吉林省辽源市田家炳高级中学2019-2020学年高二数学上学期期中试题（含解析）

吉林省辽源市田家炳高级中学2019-2020学年高二数学上学期期中试题（含解析）一、单选题1.设，则“”是“”的( )a. 充分而不必要条件b. 必要而不充分条件c. 充要条件d. 既不充分也不必要条件【答案】b【解析】【分析】分别求出两不等式的解集，根据两解集的包含关系确定.【详解】化简不等式，可知 推不出；由能推出，故“”是“”的必要不充分条件，故选b。【点睛】本题考查充分必要条件，解题关键是化简不等式，由集合的关系来判断条件。2.现有两个命题：若，则；：若，则双曲线的离心率为.那么，下列命题为真命题的是（）a. b. c. d. 【答案】b【解析】【分析】容易判断假真，再根据复合命题的真假判断规律得出答案。【详解】对于：当时，故为假命题；对于：当时，双曲线的离心率为，故为真命题。所以为真命题。故选b.【点睛】本题考查复合命题的真假，是基础题。3.已知椭圆的离心率，则的值为（ ）a. 3b. 3或c. d. 或【答案】b【解析】【分析】对m分类讨论，分别求得a2，b2，c2，再根据离心率可求m.【详解】当m5时，a2m，b25，c2m5，e2m；当0m5时，a25，b2m，c25m，e2m3；故选：b【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及几何性质，考查了椭圆的离心率的公式，考查了分类讨论思想，属于基础题4.已知分别是椭圆的左，右焦点，为椭圆上一点，且（为坐标原点），则椭圆的离心率为（ ）a. b. c. d. 【答案】c【解析】【分析】：取的中点，连接，根据向量的加减法的几何意义和三角形中位线的性质，以及已知，对这个等式，进行化简，得到，再根据椭圆的定义，结合，可以求出离心率.【详解】如下图所示：取的中点，连接， ，因为，所以设，.由椭圆的定义可知：，故本题选c.【点睛】本题考查了借助向量的加减法的几何意义和向量的垂直，考查了椭圆的定义及离心率.本题考查了运算能力.5.已知直线，当变化时，此直线被椭圆截得的最大弦长是（ ）a. 4b. 2c. d. 【答案】c【解析】【详解】法一：直线必过点，设椭圆上一点，则弦.法二：联立与得：.，.弦长当，即时，弦长最大，最大值为.6.下列说法正确的是（ ）a. 设是实数，若方程表示双曲线，则.b. “为真命题”是“为真命题”的充分不必要条件.c. 命题“，使得”的否定是：“，”.d. 命题“若为的极值点，则”的逆命题是真命题.【答案】b【解析】【分析】逐一分析每一个命题的真假得解.【详解】a. 设是实数，若方程表示双曲线，则(m-1)(2-m)0，所以m2或m1,所以该命题是假命题；b. “为真命题”则p真且q真，“为真命题”则p,q中至少有个命题为真命题，所以“为真命题”是“为真命题”的充分不必要条件.所以该命题是真命题；c. 命题“，使得”的否定是：“，”.所以该命题是假命题；d. 命题“若为的极值点，则”的逆命题是“则为的极值点”，如函数，但是不是函数的极值点.所以该命题是假命题.故选：b【点睛】本题主要考查双曲线的标准方程和复合命题的真假，考查充要条件和导数，考查特称命题的否定，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.7.若双曲线的离心率大于2，则该双曲线的虚轴长的取值范围是（ ）a. b. c. d. 【答案】c【解析】【分析】根据离心率大于2得到不等式：计算得到虚轴长的范围.【详解】，故答案选c【点睛】本题考查了双曲线的离心率，虚轴长，意在考查学生的计算能力.8.以双曲线右焦点为圆心，且与双曲线的渐近线相切的圆的方程为（）a. b. c. d. 【答案】c【解析】【分析】根据题意，由双曲线的方程分析可得双曲线的右焦点坐标以及渐近线方程，再由点到直线的距离公式分析可得右焦点到渐近线的距离d，即可得要求圆的圆心和半径，由圆的标准方程分析可得答案【详解】解：根据题意，双曲线，其焦点在x轴上，且，则c2，则双曲线的右焦点坐标为（2，0），渐近线方程为，即，则右焦点到渐近线的距离，则要求圆的圆心为（2，0），半径，则要求圆的方程为，故选：c【点睛】本题考查双曲线的几何性质以及圆的标准方程，关键是求出双曲线的焦点坐标以及渐近线方程9.若双曲线与直线无交点，则离心率的取值范围（ ）a. b. c. d. 