河南省2020届高三数学上学期阶段性考试试题（四）理（含解析）

河南省2020届高三数学上学期阶段性考试试题（四）理（含解析）考生注意：1.本试卷共150分. 考试时间120分钟。2.请将各题答案填写在答题卡上。3.本试卷主要考试内容：高考全部内容（除选修4一4，45）。一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.设集合，则（ ）a. b. c. d. 【答案】a【解析】【分析】解出集合、，然后利用交集的定义可得出集合.【详解】解不等式，得，则.解不等式，得，解得，则.因此，.故选：a.【点睛】本题考查集合的交集运算，同时也考查了一元二次不等式与指数不等式的解法，考查运算求解能力，属于基础题.2.欧拉公式 （是自然对数的底数，是虚数单位）是数学里令人着迷的公式之一，根据欧拉公式可知，（ ）a. b. c. d. 【答案】d【解析】【分析】根据欧拉公式和复数的乘法法则可计算出.【详解】根据欧拉公式和复数的乘法法则得.故选：d.【点睛】本题考查复数的基本运算，解题的关键就是利用欧拉公式将复数化为一般形式，考查计算能力，属于基础题.3.设，则（ ）a. b. c. d. 【答案】c【解析】【分析】比较、三个数与和的大小关系，从而可得出、三个数的大小关系.【详解】对数函数是增函数，则；对数函数是减函数，则；指数函数为增函数，则，且.因此，.故选：c.【点睛】本题考查指数幂、对数式的大小比较，一般利用指数函数和对数函数的单调性，结合中间值法来得出各数的大小关系，考查推理能力，属于中等题.4.鸡兔同笼，是中国古代著名的趣味题之一.孙子算经中就有这样的记载：今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各有几何？设计如右图的算法来解决这个问题，则判断框中应填入的是（ ）a. b. c. d. 【答案】b【解析】【分析】由题意知为鸡的数量，为兔的数量，为足的数量，根据题意可得出判断条件.【详解】由题意可知为鸡的数量，为兔的数量，为足的数量，根据题意知，在程序框图中，当计算足的数量为时，算法结束，因此，判断条件应填入“”.故选：b.【点睛】本题考查算法程序框图中判断条件的填写，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.5.函数的图象大致为（ ）a. b. c. d. 【答案】d【解析】【分析】分析函数的定义域、奇偶性以及函数在和上的函数值符号，可得出正确选项.【详解】自变量满足，解得且，则函数定义域为.，则函数为奇函数，当时，当时，.故选：d.【点睛】本题考查函数图象的识别，一般从函数的定义域、奇偶性、单调性、零点和函数值符号来进行判断，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.6.临近学期结束，某中学要对本校高中部一线科任教师进行“评教评学”调查，经调查，高一年级名一线科任教师好评率为，高二年级名一线科任教师好评率为，高三年级名一线科任教师好评率为.依此估计该中学高中部一线科任教师的好评率约为（ ）a. b. c. d. 【答案】a【解析】【分析】计算出高中三个年级好评率的教师总数，再除以高中部一线科任教师总数即可得出结果.【详解】由题意可知，该中学高中部一线科任教师好评率为，因此，该中学高中部一线科任教师的好评率为.故选：a.【点睛】本题考查古典概型概率的计算，考查计算能力，属于基础题.7.已知平面上两个力的合力的大小为，其中的大小为，若与垂直，则夹角的余弦值为（ ）a. b. c. d. 【答案】c【解析】【分析】由题意，利用模与垂直的条件建立与cos的方程，解出即可.【详解】设的夹角为，因为，所以，所以. 又因为， 所以，解得，.故选：c.【点睛】本题考查了向量的物理意义，考查了垂直的向量表示，向量模及夹角的基本运算，属于基础题.8.斜率为的直线过双曲线的右焦点，且与双曲线的渐近线交于两点，若，则该双曲线的离心率为（ ）a. b. 2c. d. 【答案】a【解析】【分析】由题意得为的中点，过，分别作轴的垂线，垂足分别为，由平面几何知识得到三角形相似，通过相似可以建立a，b的等量关系，由此求得结果.【详解】如图，过，分别作轴的垂线，垂足分别为，. 因为，所以为的中点. 因为，所以，所以. 设，因为的斜率为，所以，所以，所以，所以，即，所以离心率. 故选：a.【点睛】本题考查了双曲线的性质的应用，涉及平面几何知识，属于基础题.9.已知点，如图放置的边长为1的正方形沿轴顺时针滚动至点落到轴上停止，设顶点的运动轨迹与轴及直线所围成的区域为，若在平面区域内任意取一点，则点恰好落在区域内部的概率为（ ）a. b. c. d. 