江苏省歌风中学（如皋办学）2020届高三数学复习 专题 解析几何 第三讲 直线、圆的位置关系

专题 解析几何：第三讲 直线、圆的位置关系活动一：基础检测1(2020江西)直线ykx3与圆(x3)2(y2)24相交于M，N两点，若MN2，则k的取值范围是_2圆x2y24x0在点P(1，)处的切线方程为_3圆C1：x2y22x2y20与圆C2：x2y24x2y10的公切线有_条4过点(0,1)的直线与x2y24相交于A、B两点，则AB的最小值为_5若P(2，1)为圆C：(x1)2y225的弦AB的中点，则直线AB的方程是_. 6、（2020届江苏南通市直中学高三9月调研）已知圆，直线过点P（3，1），则当直线被圆C截得的弦长最短时，直线的方程为 7、（苏州市2020届高三2月调研测试）已知圆，直线为直线上一点，若圆上存在两点，使得，则点A的横坐标的取值范围是 活动二：探究点一直线与圆的位置关系例1已知圆C：x2y22x4y30.(1)若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等，求此切线的方程；(2)从圆C外一点P(x1，y1)向该圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有PMPO，求使得PM取得最小值时点P的坐标变式迁移1从圆C：(x1)2(y1)21外一点P(2,3)向该圆引切线，求切线的方程及过两切点的直线方程探究点二圆的弦长、中点弦问题例2已知点P(0,5)及圆C：x2y24x12y240.(1)若直线l过点P且被圆C截得的线段长为4，求l的方程；(2)求过P点的圆C的弦的中点的轨迹方程变式迁移2已知圆C：x2y26x8y210和直线kxy4k30.(1)证明：不论k取何值，直线和圆总有两个不同交点；(2)求当k取什么值时，直线被圆截得的弦最短，并求这条最短弦的长探究点三圆与圆的位置关系例3已知圆C1：x2y22mx4ym250，圆C2：x2y22x2mym230，m为何值时，(1)圆C1与圆C2相外切；(2)圆C1与圆C2内含变式迁移3已知A：x2y22x2y20，B：x2y22ax2bya210.当a，b变化时，若B始终平分A的周长，求：(1)B的圆心B的轨迹方程；(2)B的半径最小时圆的方程探究点四综合应用例4 (2020扬州调研)已知圆C：x2y29，点A(5,0)，直线l：x2y0.(1)求与圆C相切，且与直线l垂直的直线方程；(2)在直线OA上(O为坐标原点)，存在定点B(不同于点A)，满足：对于圆C上任一点P，都有为一常数，试求所有满足条件的点B的坐标变式迁移4已知M：x2(y2)21，Q是x轴上的动点，QA，QB分别切M于A，B两点(1)若|AB|，求|MQ|、Q点的坐标以及直线MQ的方程；(2)求证：直线AB恒过定点活动三：自主检测一、填空题(每小题6分，共48分)1直线l：y1k(x1)和圆x2y22y0的位置关系是_2直线xym0与圆x2y22x20相切，则实数m_.3（南京市、盐城市2020届高三第一次模拟）在平面直角坐标系中，设直线与圆交于两点，为坐标原点，若圆上一点满足，则 4若圆(x3)2(y5)2r2上有且仅有两个点到直线4x3y20的距离为1，则半径r的取值范围是_5若圆x2y24与圆x2y22ay60(a0)的公共弦的长为2，则a_.6已知点A是圆C：x2y2ax4y50上任意一点，A点关于直线x2y10的对称点也在圆C上，则实数a_.7设直线3x4y50与圆C1：x2y24交于A，B两点，若圆C2的圆心在线段AB上，且圆C2与圆C1相切，切点在圆C1的劣弧上，则圆C2的半径的最大值是_8(2020全国改编)已知圆O的半径为1，PA、PB为该圆的两条切线，A、B为两切点，那么的最小值为_二、解答题(共42分)9已知圆C：(x