高三数学浅谈化归与转化的数学思想

转换与转化的数学思想罗田县胜利中学陆志红众所周知，复杂的数学问题是由下列简单命题的组合或适当的进化形成的。如果我们学会将复杂的数学问题分解成简单的基本问题，我们就能解决任何困难、复杂和“杂七杂八的问题”，这些问题可以分解成基本的数学问题。因此，我们解决问题的总体策略是将我们需要解决或不需要解决的问题减少为一类已经解决或通过某种转换容易解决的问题。最后，一种令人满意地解决问题的方法和手段叫做归约法。转化思想是解决数学问题的基本思想，解决问题的过程实际上就是转化的过程。运用变换和变换的思想，运用数学变换的方法灵活地解决相关的数学问题，是提高思维能力的有效保证。常用的归约和变换方法包括等价变换、数与形的结合、函数与方程的思想、代换方法、归谬法、特殊值法等。数学思维方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括。它包含知识生成、发展和应用的过程，是知识转化为能力的桥梁。数学考试是基于“在考查基础知识的同时，注重考查能力”的原则。它测试了中学数学的基本知识、基本技能、基本思想和方法，考查思维能力、运算能力、空间想象能力和解决实际问题的能力。因此，多年来高考一直十分重视数学思维方法的考试，将数学思维方法的考试融入到“三基”考试和能力考试中。转化的思想是通过观察、分析、联想、类比等思维过程，选择适当的转化方法，将未知的解或难题转化为已知知识范围内已经解决或容易解决的数学思想。转化思想是解决数学问题的基本思想，解决问题的过程实际上就是转化的过程。数学中有许多变换，如从未知到已知的变换，命题之间的变换，数与形之间的变换，从空间到平面的变换，从高维到低维的变换，从多元到酉的变换，以及从高到低的变换等。所有这些都是改造思想的体现。运用转化思想，运用数学变换方法灵活解决相关数学问题，是提高思维能力的有效保证。那么，我们平时在解决问题的过程中应该如何注意培养转化意识，从而进一步提高解决问题的能力呢？下面是一个关于如何用例子转化数学问题的讲座。首先，用等效变换的思想来实现变换在数学中，有许多等价问题，“常数变形”是解决问题的最基本方法。例如，解方程和不等式的过程本身就是一个等价变换的过程。(2020年全国高考)已知。让函数在上表面单调递减。不等式的解集是。如果只有一个正确的和，要找到的数值范围。分析：“和有且只有一个是正确的”相当于“正确与不正确”或“不正确与正确”，所以当和分别正确时，应先找到解集，然后用解集之间的关系来计算。解：函数在上表面单调递减不等式的解集是该函数高于1。该函数的最小值为。不等式的解集是。如果正确和不正确，那么如果不正确且正确，则所以值的范围是。第二，利用反证法的思想来实现转化如果一个命题很难或很难从前面解决，它可以从命题的后面解决。例如，当证明分析：如果以积极的方式讨论这个主题，它必须分为三种不同的情况：“有且只有一个方程有实根”，“有两个方程有实根”和“所有三个方程都有实根”。解决过程将会非常复杂。因此，我们应该采用反证法。解决方法：如果没有一个方程有真正的根，那么就有解决方案如下：满足三个方程并且至少一个方程有实根的解集是。第三，用数形结合的思想来实现变换。数字和形状相结合的概念是将数量关系和要研究的问题的空间形式相结合的概念。其实质是将抽象的定量关系与直观的图形相结合，从而降低原命题的难度，使问题易于解决。例3，如果满足实数，则最大值为()A.学士学位分析：由于方程表示的曲线是圆心和半径圆(如右图所示)，圆上的点满足方程；但是坐标原点和圆上每个点之间的连接斜率，所以问题可以转化为求原点和圆上每个点之间的连接斜率的最大值。结合图像，很容易知道，当直线与圆相切时，直线的斜率就是所需斜率的最大值。解决方案：也就是说，所需的最大值是d。第四，利用函数和方程的思想实现变换函数和方程的思想是寻找定量关系的主要方法。如果能建立一个描述其数量特征的函数表达式，或者能列出一个表示其数量关系的方程(组)(包括不等式(组)的话，一般可以解决一个数学问题。例4。在已知的平行四边形中，点的坐标为(，点在椭圆上移动，得到点的轨迹方程。分析：由于平行四边形的对边是平行且相等的，这个问题可以通过将其转化为等向量的性质来解决。解决方案：将坐标设置为然后在平行四边形中，椭圆上的点，将点坐标代入椭圆方程，该点的轨迹方程如下：五、运用替代的方法实现思想转化对于结构复杂、量与量的关系不明确的命题，通过适当引入新的变量(变化元素)，可以将原有的结构简化并转化为便于研究的形式。常见的代换方法包括代数代换、三角代换、积分代换等。在应用替代方法时，应特别注意新变量的取值范围，即替代的等价性。例5(2020年广西理科高考)求解方程：分析：如果，()，原方程可以转化为具有绝对值的二次方程的解。解：阶，()，原始方程可以简化为：(1)当(即)时，方程可以简化为：答案是：或者(2)当(即)时，方程可以简化为：要得到答案：或者因此，原始方程的解是六、运用专业化理念实现转型数学充满了辩证法，普遍性往往存在于特殊性之中。解决问题时，一般问题的特殊化和特殊问题的一般化是两种常用的策略。对于一些不揭示数学问题的更抽象或更一般的规律，特别是相对独特的选择题，可以采用抽象问题具体化和一般问题特殊化的方法进行验证，而不需要费时费力的严格演绎，从而避免“小题大做”，降低难度，尽快确定正确答案。(2001年全国高考)住宅屋顶有三种不同的方法，如下图所示：(1)单向倾斜；(2)双向倾斜；(3)向四个方向倾斜。请注意，三种覆盖方法的屋顶区域分别是P1、P2和P3。如果屋顶斜面与水平面形成的角度为，则()(一)P3=P2P1(二)P3P2=P1(三)P3P 2 1(四)P3=P2=P1分析：从投影面积公式()可以看出，它与斜面形成的角度有关当然，除了上面提到的常用方法，在解决数学问题时还有其他的变换方法。例如，在解决空间距离问题时，可以使用等积法(等面积法常用于点-线距离，等体积法常用于点-面距离)将其转化为解决三角形的问题。在计算空间角度(不同平面的直线形成的角度或二面角的平面角度)时，可以通过平移变换、辅助线等方法将其转换成同一平面或三角形。函数的范围(或最大值)有时可以通过根据反函数的性质找到反函数的域来获得。由于本文篇幅有限，这里没有例子。综上所