福建省厦门市双十中学2019-2020学年高一数学上学期第一次月考试题（含解析）

福建省厦门市双十中学2019-2020学年高一数学上学期第一次月考试题（含解析）一、单选题：本大题共10小题，每小题4分，共40分，在给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.设全集u=1，2，3，4，0，集合a=1，2，0，b=3，4，0，则（ua）b=（）a. 0b. 3，4c. 1，2d. 【答案】b【解析】cua 3，4，（cua）b=3，4.故答案选b.点睛：1.用描述法表示集合，首先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明确集合类型，是数集、点集还是其他的集合2求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解3在进行集合的运算时要尽可能地借助venn图和数轴使抽象问题直观化一般地，集合元素离散时用venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍2.已知函数的定义域是，则的定义域是（ ）a. b. c. d. 【答案】b【解析】【分析】根据抽象函数定义域求法,即可求其定义域.【详解】因为函数的定义域是所以所以的定义域满足解不等式,可得,即故选b【点睛】本题考查了抽象函数定义域的求法,紧扣定义域为的取值范围这一概念即可,属于基础题.3.已知集合，则b的子集个数为（）a. 3b. 4c. 7d. 8【答案】d【解析】【分析】根据已知条件，列举出m中的元素，利用集合含子集的个数与集合中元素个数的关系求出集合m的子集个数.【详解】集合，b=（1，1），（1，2），（2，1），所以b中含有3个元素，集合b的子集个数有23=8故选：d【点睛】本题考查若一个集合含有n个元素则其子集的个数是2n，其真子集的个数为2n1，属于基础题4. 如图所示，i为全集，m、p、s为i的子集，则阴影部分所表示的集合为（ ）a. （mp）sb. （mp）sc. （mp）（ci s）d. （mp）（ci s）【答案】c【解析】试题分析：由图示可知阴影部分为集合m,p的公共部分，并且不在集合s中，因此为（mp）（ci s）考点：集合的表示方法5.函数的图象a. 关于原点对称b. 关于直线y=x对称c. 关于x轴对称d. 关于y轴对称【答案】d【解析】【详解】试题分析：，因为，所以为偶函数所以的图象关于y轴对称故选d.考点：函数的奇偶性6.函数的值域是()a. 0，)b. (，0c. d. 1，)【答案】c【解析】【分析】用换元法转化为求二次函数的值域求解或根据函数的单调性求解【详解】方法一：设，则，函数在上单调递增，函数的值域是故选c方法二：由得，函数的定义域为，又由题意得函数为增函数，函数的值域是故选c【点睛】对于一些无理函数，可通过换元转化为有理函数（如二次函数），再利用有理函数求值域的方法解决问题，“换元法”的实质是等价转化的思想方法，解题中要注意新元的范围7.已知函数的定义域为，则实数的取值范围是（ ）a. b. c. d. 【答案】d【解析】【分析】讨论与两种情况.当时满足题意,当时,根据即可求得实数的取值范围.【详解】当时,分母变为常数1,所以定义域为,即符合题意因为定义域为,所以当时, 符合题意.且同时满足即,解不等式可得 综上所述,实数的取值范围为,即故选d【点睛】本题考查了函数定义域的求解,定义域为r时函数满足的条件,属于基础题.8.已知，则、的大小关系是（ ）a. b. c. d. 【答案】b【解析】【分析】根据指数函数的单调性,选取中间量,即可比较大小.【详解】根据指数函数的性质可知,函数为单调递减函数,所以,即因为单调递增函数,所以,即综上可知, 故选b【点睛】本题考查了指数函数图像与性质,指数幂形式的比较大小,属于基础题.9.函数的图象大致是（ ）a. b. c. d. 【答案】c【解析】【分析】根据函数的解析式,结合特殊值法即可判断选项.【详解】因为定义域为,所以排除a选项当时, 且,所以;分母增长的速度大于分子中的增长速度,所以,排除选项d当时,分母,分子,所以,排除选项b综上,故选c【点睛】本题考查了根据函数解析式判断函数的图像,属于基础题.解决有关函数图像这一类题目,一般从三个方面入手研究图像:（1）分析函数的单调性;（2）分析函数的奇偶性;（3）特殊值法检验,特殊值法包括具体取值与极限取值.10.已知函数，则关于的不等式的解集为（ ）a. b. c. d. 【答案】d【解析】【分析】根据函数解析式,可知函数为偶函数,结合函数的单调性,解不等式即可求得的取值范围.