【答案】d【解析】【分析】作出p点运动的轨迹，找出区域m，利用几何概型求解概率即可.【详解】p点首先围绕点运动个圆到达，该圆的半径为1，然后以点为圆心，以的长为半径运动个圆到达，此时点落地，再以为圆心，半径为1，运动个圆，点落到轴的， 最终区域如图：其面积为，则所求概率，故选：d.【点睛】本题以动点运动轨迹为载体，考查了几何概型，作出区域m是关键，属于中档题.10.在中，角、的对边分别为、，若，点是的重心，且，则（ ）a. 或b. c. 或d. 【答案】c【解析】分析】利用二倍角的余弦公式以及诱导公式求出，可得出或，然后由点是的重心，得出，两边平方后化简得出，然后分或两种情况讨论，求出的值，由余弦定理可求出的值.【详解】，整理得，解得或（舍去）.或.又点是的重心，则，等式两边平方得，整理得.当时，则有，解得，由余弦定理得，则；当时，则有，解得，由余弦定理得，则.因此，或.故选：c.【点睛】本题考查二倍角的余弦公式、余弦定理解三角形问题，本题涉及三角形的重心问题，在解题时可充分利用向量来处理，可简化计算，考查运算求解能力，属于中等题.11.已知是边长为4的正三角形，点是的中点，沿将折起使得二面角为，则三棱锥外接球的表面积为 （ ）a. b. c. d. 【答案】b【解析】【分析】由题意知底面是直角三角形，且球心在中点的正上方，利用题中数据及垂径定理建立关于r与d的方程组，即可得出结果.【详解】如图将沿将折起得到三棱锥，在三棱锥中，底面是以为斜边的直角三角形，设底面外接圆的圆心为，可知在的中点处，其半径. 设三棱锥外接球的球心为，半径为，则球心在的中点的正上方，由题意及二面角的定义可知二面角的平面角即为，所以点到底面的距离为，且点在底面的射影为的中点，所以. 设=，则，且，解得，所以.故选：b.【点睛】本题考查了球与三棱锥的组合体问题，找到球心并利用垂径定理是解题的关键，属于中档题.12.已知函数，为的一个零点，为图象的一条对称轴，且在上有且仅有7个零点，下述四个结论：；在上有且仅有4个极大值点；在上单调递增. 其中所有正确结论的编号是（ ）a. b. c. d. 【答案】d【解析】【分析】由题意得到与，利用两式可求解，再由在上有且仅有7个零点求解，作出简图，依次看选项得出结论.【详解】由题意得到与，可得由+2，得，由-，得. ，即，. 在上有且仅有7个零点，故错误；所以. 作出的图象，如图所示，可知在上有且仅有3个极小值点，4个极大值点. 当时，在上单调递增.故选：d.【点睛】本题考查了正弦函数的对称性与图像的应用，考查了正弦函数的单调性、极值，考查分析、转化与运用三角知识解决问题的能力，属于中档题.二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分. 把答案填在答题卡中的横线上. 13.若，则_（用数字作答）.【答案】16【解析】【分析】利用二项展开式的通项公式求出通项，令x的指数为7，求出a7【详解】（x +2）8展开式的通项为tr+1c8r2rx8r，令8-r7得r1，a7c812116，故答案为：16.【点睛】本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的系数问题，属于基础题.14.首项为的等差数列中，、成等比数列，则的前项和为_.【答案】【解析】【分析】设等差数列的公差为，根据题中条件求出的值，然后利用等差数列的求和公式可求出数列的前项的和.【详解】设等差数列的公差为，由题意可得，所以，整理得，解得或.当时，舍去；所以，因此，数列的前项的和为.故答案为：.【点睛】本题考查等差数列求和公式的应用，一般要结合已知条件列出有关首项和公差的方程（组），求出等差数列的首项和公差，考查计算能力，属于中等题.15.若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】先由题意求得的定义域，得到，再求导求得在上单调递减，利用，列出不等式，求解a即可.【详解】的定义域为，所以，解得. 依题意知，若，解得. 所以在上单调递减. 所以，即，且，解得. 综上，.故答案为：.【点睛】本题考查了利用导数求解函数的单调性问题，考查了集合的包含关系，属于中档题.16.已知点是椭圆上的动点，分别是椭圆长轴的两个端点，直线分别与直线交于，那么的最小值为_.【答案】6【解析】【分析】设，利用在椭圆上，求得直线、的斜率之积为定值，即为定值，得到，再利用基本不等式求得最小值.【详解】如图，设，则直线的斜率，的斜率，故. 将代入上式，得. 设，则，所以. 不妨设，所以. 故答案为：6.【点睛】本题考查了椭圆的性质的应用，考查了计算能力，找到定值是关键，属于中档题.