【答案】b【解析】【分析】根据题意，双曲线位于一、三象限的渐近线的斜率小于或等于，满足，由此结合双曲线基本量的平方关系和离心率的公式，化简整理即可得到该双曲线的离心率的取值范围【详解】双曲线与直线无交点，双曲线的渐近线方程，满足得，两边平方得，即，得即，双曲线的离心率为大于1的正数，故选：b【点睛】本题给出双曲线与直线无交点，求双曲线离心率的取值范围，考查了双曲线的标准方程和简单几何性质等知识，属于基础题10.抛物线的准线方程是，则的值是（ ）a. b. c. 4d. 【答案】d【解析】【分析】先将抛物线方程化成标准方程，再由准线方程，得到的方程，解得即可【详解】抛物线的标准方程为，其准线方程为，又抛物线准线方程为，得，解得.故选：d【点睛】本题考查抛物线的方程和性质，注意化成抛物线的标准方程，属于基础题11.两个正数a，b的等差中项是，等比中项是，且ab，则抛物线的焦点坐标为()a. b. c. d. 【答案】c【解析】【分析】通过等差中项等比中项计算出，代入抛物线方程得到焦点坐标.【详解】由两个正数a，b的等差中项是，等比中项是，且ab可得解得抛物线的方程为，故焦点坐标为.故答案选c【点睛】本题考查了等差中项等比中项，焦点坐标，综合性强，意在考查学生的综合应用能力.12.过抛物线的焦点f的直线与抛物线交于a、b两点，且，为坐标原点，则的面积与的面积之比为a. b. c. d. 2【答案】d【解析】【分析】设点位于第一象限，点，并设直线的方程为，将该直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理得出，由抛物线的定义得出点的坐标，可得出点的纵坐标的值，最后得出的面积与的面积之比为的值.【详解】设点位于第一象限，点，设直线的方程为，将该直线方程与抛物线方程联立，得，由抛物线的定义得，得，可得出，故选：d.【点睛】本题考查抛物线的定义、直线与抛物线的综合问题，考查韦达定理在直线与抛物线综合问题中的应用，解题的关键在于利用抛物线的定义以及韦达定理求点的坐标，并将三角形的面积比转化为高之比来处理，考查运算求解能力，属于中等题。二、填空题13.设对任意的都有， ：存在，使，如果命题为真，命题为假，则实数的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】分别求出命题为真命题的的范围，由为真，为假，可得一真一假，再由集合运算求解.【详解】由题意：对于命题，对任意的，即恒成立，得，即；对于命题，存在，使，得，解得或，即或为真，为假，一真一假，真假时，得；假真时，得综上，故答案为：，【点睛】本题主要考查复合命题真假关系的应用，求出命题为真命题的的范围是解决本题的关键，是中档题14.直线交椭圆于两点，线段中点坐标为，则直线的方程为_【答案】，【解析】【分析】设出两点的坐标，利用点差法计算出直线的斜率，根据点斜式求得直线的方程.【详解】设，代入椭圆方程得，两式作差并化简得，即，由点斜式得，即.故填：.【点睛】本小题主要考查椭圆中有关弦的中点的问题，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.15.已知抛物线方程为y24x，直线l的方程为2xy40，在抛物线上有一动点a，点a到y轴的距离为m，到直线l的距离为n，则mn的最小值为_.【答案】【解析】【分析】先作出图形，根据题意可知抛物线上的动点到准线的距离等于该点到y轴的距离加1，由此可表示出|ah|+|an|=m+n+1；根据抛物线的性质可得|af|+|ah|=m+n+1，结合所有连线中直线最短的原理，可知当a，f，h三点共线时，m+n最短即可求出其最小值【详解】如图所示：如图，过点a作ahl于h，an垂直于抛物线准线于n，则|ah|+|an|=m+n+1，连接af，则|af|+|ah|=m+n+1，由平面几何知识，得当a，f，h三点共线时，|af|+|ah|=m+n+1取得最小值，根据点到直线距离公式，求得|fh|=即m+n的最小值为【点睛】抛物线中涉及焦半径问题，需要结合抛物线性质：到焦点距离等于到准线距离进行转化，再结合几何关系进行求解16.已知，且，则_.【答案】【解析】【分析】利用数量积运算性质以及模的计算公式即可求出。【详解】，且，解得，。故答案为：【点睛】本题考查了向量数量积的运算性质，模的计算公式，属于基础题。三、解答题17.已知命题“函数的定义域为r”；命题“，使得不等式成立”若为真命题，为假命题，求实数的取值范围【答案】或【解析】【分析】通过为真命题，为假命题，判断出的真假性；定义域为，被开方数恒大于等于零，分类考虑与的关系；将存在性问题转化为与最值之间的关系从而计算出的范围；综合考虑真假性，求解出的范围.