江苏省海安高级中学2019-2020学年高二数学上学期10月月考试题（含解析）

江苏省海安高级中学2019-2020学年高二数学上学期10月月考试题（含解析）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.设，则（ ）a. b. c. d. 【答案】b【解析】【分析】先求集合b,再利用补集及交集运算求解即可【详解】由题得，所以.故选.【点睛】本题考查集合的运算，二次不等式求解，准确计算是关键，是基础题2.，则的值为（ ）a. b. c. d. 【答案】a【解析】【分析】先利用诱导公式求解，再利用二倍角公式求解即可【详解】因为，所以，所以.故选.【点睛】本题考查诱导公式和二倍角公式，熟记公式是关键，是基础题3.若为钝角三角形，内角所对的边分别为，角为钝角，则的取值范围是（ ）a. b. c. d. 【答案】b【解析】【分析】已知三边与角为钝角，用余弦定理，以及三角形两边之和大于第三边即可。【详解】由题，角为钝角，故，故，因为解得，又三角形满足，故，所以，故选b。【点睛】已知三边一角的关系，考虑用余弦定理，又注意三角形两边之和大于第三边即可。4.已知数列为等差数列，数列2，m，n，3为等比数列，则x+y+mn的值为（ ）a. 16b. 11c. 11d. 11【答案】b【解析】5.已知，则的大小关系是（ ）a. b. c. d. 【答案】a【解析】【分析】通过作差得到，根据判别式和开口方向可知，从而得到结果.【详解】 ，即本题正确选项：【点睛】本题考查作差法判断大小问题，关键是通过作差得到二次函数，根据判别式和开口方向得到符号.6.若数列满足（，），则以下结论正确的是（ ）是等比数列； 是等比数列；是等差数列；是等差数列.a. b. c. d. 【答案】d【解析】【分析】逐个选项求出通项公式，用等差等比的通项公式性质判断是否为等差等比数列即可。【详解】由题，中，满足等比数列通项公式；，满足等比数列通项公式；，满足等差数列通项公式；，满足等差数列通项公式。所以均正确，故选d。【点睛】形如的数列为等差数列，形如的数列为等比数列，意在考查学生对等差等比通项的理解。7.在中，根据下列条件解三角形，其中有两解的是（ ）a. b. c. d. 【答案】d【解析】【分析】逐个选项分析，a选项算出，又已知故有一解，选项b，c利用内角和等于即可判断无解。【详解】对a选项，由得，又故三角一边均确定，故三角形只有一解。b选项，由正弦定理得，所以，又所以，有唯一解。c选项，故，又,无解。d选项，由得，又，故有两种情况，故选d。【点睛】分析三角形多解的问题，主要根据内角和为，利用正弦定理等判断是否有两种情况，方法比较灵活。8.设是实数，且，则的最小值是（ ）a. 6b. c. d. 8【答案】b【解析】【分析】直接用均值不等式化简即可。【详解】由题，当时取最小值。故选b。【点睛】本题主要考查均值不等式，以及指数运用。9.设锐角的三内角、所对边的边分别为、,且,则的取值范围（ ）a. b. c. d. 【答案】a【解析】,，即，由正弦定理，得，为锐角三角形，所以，即，所以；故填.10.已知，则（ ）a. 2019b. c. 2020d. 【答案】c【解析】【分析】直接带入化简计算即可。【详解】由题，故，故选c。【点睛】题目中已经给出的通项公式，要求则直接带入即可，注意中包含的表达式，故可直接转换。11.数列是公差不为0的等差数列，且，设（），则数列的最大项为（ ）a. b. c. d. 不确定【答案】b【解析】【分析】观察到有根号，且与下标之和为定值，故两边平方。平方后出现想到用等差数列性质，想到用基本不等式。【详解】由两边平方得，由等差数列性质得，当且仅当即时成立，故最大值为，故选b。【点睛】本题主要考查等差数列性质：若是等差数列，且，则，基本不等式12.已知实数满足，则的最大值为（ ）a. b. c. d. 【答案】a【解析】【分析】由原式，明显考查斜率几何意义，故上下同除以得，再画图分析求得的取值范围，再用基本不等式求解即可。【详解】所求式，上下同除以得，又的几何意义为圆上任意一点到定点的斜率，由图可得，当过的直线与圆相切时取得临界条件。当过坐标为时相切为一个临界条件，另一临界条件设，化成一般式得，因为圆与直线相切，故圆心到直线的距离，所以，解得，故。设，则，又，故，当时取等号。故，故选a。【点睛】本题主要考查斜率的几何意义，基本不等式的用法等。注意求斜率时需要设点斜式，利用圆心到直线的距离等于半径列式求得斜率，在用基本不等式时要注意取等号的条件。二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 将答案填在指定的位置上. 13.在中，内角所对的边分别为，若，则_.【答案】或【解析】【分析】根据面积公式得出，再根据列出余弦定理计算即可。【详解】由，得，又，所以，因为，所以或。又由余弦定理，当时，故。当时，故，故填或。【点睛】题中已知的关系要解三角形，故使用关于边的余弦定理和角的面积公式即可。14.不等式的解集是,则不等式的解集是_【答案】【解析】【分析】由不等式的解集是,可以求得,从而可以求得不等式的解集.【详解】不等式的解集是,3是方程的二根,即,代入有,解得,故答案为.【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解法 ,属于基础题. 若，则的解集是；的解集是.15.在四面体中， 为等边三角形，边长为3，则四面体的体积为_.