三、解答题:本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.已知首项为的等比数列的前项和为. （1）求的通项公式；（2）若，求数列的前项和.【答案】（1）或；（2）.【解析】【分析】（1）设等比数列的公比为，根据题中条件求出的值，然后利用等比数列的通项公式可求出数列的通项公式；（2）由（1）可得，求出，可得出，然后利用裂项求和法可求出数列的前项和.【详解】（1）设等比数列的公比为，由题意可得，整理得，解得或，因此，或；（2），因此，.【点睛】本题考查等比数列通项公式的求解，同时也考查了裂项求和法的应用，考查计算能力，属于基础题.18.在中，角、的对边分别为、，且.（1）求；（2）若，求的面积.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由正弦定理边角互化思想得出，再由，利用两角和的正切公式结合已知条件求出，再对的值进行分类讨论，可得出角的值；（2）由、的值可求出、的值，并利用正弦定理求出、的值，然后利用三角形的面积公式可求出的面积.【详解】（1），由正弦定理得，.在中，可得，.当时，则角、均为钝角，不合乎题意，舍去.，因此，；（2）由（1）知，同理可得，所以，.由正弦定理得，解得，因此，的面积为.【点睛】本题考查正弦定理边角互化思想的应用，同时也考查了三角形面积公式的应用，解题时要结合三角形元素类型合理选择正弦、余弦定理进行求解，考查计算能力，属于中等题.19.大学的生活丰富多彩，很多学生除了学习本专业的必修课外，还会选择一些选修课来充实自己. 甲同学调査了自己班上的50名同学学习选修课的情况，并作出如下表格：每人选择选修课科数0123456频数159151352（1）求甲同学班上人均学习选修课科数；（2）现从学习选修课科数为5，6的同学中抽出三名同学，求这三名同学中恰有一名是学习选修课科数为6的概率；（3）甲同学和乙同学的某门选修课是在同一个班，且该门选修课开始上课的时间是早上8:00，已知甲同学每次上课都会在7:00到7:40之间的任意时刻到达教室，乙同学每次上课都会在7:20到8:00之间的任意时刻到达教室，求连续3天内，甲同学比乙同学早到教室的天数的分布列和数学期望.【答案】(1)3.14. (2) ；(3)分布列见解析，数学期望【解析】【分析】（1）直接由平均数公式计算即可.（2）利用古典概型概率公式求解.（3）由题意列出关于x，y的不等式组，利用几何概型求得在一天中甲同学比乙同学早到教室的概率，由题意知，由此求得分布列和数学期望.【详解】（1）设甲同学班上人均学习选修课科数为，根据表格可得，即甲同学的班上平均每人学习选修课科数是3.14. （2）根据表格可知，学习选修课科数为5的同学有5人，为6的同学有2人，共有7人，即. （3）设甲同学和乙同学到达教室的时间分别为，可以看成平面中的点，则全部结果所构成的区域为，所以.用表示事件“甲同学比乙同学早到教室”，该事件所构成的平面区域为，即. 故.将连续3天内甲同学比乙同学早到教室的天数记为，则可能的取值为0，1，2，3 ， 故的分布列为0123因为，所以数学期望.【点睛】本题考查了古典概型、几何概型的实际应用，考查了离散型随机变量的分布列及期望问题，考查了知识综合运用能力与逻辑推理能力，属于中档题.20.如图，在四棱锥中，平面，点为的中点. （1）证明:平面. （2）若平面与平面所成锐二面角为，求.【答案】(1)证明见解析；(2) 【解析】【分析】（1）延长，交于点，连接，利用余弦定理可得为的中点，由中位线可得,利用线面平行的判定定理可得平面.（2）以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设，写出各个点的坐标，求得两个平面的法向量，利用二面角为列出，求解t即可.【详解】（1）如图，延长，交于点，连接.因为，所以在中，.在中，.由余弦定理可得解得或（舍去），所以为的中点. 又因为点为的中点，所以为的中位线，所以，又因为平面，平面，所以平面.（2）以为坐标原点，所在直线为轴，在平面内过作垂直于的直线为轴，所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系.设，则，所以，设平面的法向量为，则令，则，得.设平面的法向量为，则令，则，得.所以，得，即.【点睛】本题考查了线面平行的判定，考查了向量法求解二面角的应用，属于中档题.21.是圆外一动点，到圆上点的最短距离等于到直线的距离.（1）求动点的轨迹的方程；（2）点是直线上的动点，过点引曲线的两条切线，两条切线分别与轴交于两点，证明：以为直径的圆恒过定点.【答案】(1) .(2)