【详解】依题意，和q一真一假，故p和q同真或同假，若p真，则或，解得若q真，则，令，则，所以的值域为，若命题q为真，则若和q同真，则；若和q同假，或，故实数的取值范围为或【点睛】本题考查常用逻辑用语的综合应用，难度一般.存在性问题如：已知存在区间，有，则必有：；恒成立问题如：已知任意区间，有，则必有：.18.已知椭圆的焦点在轴上，短轴长为2，离心率为（1）求椭圆标准方程；（2）直线：与椭圆相交于，两点，且弦中点横坐标为1，求值【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用椭圆的几何性质得到、，进一步求得椭圆的标准方程；（2）联立直线与椭圆方程，已知直线与椭圆交于两点，故，得到，即对的限定范围，再利用韦达定理与中点公式求得的值【详解】解：（1）椭圆的焦点在轴上，短轴长为2，离心率为，可得，解得，所以椭圆方程为（2）由，得，得，设，则，得，符合题意【点睛】本题考查利用几何性质求椭圆的标准方程，根据直线与椭圆的关系求参数，求参数时需注意题目中根据位置关系所隐藏的对范围的限制条件，是对最终结果取舍的关键。19.已知椭圆的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为.(1)求椭圆c的方程；(2)设直线l与椭圆c交于a,b两点，坐标原点o到直线l的距离为，求面积的最大值.【答案】(1)；(2).【解析】试题分析：(1)由题意可得： ，则椭圆方程为 (2)分类讨论：当轴时，当与轴不垂直时，设处直线方程，利用题意结合根与系数的关系讨论最值即可，综合两种情况可得.试题解析：（1）设椭圆的半焦距为，依题意，所求椭圆方程为（2）设，当轴时，当与轴不垂直时，设直线的方程为由已知，得把代入椭圆方程，整理得 ， 当且仅当，即时等号成立当时，综上所述当时，取得最大值，面积也取得最大值.20.：的圆心为，：的圆心为，一动圆与圆内切，与圆外切（1）求动圆圆心的轨迹的方程；（2）直线过与（1）中所求轨迹交于、不同两点，点关于轴对称点为点，直线是否恒过定点，若过定点求出该点坐标，否则，说明理由.【答案】（1）；（2）定点【解析】【分析】（1）设出圆心，根据题意写出等式，化简即可得出答案。（2）设直线为，联立直线可得到，代入直线:，根据 ，化简即可得出答案。【详解】（1）设，圆的半径为 ,由题意有 , 消 得到：，化简得（2）当直线斜率存在时，设直线为： ， 令 联立椭圆，得 ，则 ， 所以直线为: ,又 ， 代入化简得，直线恒过定点。当直线斜率不存在时，直线为：，则，点重合。综上所述直线恒过定点。【点睛】本题考查轨迹方程，椭圆中直线过定点，一般圆锥曲线中关于直线过定点，都需要设出参数，利用参数表示出直线，再根据直线的性质说明直线过定点。属于难题。21.如图，己知抛物线，直线交抛物线于两点，是抛物线外一点，连接分别交地物线于点，且.（1）若，求点的轨迹方程.（2）若，且平行x轴，求面积.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）设，根据向量关系可用的坐标表示的坐标，利用在抛物线可得的坐标满足的方程，同理利用d在抛物线也可得的坐标满足的方程，联立直线方程和抛物线方程结合韦达定理可得的横坐标为2.也可以利用在抛物线上及得到，利用、的中点、的中点共线得到的横坐标为2.（2）根据（1）的相关结果可用表示的坐标、的坐标及中点的坐标，根据在抛物线上可得的值并求出的坐标，最后利用公式可求面积.【详解】（1）解法1：，设，则，由可得，故，同理，故，代入抛物线得：，化简得：，同理得：，所以为方程两根，又由，将代入且，将代入，得，故.故点p的轨迹方程为.解法2：同解法1知，设线段的中点分别为，易知三点共线，（为实数），所以.以下同解法1.（2）由为方程的两根，可得：.由（1）得，因为，所以，故.轴且在抛物线上，关于轴对称.，及，且.在抛物线上,，解得.设的中点为，则，所以，而.【点睛】直线与抛物线的位置关系中的一些长度、面积等计算问题，一般可通过联立直线方程和抛物线方程，消元得到关于或的一元二次方程，再把要计算的目标表示为关于两个交点的横坐标或纵坐标的关系式，该关系中含有或，最后利用韦达定理可求这个几何量，有时还可根据题设条件构建关于两个交点的横坐标或纵坐标的方程，再利用韦达定理化简目标关系式进而求出几何量的值.22.已知三棱锥中，为等腰直角三角形，设点为中点，点为中点，点为上一点，且（1）证明：平面；（2）若，求直线与平面所成角的正弦值【答案】(1)证明见解析；(2) 【解析】【分析】（1）连接交于点，连接