因此，马主人要偿还的金额是a2=2a1=。所以选择d。命题2:交叉运用方程思想和通项公式、前n项和公式，解决了思维升华算法与几何级数基本量的关系。求解时，要“瞄准目标”，灵活运用序列的相关性质，简化运算过程。跟踪培训2 (2019桂林模拟)已知容差不为0的算术级数an的前n项之和为sn，s1 1，s3，s4为算术级数，a1，a2，a5为几何级数。(1)找到序列an的通式；(2)如果s4、s6、sn是几何级数，求n与该几何级数的公比。解决方案(1)将序列an的容差设置为d根据问题的意思结果是 an=2n-1。(2)从(1)可知，an=2n-1， sn=n2，s4=16,s6=36，s4sn=s， n2=81， n=9，公比q=。序列之和命题点1群求和和级联求和例3(湖南省张家界市慈利县，2019年)已知an是算术级数，bn是几何级数，b2=3，b3=9，a1=b1，a14=b4。(1)找到an的通式；(2)设置cn=an bn以找到序列cn的前n项的总和。解(1)让算术级数的公差为d，几何级数的公比为q，因为b2=3，b3=9，q=3可用。所以bn=b2qn-2=33n-2=3n-1，从a1=b1=1，a14=b4=27，所以d=2，因此，序列an的通项公式为an=a1+(n-1)d=1+2(n-1)=2n-1。(2) cn=an bn=(2n-1) 3n-1是由问题的含义可知的。那么数列cn的前n项之和就是1+3+(2n-1)+(1+3+9+3n-1)=+=n2+。命题点2错位减法求和例4 (2019年安徽省合肥市第一中学与安庆市第一中学联考)假设几何级数an满足a1 a3=20且a2 a4=10。(1)让tn=a1a2a3.一、求出总氮的最大值；(2)让bn=log2an，找到序列anbn的前n个项和sn。解(1)让几何级数的第一项为a1，公比为q，a1 a1q2=20，a1q a1q3=10，所以，当an= 1时，解为n5。所以a1 a1a2a3a4a5=1a6a7，因此，tn的最大值是t4=t5=16842=1024。(2)从(1)我们知道bn=log2an=log2=5-n，anbn=(5-n) n-5，sn=4-4+3-3+(5-n)n-5，两边同时相乘，sn=4-3 3-2.(5-n) n-4。减去这两种类型，sn=4-4 - (5-n)n-4=416 - (5-n)n-4=64-16-(5-n)n-4=48+(n-3)n-4，所以sn=96 (n-3) 25-n。三分裂项相消的命题点求和例5(三明质检2020)已知正项序列an的前n项之和为sn，a1=1，(t 1) sn=a 3an 2 (t r)。(1)找到序列an的通式；(2)如果序列bn满足b1=1，bn 1-bn=an 1，找到序列的前n项和t n。解决方案(1)因为a1=1且(t 1) sn=a 3an 2，所以(t1)s1=3a 1 2，所以t=5。so 6sn=a 3an 2.1当n2时，有6sn-1=a 3an-1 2，(1)至(2)获得6an=a 3an-a-3an-1，所以(an-1) (an-an-1-3)=0，因为an0，an-an-1=3，因为a1=1，因此an是第一项为1、公差为3的算术级数。所以an=3n-2 (n n *)。(2)因为bn 1-bn=an 1，b1=1，所以bn-bn-1=an (n 2，nn*)，所以当n2时，bn=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+(b2-b1)+b1=an+an-1+a2+b1=。b1=1也适用于上述公式，因此bn=(n n *)。因此.=，所以tn=，=。思维的升华(1)一般来说，要找到数列的通项，通常需要构造数列。这时，人们可以从结论开始加以证明，这是非常重要的解决问题的信息。(2)根据数列的特点，选择合适的求和方法。常用的求和方法包括位错减相、分组变换、分裂消相等。跟踪训练3 (1)已知序列an的前n项之和是sn，a1=，an 1=an (n n *)。(1)证明：序列是几何级数；找到序列an的通项公式和前n项及sn。(1)证明a1=，an 1=an，当nn*时，8800为0。再次=，=(n n *)是常数，是几何级数，第一项为公共比率。