【详解】函数,定义域为r则所以,即函数为偶函数当时,为增函数,为增函数则在时为增函数,在时为减函数不等式即满足即可不等式化简可得即解得,即故选d【点睛】本题考查了函数的奇偶性、单调性的综合应用,根据函数性质解不等式,属于基础题.二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的五个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.11.下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（ ）a. b. c. d. e. 【答案】de【解析】【分析】根据函数的奇偶性定义和函数单调性的判定即可得解.【详解】对于a,定义域为.为奇函数,在单调递减,在单调递减,但递减不成立,所以a错误;对于b,定义域为.为偶函数,所以b错误对于c,定义域为.非奇非偶函数,所以c错误;对于d,定义域为r,为奇函数,且在r上为递减函数,所以c正确;对于e, ,定义域为r,即 ,画出函数图像如下图所示所以为奇函数,且在r上为递减函数,所以e正确综上,故选de【点睛】本题考查了函数奇偶性与单调性的判定,注意定义域的特殊要求,属于基础题.12.对任意两个实数，定义若，下列关于函数的说法正确的是（ ）a. 函数是偶函数b. 方程有三个解c. 函数在区间单调递增d. 函数有4个单调区间e. 函数有最大值为1，无最小值【答案】abde【解析】【分析】根据题意函数为取小函数,画出与在同一坐标系中的图像,可得的图像,根据图像即可判断选项.【详解】由题意函数为取小函数根据与,画出的图像如下图所示:由图像可知,函数关于轴对称,所以a正确.函数图像与轴有三个交点,所以方程有三个解,所以b正确.函数在内单调递增,在内单调递减,在内单调递增,在内单调递减,所以c错误,d正确.由函数图像可知,函数有最大值为1,无最小值,所以e正确综上,故选abde【点睛】本题考查了函数的单调性、奇偶性与最值的综合应用,根据函数图像研究函数的性质,属于基础题.13.若一系列函数的解析式和值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，例如函数与函数，为“同族函数”.下面函数解析式中能够被用来构造“同族函数”的是（ ）a. b. c. d. e. 【答案】abd【解析】【分析】由题意可知定义域不同且解析式和值域相同,得函数必为不单调函数,举出满足条件的例子构造出同族函数即可.【详解】对于a,当定义域分别为与时,值域均为,所以为同族函数,所以a正确;对于b,当定义域分别为与时,值域均为,所以为同族函数,所以b正确;对于c, 在定义域内,函数图像在第一象限内单调递减，在第三象限内单调递减,不满足定义域不同时,值域相同,所以c错误;对于d,定义域为,当定义域分别为与时,值域均为,所以d正确对于e,定义域为r,且函数在r上单调递增,所以不满足定义域不同时,值域相同,所以e错误综上,故选abd【点睛】本题考查了函数新定义的理解,注意定义域、值域和解析式间的关系,属于中档题.14.对于实数，符号表示不超过的最大整数，例如，定义函数，则下列命题中正确的是（ ）a. b. 函数的最大值为1c. 函数的最小值为0d. 方程有无数个根e. 函数是增函数【答案】acd【解析】【分析】根据题意,画出函数的图像,根据图像分析函数的性质即可.【详解】根据符号的意义,讨论当自变量取不同范围时函数的解析式：当时,则当时,则当时,则当时,则画出函数的图像如下图所示：根据定义可知,即,所以a正确；从图像可知,函数最高点处取不到,所以b错误；函数图像最低点处函数值为0,所以c正确；从图像可知,即有无数个根,所以d正确根据函数单调性,可知函数在特定区间内为增函数,在整个定义域内没有增减性,所以e错误综上,故选acd【点睛】本题考查了函数新定义的内容,分段函数图像的画法.画出所给函数图像,根据图像分析函数的性质是解决问题的常见方法,属于中档题.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分15.函数（，且）的图像恒过定点_.【答案】【解析】【分析】根据指数函数过定点,结合函数图像平移变换,即可得过的定点.【详解】因为指数函数（,且）过定点是将向左平移2个单位,向上平移3个单位得到所以过定点【点睛】本题考查了指数函数的图像与性质,函数图像的平移变换,属于基础题.16.函数单调减区间是_【答案】，【解析】【分析】根据绝对值的定义去绝对值，写成分段函数形式，再根据函数单调性求得单调递减区间。【详解】去绝对值，得函数 当 时，函数 的单调递减区间为 当 时，函数的单调递减区间为 综上，函数 的单调递减区间为，【点睛】本题考查了含绝对值函数单调性的求法。