3)2(y4)24，直线l1过定点A(1,0)(1)若l1与圆相切，求l1的方程；(2)若l1与圆相交于P，Q两点，线段PQ的中点为M，又l1与l2：x2y20的交点为N，判断AMAN是否为定值，若是，则求出定值；若不是，请说明理由10、（泰州市2020届高三第二次模拟考试）如图，某市有一条东西走向的公路，现欲经过公路上的处铺设一条南北走向的公路在施工过程中发现在处的正北百米的处有一汉代古迹为了保护古迹，该市决定以为圆心，百米为半径设立一个圆形保护区为了连通公路、，欲再新建一条公路，点、分别在公路、上，且要求与圆相切（1）当距处百米时，求的长；（2）当公路长最短时，求的长 11、（通州高级中学等五校2020届高三12月第一次联考）已知的三个顶点，其外接圆为圆（）求圆的方程；（）若直线过点，且被圆截得的弦长为2，求直线的方程；（）对于线段上的任意一点，若在以为圆心的圆上都存在不同的两点，使得点是线段的中点，求圆的半径的取值范围12、已知圆O的方程为且与圆O相切。（1） 求直线的方程；（2） 设圆O与x轴交与P,Q两点，M是圆O上异于P,Q的任意一点，过点A且与x轴垂直的直线为，直线PM交直线于点，直线QM交直线于点。求证：以为直径的圆C总过定点，并求出定点坐标。第三讲直线、圆的位置关系答案基础检测1.2.xy203.24.25xy306、7、1,5例1解题导引(1)过点P作圆的切线有三种类型：当P在圆外时，有2条切线；当P在圆上时，有1条切线；当P在圆内时，不存在(2)利用待定系数法设圆的切线方程时，一定要注意直线方程的存在性，有时要进行恰当分类(3)切线长的求法：过圆C外一点P作圆C的切线，切点为M，半径为R，则PM.解(1)将圆C配方得(x1)2(y2)22.当直线在两坐标轴上的截距为零时，设直线方程为ykx，由，解得k2，得y(2)x.当直线在两坐标轴上的截距不为零时，设直线方程为xya0，由，得|a1|2，即a1，或a3.直线方程为xy10，或xy30.综上，圆的切线方程为y(2)x，或y(2)x，或xy10，或xy30.(2)由POPM，得xy(x11)2(y12)22，整理得2x14y130.即点P在直线l：2x4y30上当PM取最小值时，即OP取得最小值，直线OPl，直线OP的方程为2xy0.解方程组得点P的坐标为.变式迁移1解设圆切线方程为y3k(x2)，即kxy32k0，1，k，另一条斜率不存在，方程为x2.切线方程为x2和3x4y60.圆心C为(1,1)，kPC2，过两切点的直线斜率为，又x2与圆交于(2,1)，过切点的直线为x2y40.例2解题导引(1)有关圆的弦长的求法：已知直线的斜率为k，直线与圆C相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，点C到l的距离为d，圆的半径为r.方法一代数法：弦长AB|x2x1|；方法二几何法：弦长AB2.(2)有关弦的中点问题：圆心与弦的中点连线和已知直线垂直，利用这条性质可确定某些等量关系解(1)如图所示，AB4，取AB的中点D，连结CD，则CDAB，连结AC、BC，则AD2，AC4，在RtACD中，可得CD2.当直线l的斜率存在时，设所求直线的斜率为k，则直线的方程为y5kx，即kxy50.由点C到直线AB的距离公式，得2，解得k.当k时，直线l的方程为3x4y200.又直线l的斜率不存在时，也满足题意，此时方程为x0.所求直线的方程为3x4y200或x0.(2)设过P点的圆C的弦的中点为D(x，y)，则CDPD，即0，(x2，y6)(x，y5)0，化简得所求轨迹方程为x2y22x11y300.变式迁移2(1)证明由kxy4k30，得(x4)ky30.直线kxy4k30过定点P(4,3)由x2y26x8y210，即(x3)2(y4)24，又(43)2(34)224.