(2)解基于几何级数，它是第一项和公比。sn=1+22+33+nn，sn=12+23+(n-1)n+nn+1， sn=2 3 n-nn 1=-nn 1是通过减去两个公式得到的。sn=2-n-1-nn=2-(n+2)n.总而言之，an=nn，sn=2-(n 2) n。(2)(2019天津南开区模拟)已知序列an的前n项和sn=-an-n-1 2 (n n *)满足bn=2nan。(1)验证：序列bn是算术级数，找到序列an的通项公式；(2)设cn=，序列cn的前n项之和为t n，并求出满足tn(nn*)的n的最大值。解 sn=-an-n-1 2 (n n *)，当n2时，sn-1=-an-1-n-2 2，an=sn-sn-1=-an+an-1+n-1，2nan=2n-1an-1 1，bn=2nan,bn=bn-1+1，也就是说，当n2时，bn-bn-1=1，如果n=1，s1=-a1-1 2=a1，即a1=。b1=2a1=1，级数bn是第一项和公差为1的算术级数。所以bn=1 (n-1) 1=n=2nan，an=n。(2) cn=2，tn=2=2，从tn开始，2n 164=26，n5，nn *的最大值为4。示例(12分)(2019年国家二级)已知系列an和bn满足a1=1，b1=0，4an 1=3an-bn 4，4bn 1=3bn-an-4。(1)证明：an-bn是几何级数， an-bn 是算术级数；(2)找出an和bn的通式。规范解决方案(1)证明4an 1=3an-bn4，4bn+1=3bn-an-4。4(an+1+bn+1)=2(an+bn)，10亿1=(10亿)，2点* a1 b1=1 0=10，3分是一个非零常数，4分 an bn是一个几何级数，以1为第一项，有一个共同的比率。5分4an+1=3an-bn+4，4bn+1=3bn-an-4，4(an+1-bn+1)=4(an-bn)+8，(1bn 1)-(an-bn)=2不变，7点同样 a1-b1=1-0=1， an-bn是一个算术级数，第一项为1，公差为2。8分(2)解由(1)可知，an bn=，an-bn=2n-1。10分=(an bn)(an-bn)=n-，11点bn=(an bn)-(an-bn)=-n .12点第一步是根据定义法、算术(等比)中项法和一般项公式法确定序列是算术(等比)序列。第二步：从算术(等比)序列的基础知识中找出通项，或者从递推公式中找出通项；第三步：根据和的表达式或一般项的特点，选择合适的方法(分组变换法、位错相位减法、分裂项相位消去法)进行求和；第四步：重新思考解决问题的过程，测试容易出错的地方，并规范解决问题的步骤。1.(2019北京市昌平区模拟)已知公差不为0的算术级数an的前三项之和为12，a2、a4和a8为几何级数。(1)找到序列an的通式；(2)设置bn=，并找到序列bn的前n项和sn。解(1)让算术级数的第一项为a1，公差为d根据题目的意思从d0，an=2n。(2) bn=22n=4n由(1)可知。因为=4，b1=4，因此，序列bn是一个几何级数，以4为前导项，以4为公比。所以sn=。2.众所周知，序列an是一个几何级数，其中所有项目都是正的，a1 a2=2，a3 a4=32。(1)找到序列an的通式；(2)设置bn=a log2an，并找到序列bn的前n项和t n。解(1)让几何级数的公比an为q(q0)，然后an=a1qn-1和an0，众所周知简化它同样a10，q0，8756；a1=1，q=2，序列an的通项公式是an=2n-1。(2)从(1)我们知道bn=a log2an=4n-1 n-1，tn=(1+4+42+4n-1)+(0+1+2+3+n-1)=+=+。3.(合肥质检2020)已知几何级数an是一个递减序列，第一项为1，a3 a4=6a5。(1)找到序列an的通式；(2)如果bn=nan，找到序列bn的前n个项和t n。溶液(1)由a3 a4=6a5和a1=1组成，得到6q2-q-1=0，获取q=或q=-.序列an是递减序列， q=。an=1n-1=n-1.(2)bn=nan=nn-1，tn=10+21+32+nn-1，tn=11+22+33+nn.减去这两种类型tn=0+1+2+n-1-nn=-nn=2-2n-nn=2，tn=4-