【答案】【解析】【分析】由题目可得四面体的每条棱长，故先将四面体画出来，画的时候发现为直角三角形，故可将作为底面进行画图分析。【详解】由题得，以为顶点作四面体则三条侧棱都是3，底面为直角三角形；由三棱锥的侧棱都相等可知顶点在底面的外心，即为底边pc的中点，且底面外接圆半径 ;那么三棱锥的高 .则三棱锥体积，综上所述：四面体的体积为。【点睛】立体几何问题重点找到特殊结构，如直角三角形和等边三角形等来确定球心位置，从而作出辅助线列式求半径。16.已知数列前项和为，数列的前项和为，满足，（， ）且. 若对任意，恒成立，则实数的最小值为_.【答案】【解析】【分析】由可考虑一般做法，先带入，再利用求得关于的递推公式，进而求得的通项公式，继而求得通项公式，再求出即可。【详解】因为，令有，可得，所以，当时，故，即，故为常数列，所以，又，故，又，所以，故，又对任意，恒成立，故，故的最小值为。【点睛】有关通项与前项和等式，一般先令，再利用，推导的通项公式即可。恒成立的问题主要求最值。三、解答题：本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.某种产品的广告费支出与销售额（单位：万元）之间有如下对应数据：235630405060（1）求线性回归方程；（2）试预测广告费支出为9万元时，销售额多大？（参考公式：，）【答案】(1) ;(2)80【解析】【分析】（1）利用公式，计算，带入公式算出，再带入求得即可。（2）根据（1）中的得出的，带入即可。【详解】（1）由表中数据可得，. ，所求线性回归直线方程为. （2）由（1）可得，当时，所以可预测广告费支出为9万元时，销售额为80万元.【点睛】线性回归的问题直接根据公式，分别求得对应的数据带入即可，得出的线性回归方程在题中的实际意义要理解。18.为等差数列的前项和，且，. 记，其中表示不超过的最大整数，如，. （1）求，；（2）求数列的前2019项和.【答案】(1) ， ，,(2)4950【解析】【分析】（1）由，利用基本量法，设公差为，算出，再根据定义可算得，；（2）根据（1）中的结论，分，进行讨论分析即可。【详解】(1)设的公差为，据已知有，解得.所以的通项公式为.， ，.(2)因为bn所以数列的前2019项和为【点睛】已知等差数列则可用基本量法求通项公式。有（1）（2）问时可联系（1）问思考第（2）问，即可更容易理解题目给的问题。19.如图，已知平面四边形abdc中，满足且.（1）求；（2）若的外接圆的面积为且，求的周长。【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由可得，由可得，根据和两角差的余弦公式即可得结果；（2）由（1）及正弦定理可得，由可得，由余弦定理可得，联立解出，进而可得周长.【详解】（1）因为在中，所以，在中，所以，（2）设的外接圆的半径为，由（1）知，又，得，联立解得，的周长为【点睛】本题主要考查了利用正弦定理和余弦定理解三角形，两角差余弦公式的应用，属于中档题.20.在四棱锥 p - abcd 中，锐角三角形 pad 所在平面垂直于平面 pab，abad，abbc。(1) 求证：bc平面 pad；(2) 平面 pad 平面 abcd【答案】（1）见解析； （2）见解析.【解析】【分析】（1）由abad，abbc可得bcad，从而得证；（2）作depa于e，可证de平面pab，进而可证ab平面pad，即可证得.【详解】（1）四边形abcd中，因为abad，abbc，所以，bcad，bc在平面pad外，所以，bc平面pad（2）作depa于e，因为平面pad平面pab，而平面pad平面pabpa，所以，de平面pab，所以，deab，又adab，deadd所以，ab平面pad，ab在平面abcd内所以，平面pad平面abcd.【点睛】本题主要考查了线面平行的证明及面面垂直的证明，属于基础题.21.设二次函数（，），关于的不等式的解集中有且只有一个元素. （1）设数列的前项和（），求数列的通项公式；（2）设（），则数列中是否存在不同的三项能组成等比数列？请说明理由.【答案】(1) ,(2)见解析【解析】【分析】（1）由等式的解集中有且只有一个元素可利用判别式等于0算出，有关通项与前项和的等式，一般先令，再利用，推导的通项公式即可。（2）求出的通项公式，利用等比数列的性质，建立等式即可分析得出结论。【详解】（1）因为关于的不等式的解集中有且只有一个元素，所以二次函数的图象与轴相切，于是，考虑到，所以.从而，故数列的前项和.于是；当时，. 故数列的通项公式为（2）.假设数列中存在三项（正整数互不相等）成等比数列，则，即，整理得.因为都是正整数，所以，于是，即，从而与矛盾. 故数列中不存不同三项能组成等比数列.【点睛】（1）二次函数主要加强对图像的理解即可翻译题目条件，列出等式。（2）分析是否存在的问题，主要是假设存在，再列式进行分析讨论。22.已知圆与直线，动直线过定点. （1）若直线与圆相切，求直线的方程；（2）若直线与圆相交于两点，点是的中点，直线与直线相交于点. 探索是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由.【答案】(1) 或;(2)见解析【解析】【分析】（1）求过某点的直线时，分斜率不存在和存在进行讨论，再根据相切，列出到直线的距离等于半径等式求出所求直线斜率即可。（2）设的方程为，联立直线与圆的方