七年级数学下册 第八章 整式的乘法 8.4 整式的乘法 整式乘法中的思想方法素材 （新版）冀教版

整式乘法中的思想方法学习整式的乘法应注意以下几种常见的数学思想方法的运用：一、化归思想例1计算：(ab)(a2+ab+b2).分析先将其转化为多项式乘以单项式，再将其转化为单项式乘以单项式，此时利用单项式乘以单项式的法则和幂的运算法则化简.解(ab)(a2+ab+b2)a(a2+ab+b2)b(a2+ab+b2)aa2+ aab+ ab2ba2babbb2a3b3.说明本题在计算过程，实施的一步一步地转化，最终化归到单项式乘以单项式，事实上，多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项“遍乘”另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，但要注意系数和符号的变化.二、方程思想例2若多项式(x2+mx+n)(x23x+4)展开后不含x3项和x2项.试求m，n的值.分析由于多项式(x2+mx+n)(x23x+4)展开后不含x3项和x2项，就是说x3项和x2项的系数为0，所以令多项式(x2+mx+n)(x23x+4)展开后中x3项和x2项的系数为0即求.解(x2+mx+n)(x23x+4)x4+(m3)x3+(n3m+4)x2+(4m3n)x+4n，因为展开后不含x3项和x2项，所以有m30且n3m+40，解得m3，n5.说明本题利用整式乘法运用中不含某些项，得到系数为0，从而构造出方程求解.三、整体思想例3化简并求值：(a+b+1)(a+b1)(a+b2)(3ba).其中a1，b2.分析本题若用常规的方法采取“遍乘”的办法化简，显然运算量较大，但考虑其结构特点，视(a+b)为一个整体，可降低运算的难度和运算量.解(a+b+1)(a+b1)(a+b2)(3ba)(a+b)(a+b1)+1(a+b1)(a+b)(a+b3)2(a+b3)(a+b)2(a+b)+(a+b)1(a+b)23(a+b)2(a+b)+6(a+b)21(a+b)25(a+b)+6(a+b)2(a+b)25(a+b)+61(a+b)25(a+b)+6(a+b)45(a+b)3+6(a+b)2(a+b)2+5(a+b)6(a+b)45(a+b)3+5(a+b)2+5(a+b)6.因为a1，b2，所以a+b1，所以当a+b1时，原式14513+512+5160.说明本题既运用了整体思想进行化简，又运用了整体代入求值.四、数形结合思想例4袁老师要贝贝用一张纸片制作成一个如图形状的图案.贝贝是这样做的：先画一条线段ac，如图，再以ac为直径画圆，o是它的圆心，并剪下这个圆，然后在ac上找一点b，再分别以ab.bc为直径画圆，然后用剪子或其它工具挖去这两个圆，即以o1、o2为圆心的圆，再通过适当的剪裁，就可以得到图.如果被你挖去两个圆中，小圆的半径（即ao2）比大圆的半径（即co1）小1cm，请你比较余下部分的面积（即图中阴影部分的面积）和被挖去部分的面积（即两个小圆的面积的和）的大小.分析要求其解，现在的关键是要能分别求出余下的图形面积和挖去的两个圆的面积，然后再比较各自的大小.解设小圆的半径ao2r，则大圆的半径co1r+1，外面的最大圆的半径则为r+r+12r+1，所以图中小圆的面积r2，大圆的面积(r+1)2，小圆和大圆的面积之和r2+(r+1)2，而图中外面最大圆的面积(2r+1)2，所以图中阴影部分的面积(2r+1)2r2+(r+1)24r2+4r+r2r22r2r2+2r，而图中阴影部分的面积小圆和大圆的面积之和2r2+2rr2(r+1)22r2+2r