高中数学 第三章 函数的应用 3.2 函数模型及其应用 3.2.1几类不同增长的函数模型教材梳理素材 新人教A版必修1（通用）

3.2.1不同增长的不同类型函数模型牛起水泡知识教学升华使用计算器或计算机热数据表比较指数函数、一阶函数、常量函数的增量差异，并创建理解各种函数类型增量(如直线上升、指数爆炸)含义的多个函数的图像。资料分析：例1是与我们生活密切相关的问题，如何投资获得更大的利益？例子的答案过程给我们展示了新的想法和方法。首先建立了与三种投资方案相对应的函数模型，使用计算器、计算机建立了三种函数的图像，比较了它们的增长，并得出了相应的结论，为选择投资方案提供了依据。资料分析：范例2是探索性问题。通过制作函数图像和观察函数的图像，得出初步结论，通过具体计算确认结果。深化升华在这里，空班要通过实例1，实例2的学习，感受使用函数概念构建模型的过程和方法，理解函数在数学中的重要性，早期使用函数思想理解和处理现实生活和社会的简单问题。我们要在解决问题中大胆尝试，大胆探索，提高包括简单实际问题在内的数学的建议、分析和解决能力，发展独立获得数学知识的能力。探究问题思维问题如何正确地将实际问题转化为函数模型，如何确定函数模型的种类。探讨将实际问题正确转换为函数模型的：是解决应用问题的关键。就是对已知条件进行综合分析、推导和抽象，并与众所周知的函数模型进行比较，确定函数模型的种类。例如，信息研究所对猪肉的市场需求和供应进行了市场调查，获得了以下数据。价格为4元/公斤，需求为80吨，供应为56吨。价格为千克/4.8吨，需求为77吨，供应为68吨；价格为千克/5.6吨，需求为73吨，供应为74吨；价格为千克/6.5吨，需求为65吨，供应为80吨；价格为7.2吨/公斤，需求为60吨，供应为90吨。分析市场供求规律，探索市场供求均衡点(即供给和需求相同的点)。首先，将问题的信息集中到下表中，以便直观地捕获问题的核心信息。价格p(元/公斤)44.85.66.57.2需求q(吨)8077736560供应q(吨)5668748090使用数据拟合方法绘制收集的数据图表，并创建需求曲线和供应曲线，以提供多个方案参考，例如：方案1:认为散乱点大致落在两条直线上，建立直线模型，找出两条直线的交点，求出市场的供求平衡点。案例2:建立抛物线模型，将分配点视为近似地落在两条抛物线上。案例3:将分布点视为近似地落在两条指数曲线上，对指数曲线进行塑型。前提问题热问题新问题例1初始质量为500 g的放射性元素每年衰变10%。(1) 7年后，这种放射性元素质量的表达；(2)求出这种放射性元素半衰期(到0.1)的函数表达式。注：剩下的时间原来是一半，称为半衰期。想法分析：首先，一年，两年后，放射性元素质量，t年后，推导出这种放射性元素质量的表达，然后根据函数表达寻找放射性元素的半衰期。解决方案：(1)初始质量为500 g一年后，=500(1-10%)=5000.91；两年后=5000.92；这推断出t年后=5000.9t。(2)方程5000.9t=250，0.9t=0.5解，Lg0.9t=lg0.5，t lg0.9=lg0.5，t=6.6，这种放射性元素的半衰期约为6.6年。扩展范围在这里，使用空半格感受函数概念构建模型的过程和方法，认识函数在数学中的重要性，代数增长模型更适合描述缓慢增长速度的变化。例2工厂今年1月、2月和3月分别生产1万个单位、1万2千个单位和1万3千个单位。要估计后续三个月的产品数量，请使用一个函数模拟该产品的月产量y与月数x的关系。模拟函数可以选取次要函数或y=abx c(其中a、b、c为常数)，并且已知该产品在4月的产量为1万3千7千个单位。想知道使用哪个函数作为模拟函数更好吗？请说明原因。想法分析：首先根据1月、2月、3月的产量得出辅助函数和y=abx c(a、b、c是常数)，然后从哪些函数中看到4月产量和实际产量1.37万个误差较少，选择哪个作为模拟函数？解决方案：二次函数为f1 (x)=a1x2b1x1。根据问题的意义可以解开A1=-0.05，b1=0.35，c1=0.7。所以f1(x)=-0.05x2 0.35x 0.7，Y=f2(x)=abx cA=-0.8、b=0.5、c=1.4。