天津市第一中学2020届高三数学下学期第四次月考试卷 理（含解析）

天津一中、益中学校2020 高三年级四月考数学试卷（理）一、选择题：共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题的4个选项中，只有一项是符合题目要求的，将答案涂在答题卡上。1.设集合，则等于A. B. C. D. 【答案】B【解析】解：，所以，故选B。2.设变量，满足约束条件：，则目标函数的最小值为A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先作可行域，再结合图象确定最优解，解得结果.【详解】先作可行域，则直线过点A(2,1)时取最小值7，选B.【点睛】本题考查线性规划求最值问题，考查基本分析求解能力，属基本题.3.执行如图所示的程序框图，如果输入的，则输出的A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案【详解】解：第一次执行循环体后，S，m，n1，不满足退出循环的条件；再次执行循环体后，S，m，n2，不满足退出循环的条件；再次执行循环体后，S，m，n3，不满足退出循环的条件；再次执行循环体后，S，m，n4，不满足退出循环的条件；再次执行循环体后，S，m，n5，不满足退出循环的条件；再次执行循环体后，S，m，n6，不满足退出循环的条件；再次执行循环体后，S，m，n7，满足退出循环的条件；故输出的n值为7，故选：C【点睛】解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.4.设函数的最小正周期为，且则A. 在单调递增B. 在单调递减C. 在单调递减D. 在单调递增【答案】B【解析】【分析】先利用配角公式化为基本三角函数，再根据正弦函数周期性求，根据奇偶性求，最后根据余弦函数单调性确定选项.【详解】因为，所以因为，所以为偶函数，因此,因为，所以，在单调递减，选B.【点睛】本题考查正弦函数与余弦函数性质，考查基本分析求解能力，属基本题.5.设等比数列的的前项和是，则“”是“”的A. 充要条件B. 充分而不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】先化解，再根据公比范围以及不等式性质确定选项.【详解】设等比数列的的公比为，则，所以，即“”是“”的充要条件，选A.【点睛】本题考查等比数列通项公式以及不等式性质，考查基本分析化简能力，属基本题.6.己知函数，若，则A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先确定大小，再根据单调性确定结果.【详解】因为,所以由图知因为为R上单调递增函数，所以，选C.【点睛】本题考查指数函数与对数函数图象与性质，考查基本分析判断能力，属中档题.7.己知双曲线左支上点与右焦点关于渐近线对称，且，则该双曲线的方程为A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先求右焦点关于渐近线对称点坐标，再根据得关系，据此可作出判断.【详解】根据对称性，不妨先求右焦点关于渐近线对称点，易得,再根据,得,对照选项可得选A.也可根据B在双曲线上，得，即得,解得，选A.【点睛】本题考查双曲线标准方程以及渐近线，考查综合分析与求解能力，属中档题.8.已知函数在上的最大值为，若函数有4个零点，则实数的取值范围为A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先根据三次函数单调性确定，再结合函数图象确定实数的取值范围.【详解】因为在R上单调递增，所以,即，作图象，由图象可知，当时有即从而实数的取值范围为选C.【点睛】本题考查函数图象与性质，考查综合分析求解能力，属中档题.二、填空题：共6个小题，每小题5分，共30分，将答案填写在答题卡上。9.若为纯虚数，其中，则等于_【答案】i【解析】【分析】先根据纯虚数概念求，再根据复数除法法则求解结果.【详解】因为为纯虚数，所以即，因此【点睛】本题考查纯虚数概念以及复数除法法则，考查基本分析求解能力，属基本题.10.如图，半球内有一内接正四棱锥，该四棱锥的体积为，则该半球的体积为_. 【答案】【解析】【分析】由题意可知半球的半径与正四棱锥的高相等，可得正四棱锥的棱与半径的关系，进而可写出半球的半径与四棱锥体积的关系，进而求得结果.【详解】设所给半球的半径为，则四棱锥的高，则，由四棱锥的体积，半球的体积为：.【方法点睛】涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点（一般为接、切点）或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径（直径）与该几何体已知量的关系，列方程（组）求解.11.二项式的展开式中，仅有第六项的二项式系数取得最大值,则展开式中项的系数是_【答案】【解析】【分析】先根据条件确定n值，再根据二项展开式通项公式求结果.【详解】因为仅有第六项的二项式系数取得最大值,所以，因为，所以【点睛】本题考查二项式系数与二项展开式项的系数，考查基本分析与求解能力，属基本题.12.由组成没有重复数字且都不与相邻的六位偶数的个数是_【答案】108【解析】【分析】根据分步计数原理与分类计数原理分类讨论列式求解.【详解】先确定个位数为偶数，有3种方法，再讨论：若5在首位或十位，则1，3有三个位置可选，其排列数为;若5在百位、千位或万位，则1，3有两个位置可选，其排列数为;从而所求排列数为【点睛】本题考查排列组合应用，考查基本分析求解能力，属基本题.13.设正实数满足，则的最小值为_【答案】8【解析】【分析】根据基本不等式求最小值.【详解】令，则当且仅当时取等号.即的最小值为8.【点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.14.在中，已知为直角，若长为的线段以点为中点，则的最大值为_【答案】0【解析】【分析】根据向量数量积运算律以及定义化简即得结果.【详解】即的最大值为0.【点睛】本题考查向量数量积运算律以及定义，考查基本分析化简能力，属基本题.三、解答题：共6个小题，总计80分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。15.已知的内角对边分别为，且满足.（1）求值； （2）若，求的面积.