首先根据定义去绝对值，写成分段函数形式，再依据各自区间内的单调性写出单调区间；最后注意单调区间不能写成并集。17.已知函数是定义在的增函数，且满足，则不等式的解集是_.【答案】【解析】【分析】根据可知函数为奇函数,根据单调性及定义域解不等式,进而求得不等式的解集.【详解】因为,即,定义域为所以函数为奇函数则不等式,即由奇函数性质可化简得根据函数是定义在的增函数可得,解不等式组可得即不等式组的解集为 所以不等式的解集为【点睛】本题考查了抽象函数奇偶性、单调性的综合应用,解决问题时一定在定义域内求解,属于中档题.18.已知f（x）=，若f（0）是f（x）的最小值，则t的取值范围为_.【答案】【解析】【分析】根据二次函数的图象以及基本不等式的性质即可得到结论【详解】由于当x0时，f（x）=x+t在x=1时取得最小值为2+t，由题意当x0时，f（x）=（xt）2，若t0，此时最小值为f（0）=t2，故t2t+2，即t2t20，解得1t2，此时0t2，若t0，则f（t）f（0），条件不成立故答案为：0，2【点睛】本题主要考查函数最值的应用，根据分段函数的性质，结合二次函数的图象和性质是解决本题的关键四、解答题：（本大题共6小题70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19.（1）计算：（2）己知集合，若，求的取值范围.【答案】（1）；（2）或.【解析】【分析】（1）根据指数幂运算法则,化简运算即可.（2）根据可知a为b的子集.讨论与两种情况关于的不等式满足的条件,即可求得的取值范围.【详解】（1）由指数幂运算,化简（2）因为所以当时,即解得,此时满足.当时,即,且则则有,综上所述, 的取值范围为或.【点睛】本题考查了指数幂的化简求值,集合与集合关系的简单应用,注意研究集合与集合关系时,讨论集合是否为空集的情况,属于基础题.20.已知函数.（1）若，用定义证明在上是增函数；（2）若，且在上的值域是，求的值.【答案】（1）详见解析；（2）.【解析】【分析】（1）代入得函数解析式,根据作差法证明函数的单调性即可.（2）利用分离常数法对函数解析式变形,可判断出函数在定义域内单调递减,通过函数的定义域与值域,即可分析得.代入解析式即可求得的值.【详解】（1）因为所以证明:任取,则因为 所以,故即故在上是增函数.（2）对函数解析式变形可得由于,故在上单调递减因为在上的值域是所以,代入解析式可得,解方程求得故有【点睛】本题考查了利用定义证明函数的单调性,并根据单调性求参数的取值,属于基础题.21.设函数对任意实数，都有，且时，.（1）求证是奇函数；（2）求在区间上的最大值和最小值.【答案】（1）详见解析；（2）最小值-1，最大值1.【解析】【分析】（1）利用赋值法,令,代入函数式,可求得,再令代入函数式,即可证明函数为奇函数.（2）利用定义法,可证明函数在上单调递减.再根据,用表示出最大值与最小值即可求解.【详解】（1）证明：令,代入函数式可得即令,代入函数式可得所以函数定义域为r,所以是奇函数（2）先证明函数的单调性,证明过程如下:任取,则由题意可知因为所以即所以在上单调递减,且所以在区间上的, 【点睛】本题考查了抽象函数奇偶性、单调性的综合应用,注意在解决此类问题时,赋值法在求值中的应用,属于中档题.22.已知函数是定义在上的偶函数，且当时，.（1）写出函数的解析式；（2）若函数，；求的最小值.【答案】(1) (2) 【解析】【分析】（1）利用函数为偶函数，求得当时函数的解析式，由此求得函数的解析式.（2）利用配方法化简的解析式，根据其对称轴与区间的位置关系进行分类讨论，结合二次函数的性质求得的最小值的表达式.【详解】解：（1）时，为偶函数，.（2）时，对称轴，当时，即时，在区间上单调递增，所以：当，即时，在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以：当，即时，在区间上单调递减，所以.综上所述，【点睛】本小题主要考查已知函数的奇偶性求函数的解析式，考查二次函数最小值的求法，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.23.集合，且实数（1）证明：若，则；（2）是否存在实数，满足且？若存在，求出，的值，不存在说明理由【答案】（1）详见解析；（2）【解析】试题分析：（1），则代入方程成立，两边同除以可得代入成立，即可得证；（2）由（1）的结论可知，所以，由方程根与系数的关系可求得，的值试题解析：（1）若，则，可得，即是方程实数根，即（2）假设存在，则根据，易知集合、有且只有一个公共元素，设，根据条件以及（1）有，显然，则有，那么，代入方程有，联立解得，所以存在满足且考点：1方程的根的情况；2集合的交并补运