直线和圆总有两个不同的交点(2)解kPC1.可以证明与PC垂直的直线被圆所截得的弦AB最短，因此过P点斜率为1的直线即为所求，其方程为y3x4，即xy10.PC，AB22.例3解题导引圆和圆的位置关系，从交点个数也就是方程组解的个数来判断，有时得不到确切的结论，通常还是从圆心距d与两圆半径和、差的关系入手解对于圆C1与圆C2的方程，经配方后C1：(xm)2(y2)29；C2：(x1)2(ym)24.(1)如果C1与C2外切，则有32.(m1)2(m2)225.m23m100，解得m5或m2.(2)如果C1与C2内含，则有32.(m1)2(m2)21，m23m20，得2m1，当m5或m2时，圆C1与圆C2外切；当2m1时，圆C1与圆C2内含变式迁移3解(1)两圆方程相减得公共弦方程2(a1)x2(b1)ya210.依题意，公共弦应为A的直径，将(1，1)代入得a22a2b50.设圆B的圆心为(x，y)，其轨迹方程为x22x2y50.(2)B方程可化为(xa)2(yb)21b2.由得b(a1)242，b24，b215.当a1，b2时，B半径最小，B方程为(x1)2(y2)25.例4解(1)设所求直线方程为y2xb，即2xyb0.因为直线与圆相切，所以3，得b3.所以所求直线方程为y2x3.(2)法一假设存在这样的点B(t,0)当点P为圆C与x轴的左交点(3,0)时，；当点P为圆C与x轴的右交点(3,0)时，.依题意，解得t5(舍去)或t.下面证明点B对于圆C上任一点P，都有为一常数设P(x，y)，则y29x2，所以.从而为常数法二假设存在这样的点B(t,0)，使得为常数，则PB22PA2，所以(xt)2y22(x5)2y2，将y29x2代入，得x22xtt29x22(x210x259x2)，即2(52t)x342t290对x3,3恒成立，所以解得或(舍去)故存在点B对于圆C上任一点P，都有为常数.变式迁移4审题视点 第(1)问利用平面几何的知识解决；第(2)问设点Q的坐标，从而确定点A、B的坐标与AB的直线方程(1)解设直线MQ交AB于点P，则|AP|，又|AM|1，APMQ，AMAQ，得|MP| ，又|MQ|，|MQ|3.设Q(x,0)，而点M(0,2)，由3，得x，则Q点的坐标为(，0)或(，0)从而直线MQ的方程为2xy20或2xy20.(2)证明设点Q(q,0)，由几何性质，可知A、B两点在以QM为直径的圆上，此圆的方程为x(xq)y(y2)0，而线段AB是此圆与已知圆的公共弦，即为qx2y30，所以直线AB恒过定点.自主检测1相交2.3或3、 4(4,6)5.16.10 71解析圆C1的圆心C1(0,0)到直线3x4y50的距离为1，圆C1的半径为2，弧上的点到直线3x4y50距离最大为211，因此圆C2的半径最大为1.832解析设APB2，则APOBPO，()2cos 2cos 2(12sin2)2sin2323，当且仅当2sin2，即sin2时取等号9解(1)若直线l1的斜率不存在，即直线是x1，符合题意若直线l1斜率存在，设直线l1为yk(x1)，即kxyk0.由题意知，圆心(3,4)到已知直线l1的距离等于半径2，即2，解得k.所求直线方程是x1或3x4y30.(2)直线与圆相交，斜率必定存在，且不为0，可设直线方程为kxyk0.由得N.又直线CM与l1垂直，由得M.所以AMAN 6为定值，故AMAN是定值，且为6.10、解：以为原点，直线、分别为轴建立平面直角坐标系 设与圆相切于点，连结，以百米为单位长度，则圆的方程为，(1)由题意可设直线的方程为，即， ，与圆相切，解得 ，故当距处百米时，的长为百米 5分（2）设直线的方程为，即 ，与圆相切，化简得，则，8分令， ，当时，即在上单调递减；当时，即在上单调递增，在时取得最小值，故当公路长最短时，的长为百米答：（1)当距处百米时， 的长为百