所以f2(x)=-0.80.5x 1.4，所以| f1 (4)-1.37 |=0.07，| F2 (4)-1.37 |=0.02，| f1 (4)-1.37 | | F2 (4)-1.37 |。因此，建议使用f2(x)=abx c作为仿真函数。深化升华在这里，空班将实际问题精确转换为函数模型是解决应用问题的关键。转换来自已知条件的综合分析、归纳和抽象，与众所周知的函数模型相比，决定了函数模型的种类。例3中，销售甲、乙两种商品获得的收益依次为p和q(万元)，与投资金x(万元)相关，有经验的公式。P=，Q=。目前，3万韩元资金经营a，b两种商品。为了最大利益，对甲、乙两种产品的资金投入分别应该是多少？能得到的最大利润是多少？想法分析：首先，根据问题的意义，构建利益和投资金之间的函数关系，求出函数分析公式，然后进行转换，找出函数最大问题。解决方案：在甲种商品上投资x万韩元，在乙种商品上投资(3-x)万韩元，投资总利润y万韩元，问题的含义是y=x(0x3)，命令=t，x=3-t2，0tt；因此，y=(3-T2) t=-(t-) 2，t-0，。如果T=，则ymax=1.05，此时x=0.75，3-x=2.25。由此可见，为了最大利益，对甲和乙两种商品的资金投入应分别为0.75万韩元和2.25万韩元，总利润为1.05万韩元。注意扩展。这里空半格解的核心是求目标函数和最大值的方法。替代方法是寻找不合理函数最大值的一般方法，使用替代方法将不合理的一个转换成玻璃，通过二次函数求最大值，在转换过程中要注意变量值的范围变化。实例4以下是表示1800年至1980年之间人口数量的数据块(单位：百万)。请看下图，可以看到，当年x每10年增加一次，该国的人口数量大约按一定比例的倍数增加，其几何结构类似于细菌繁殖的图表，因此可以用一个指数函数模型粗略地描述该国的人口变化。现在我们更详细地分析一下。想法分析：通过相关的功能知识，学习合理设计，确定最佳问题解决关系，进行数学计算，分析、处理数据，使用函数思想理解和处理现实生活和社会的简单问题。答复：最近几十年的信息调查：年人口数10年中增长的倍数1920106 020 0001930123 200 0001.1621940132 160 0001.0731950151 330 0001.1451960179 320 0001.1851970203 300 0001.1341980226 540 0001.1141920年至1930年间的年平均增长率1.015；从1920年到1980年，60年间通过类似的计算，年平均增长率约为1.103。此期间中间年份1950年的人口数作为初始数据，x作为年份，该国家人口数y(百万)的更好近似指数函数模型为y=151(1.013)x-1950。以此为基准，到2000年，这个国家的人口数为151(1.013)2000-1950=151(1.013)50-288 000(人)“什么时候该国的人口将达到4亿”等问题当然也会被提出。这是目前指数函数模型中求y，指数x的问题是我们熟知的对数函数。如果进一步分析前面提出的1790-1980年的数据，可以在不同的时间里得到该国人口数y(百万)满意的指数函数模型升华深化主义在这里，空班我们要培养解决问题、大胆尝试、大胆探索、包括简单实际问题在内的数学的建议、分析和解决问题的能力，独立获得数学知识的能力。比较他们的增长情况，最后得出适当的结论，并开发为选择而满足的指数函数模型。例5有甲、乙两种商品，经营这两种商品获得的收益与按p、q(万元)顺序投入的资金x(万元)相关，有经验公式。P=，Q=。目前，3万韩元资金经营a，b两种商品。以获得的最大利益，对甲和乙两种产品的资金投入应该分别是多少？能得到的最大利润是多少？想法分析：首先，根据问题的意义，构建利益和投资金之间的函数关系，求出函数分析公式，然后进行转换，找出函数最大问题。解决方案：假设在甲种商品上投资x万韩元，乙种商品上投资(3-x)万韩元，总利润y万韩元意味着y=x(03)。如果命令=t，则x=3-t2，0t0。因此，y=(3-T2) t=-(t-) 2，t-0，。T=