概率论与数学建模

选定的库第六章概率论与数学建模一、随机事件及其概率1.随机事件：可重复；可预测的结果和明确的结果；测试前的结果不确定。例如：扔一次骰子，扔三次硬币，等等。2.事件的操作及其意义：:A是B的一个子事件。它的意思是：如果A发生，B必须发生:事件a、b相等。它的意思是：如果甲出现，乙必须出现，反之亦然。事件A和B的交集。它的意思是：只有当A和B同时发生时，C才会发生:事件a和b(和)的联合。它的意思是：当且仅当A和B中的至少一个出现时，C才出现。:事件A和事件B之间的区别。它的意思是：当且仅当事件A发生时，事件C发生，而事件B不发生。:事件a和b不兼容。言下之意是：甲和乙不能同时发生。:与事件a相反。3.概率：一个量化指标，它描绘出实验中某一事件发生的概率。(当时)4.经典介绍：一个测试有n个同样可能的结果(样本点)，事件A包含m个结果(样本点)，这被认为是事件A的概率。这个基于同样概率确定概率的模型被称为经典概率模型。例6.1.1(蒙特霍尔问题)在20世纪60年代和70年代，一个名为“让我们做笔交易”的节目在美国的“电视游戏节目”中非常受欢迎，由蒙特霍尔主持。游戏的过程是这样的：有三扇紧闭的门，其中一扇门后面有一个奖品(一辆车)，另外两扇门后面没有奖品。如果你猜门有奖品，你就能赢得汽车。你从他们当中选择一扇门，但它暂时不会被打开。这时，主持人打开另外两扇门中的一扇门，并把它展示给你和观众。然后，主持人问你：你想坚持原来的选择还是改到最后一扇门？解决方案：从赢或不赢的角度来看，游戏只有两个结果：不换门赢(A)和换门赢(B)。第一个门是由你随机选择的(同样可能)，所以P(A)=1/3，自然，另一个结果的概率是P(B)=2/3。因此，正确的决定是更换那扇门。例6.1.2(抽签原则)袋子里有2个红色的球和8个黑色的球(除了颜色之外不能区分)。十个人一个接一个地触球，红色球的获胜者获胜。seek:=第k次触球获胜的概率，k=1，2，10解决方案1:假设球对于求解器是可区分的。样本点是抽签后这10个球的排列，总共10个！有6个相等的可能采样点。事件中包含的样本点的特征在于，两个红色球中的任一个被排名k(这是可能的)，而剩余的9个球可以在剩余的9个位置中被任意排名(有9个！一种可能性)。所以它包括9！因此，样本点。解决方案2:假设球是不可区分的，只需关注红色球落在哪两只手上，样本空间中就有总共相等的可能样本点。这一事件意味着第K个人得到一个红球，另一个红球落入另9个人中的一个人手中。因此，这是可能的。实施例6.1.3(将球分成盒子的模型)将2个球随机放入3个可区分的盒子中。找出事件A=在方框A和b中各有一个球的概率。模型1:假设球是可区分的，根据乘法原理，在样本空间中有相等的可能样本点，而事件A中包含的样本点有(两个球的排列)，因此。模型2:假设球是不可区分的，样本空间总共有样本点(两个分区可以代表三个盒子，两个球和两个分区总共有四个位置，并且可选地放置两个分区):事件A仅包含一个采样点。人们的直觉经验通常应该如下：在物理学中，球总是可区分的(很难想象这个球既是这个球又是那个球)，所谓的不可分辨性只是基于问题或研究目的，并不关心它们之间的区别。如有必要，后三种情况仍可区分。因此，这六个采样点是不可能的：前三个是全部，后三个是全部。所以答案仍然应该是。例6.1.4(蒲风针刺问题)在平面上画出间距为D的平行线，并在平面上画出一条长L的线。也就是说，一个报童出售一份报纸来赚取a-b，并返还一份报纸来补偿b-c。如果他买的报纸太少而卖得不够，报童就会赚得更少。如果你买得太多，又卖不出去，你就会赔钱。请为报童计划如何确定他每天购买的报纸数量，以获得最大的收入。分析：需求是随机的，假设报童掌握了需求的随机规律，即他销售范围内报纸的日需求量为R份的概率是。有了a，b，c，我们可以建立一个采购数量的优化模型。因为需求R是随机的，报童的日收入也是随机的，所以作为优化模型的目标函数，它应该是他长期报纸销售的日平均收入，即日收入的期望值。模型建立及求解：假设日采购量为n，日收入为所以每天买n份报纸的平均收入是(6.2.1)问题归结为：当和a，b，c已知时，试着最大化。总的来说，需求R的价值和购买量都相当大。将R近似作为连续变量进行分析和计算更容易。此时，概率被转换成概率