【答案】（I）；（II）【解析】分析：（1）由，利用两角和的正弦公式以及诱导公式可得，根据正弦定理进行转化即可求的值；（2）结合（1）与，可得，利用余弦定理可得，根据三角形的面积公式即可求的面积.详解：（1），.（2），.，即的面积的.点睛：以三角形为载体，三角恒等变换为手段，正弦定理、余弦定理为工具，对三角函数及解三角形进行考查是近几年高考考查的一类热点问题，一般难度不大，但综合性较强.解答这类问题，两角和与差的正余弦公式、诱导公式以及二倍角公一定要熟练掌握并灵活应用，特别是二倍角公式的各种变化形式要熟记于心.16.英语老师要求学生从星期一到星期四每天学习3个英语单词：每周五对一周内所学单词随机抽取若干个进行检测（一周所学的单词每个被抽到的可能性相同）（I）英语老师随机抽了个单词进行检测，求至少有个是后两天学习过的单词的概率；（）某学生对后两天所学过的单词每个能默写对的概率为，对前两天所学过的单词每个能默写对的概率为，若老师从后三天所学单词中各抽取一个进行检测，求该学生能默写对的单词的个数的分布列和期望。【答案】（I），（）分布列见解析，期望为【解析】【分析】（I）根据古典概型概率公式求解，（）先确定随机变量，再分别求对应概率，列表得分布列，最后根据数学期望公式得结果.【详解】（）设英语老师抽到的4个单词中，至少含有个后两天学过的事件为，则由题意可得（）由题意可得可取0，1，2，3，则有 ， 所以的分布列为：0123故.【点睛】求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；第二步是“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式(常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积公式，以及对立事件的概率公式等)，求出随机变量取每个值时的概率；第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求.17.已知在四棱锥中，底面是边长为的正方形，是正三角形，分别是的中点。（1）求证：；（2）求平面与平面所成锐二面角的大小；（3）线段上是否存在一个动点，使得直线与平面所成角为，若存在，求线段的长度，若不存在，说明理由.【答案】（I）见解析，（），（）不存在【解析】【分析】（I）先根据面面垂直得线面垂直，再根据平行转化得结果，（）先根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，列方程组解得各面法向量，根据向量数量积得法向量夹角，最后根据二面角与法向量夹角关系得结果，（）先假设存在，根据（）可得平面法向量，再根据向量数量积得直线方向向量与法向量夹角，结合条件得方程，根据方程解的情况作判断.【详解】（I）证明：，,又,， （）取中点，连接， ， 如图以点为原点分别以所在直线为轴轴轴建立空间直角坐标系,， ， ,设平面的法向量为，取又平面的法向量为， 设平面与平面所成锐角二面角为，平面与平面所成锐角二面角为.（）设， 即，无解，不存在这样的.【点睛】利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.18.已知正项等比数列，等差数列满足，且是与的等比中项.（1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）根据，是与的等比中项列出关于公比 、公差的方程组，解方程组可得与的值，从而可得数列与的的通项公式；（2）由（1）可知，所以，对分奇数、偶数两种情况讨论，分别利用分组求和法，错位相减求和法，结合等差数列求和公式与等比数列求和公式求解即可.试题解析：(1)设等比数列的公比为，等差数列的公差为由是与的等比中项可得： 又，则：，解得或因为中各项均为正数，所以，进而. 故. （2）设设数列的前项和为，数列的前项和为,当为偶数时，, 当为奇数时， ,而 ,则,由-得：,因此, 综上：.19.如图已知椭圆，是长轴的一个端点，弦过椭圆的中心，且，.（）求椭圆的方程：（）设为椭圆上异于且不重合的两点，且的平分线总是垂直于轴，是否存在实数，使得，若存在，请求出的最大值，若不存在，请说明理由.【答案】（）（）【解析】【分析】（）易知根据条件确定形状，即得C坐标，代入椭圆方程可得，（）即先判断是否成立，设的直线方程，与椭圆联立方程组解得坐标，根据、关系可得坐标，利用斜率坐标公式即得斜率，进而判断成立，然后根据两点间距离公式计算长度最大值，即可得的最大值.【详解】（）， 又，即，2是等腰直角三角形 ， 因为点在椭圆上，所求椭圆方程为 （）对于椭圆上两点、，的平分线总是垂直于轴与所在直线关于对称，设且，则， 则的直线方程 的直线方 将代入得 在椭圆上，是方程的一个根， 以替换，得到. 因为,所以 ，存在实数，使得 当时即时取等号，又，【点睛】解析几何存在性问题，一般解决方法先假设存在，即设参数，运用推理，将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，然后直接推理、计算，根据计算结果确定是否存在其中直线和圆锥曲线的位置关系，一般转化为直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组，利用韦达定理或求根公式进行转化.20.已知函数.（1）求的极值；（2）证明：时，（3）若函数有且只有三个不同的零点，分别记为，设且的最大值是，证明：【答案】（）见解析（）见解析（）见解析【解析】【分析】（）先求导数，再根据讨论导函数零点情况，最后根据导函数零点以及导函数符号变化规律确定极值，（）作差函数，先利用导数研究导函数单调性，确定导函数零点，再根据导函数符号确定函数最小值，最后根据基本不等式证得结论，（）先利用导数研究有两个零点时，其两个零点对应区间，再令，根据条件用表示，利用导数求其最大值，即得结论.【详解】（）函数的定义域为.由已知可得 （1）当时，故在区间上单调递增； 无极值.（2）当时，由，解得；由，解得所以函数在上单调递增，在上单调递减. 的极大值为，无极小值.（）证明：令，故只需证明.因为所以函数在上为增函数，且，故在上有唯一实数根，且 当时，当时，,从而当时，取得最小值 由，得，即， 故 ，因为，所以等于号取不到，即综上，当时， 即（） 函数有且只有三个不同的零点，而是其零点， 函数存在两个零点（不等于），即有两个不等且不等于的实数根可转化为方