陕西省宝鸡市金台区2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题 理（含解析）

2019-2020学年度第一学期期末检测题高二理科数学 一、选择题 1.命题“若，则”以及它的逆命题、否命题中，真命题的个数为（）a. b. c. d. 0【答案】b【解析】【分析】根据原命题与逆否命题同真假,逆命题与否命题同真假,只需判断原命题和逆命题的真假就可以得到真命题的个数了.【详解】因为原命题”若，则”是假命题;所以其逆否命题也是假命题,因为逆命题”若,则”是真命题.所以否命题也是真命题.所以命题“若，则”以及它的逆命题、否命题中，真命题的个数为2个.故选b.点睛】本题考查了四种命题,属基础题.2.若向量，则（ ）a. b. c. 3d. 【答案】d【解析】【分析】先求出的坐标，再求模长即可.【详解】则=故选d.【点睛】本题考查空间向量的坐标运算，模长公式，熟记加减运算性质，准确计算是关键，是基础题.3.命题“存在，使得成立”的否定是（ ）a. 对任意的，成立b. 对任意的，成立c. 存在，成立d. 不存在，使得成立【答案】a【解析】分析：利用特称命题的否定分析解答得解.详解：由题得命题“存在，使得成立”的否定是：对任意的，成立.故答案为a.点睛：（1）本题主要考查特称命题的否定，意在考查学生对该知识的掌握水平.(2) 特称命题,特称命题的否定.4.对于实数a，b，则“ab0”是“”的a. 充分不必要条件b. 必要不充分条件c. 充分必要条件d. 既不充分也不必要条件【答案】a【解析】【分析】利用不等式的基本性质，结合字母的特殊值排除错误选项，确定正确选项即可【详解】若“”即，则“”，故“”是“”的充分条件， 若“”，假设，则“”，得且， 故“”是“” 的不必要条件；对于实数，则“”是“” 充分不必要条件,故选a.【点睛】本题主要考查不等式与不等关系，不等式性质的应用，利用特殊值代入法，是此类问题常用的思维方法，是基础题5.已知双曲线：的一条渐近线方程为，且与椭圆有公共焦点，则的方程为（ ）a. b. c. d. 【答案】b【解析】【分析】由双曲线渐近线方程可知；利用椭圆焦点坐标和双曲线中可构造方程求得，进而得到双曲线方程.【详解】由双曲线渐近线方程知：，即椭圆焦点坐标为 ，解得： 双曲线的方程为故选：【点睛】本题考查双曲线方程的求解，涉及到双曲线渐近线方程、椭圆焦点坐标的求解等知识，属于基础题.6.给出如下四个命题：若“且”为假命题，则均为假命题；命题“若，则函数只有一个零点”的逆命题为真命题；若是的必要条件，则是的充分条件；在中，“”是“”充要条件.其中正确的命题的个数是（ ）a. 1b. 2c. 3d. 4【答案】b【解析】：若“且”为假命题，则中至少有一个假命题，故错误；：若只有一个零点,则当时,只有一个零点,或当时即,故只有一个零点,有或,故不正确;若是的必要条件，则q是p的充分条件，因为若,所以若是的必要条件，则是的充分条件；故正确；：充分性：中，若，则ab，根据正弦定理，可得到 ，反之也成立，故项正确.故选b. 7.如图，分别是四面体的边的中点，是的中点，设 ，用表示，则( ) a. b. c. d. 【答案】d【解析】【分析】利用空间向量的加法和减法的运算，将表示为的线性和的形式.【详解】依题意，故选d.【点睛】本小题主要考查空间向量的加法和减法运算，考查三角形中线对应向量的求法，属于基础题.8.若抛物线的焦点是椭圆的一个焦点，则 （ ）a. 4b. 8c. 10d. 12【答案】d【解析】【分析】首先求出抛物线的焦点，再由抛物线的焦点是椭圆的一个焦点得求解即可【详解】由抛物线，所以抛物线的焦点为，又因为抛物线的焦点是椭圆的一个焦点，所以 解得或（舍去） 故选d【点睛】本题考查了抛物线与椭圆的定义，属于基础题9.已知方程的曲线为，下面四个命题中当时，曲线一定是椭圆；当或时，曲线一定是双曲线；若曲线是焦点在轴上的椭圆，则；若曲线是焦点在轴上的双曲线，则；正确的个数是（ ）a. 1b. 2c. 3d. 4【答案】c【解析】【分析】在中，时，曲线是圆；当或时，；在中，若曲线是焦点在轴上的椭圆，则；在中，若曲线是焦点在轴上的双曲线，则【详解】解：由方程的曲线为，知：在中，当时，曲线不一定是椭圆，比如时，曲线是圆，故错误；当或时，曲线一定是双曲线，故正确；在中，若曲线是焦点在轴上的椭圆，则，解得，故正确；在中，若曲线是焦点在轴上的双曲线，则，解得，故正确故正确的有个.故选：【点睛】本题考查命题真假的判断，考查圆锥曲线的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，属于中档题10.命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是（）a. b. c. d. 【答案】a【解析】【分析】“，”为真命题可转化为恒成立，可得，根据充分必要条件可选出答案.【详解】若“，”为真命题，可得恒成立只需，所以时，”为真命题，“，”为真命题时推出，故是命题“，”为真命题的一个充分不必要条件，选a.【点睛】本题主要考查了不等式恒成立问题，充分条件，必要条件，命题，属于中档题.11.如图，已知正三棱柱的棱长均为2，则异面直线与所成角的余弦值是( ) a. b. c. d. 0【答案】c【解析】【分析】建立空间直角坐标系，结合空间向量的结论求解异面直线所成角的余弦值即可.【详解】以ac的中点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则：,，向量,，.本题选择c选项.【点睛】本题主要考查异面直线所成的角的求解，空间向量的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.12.已知椭圆左顶点为，上顶点为，右焦点为，若，则椭圆的离心率为（）a. b. c. d. 【答案】a【解析】【分析】根据可知，转化成关于，的关系式，再根据，和的关系进而求得和的关系，则椭圆的离心率可得【详解】据题意，即，即.又，同除得，即（舍）或.故选a.【点睛】本题考查了椭圆的标准方程和简单性质、直角三角形的判定等知识，是中档题二、填空题13.抛物线的准线方程是_【答案】【解析】【分析】将抛物线方程化为标准形式，从而得到准线方程.【详解】抛物线方程可化为： 抛物线准线方程为：故答案为【点睛】本题考查抛物线准线的求解，易错点是未将抛物线方程化为标准方程.14.若，且为共线向量,则的值为_.【答案】6【解析】【分析】根据两向量共线的坐标表示，列出方程求出的值，从而可得结果.【详解】，且为共线向量, 存在实数，使得，即，解得，则，故答案为6.【点睛】本题主要考查向量共线的性质，属于简单题. 非零向量共线的充要条件是存在实数使得.15.已知p:(x+2)(x-3)0,q:|x+1|2,若“pq”为真,则实数x的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】分别解出p，q的x的范围，再利用命题“pq”为真即可得出【详解】p：（x+2）（x-3）0，解得-2x3q：|x+1|2，解得x1或x-3命题“pq”为真， ，解得1x3则实数x的取值范围是1，3故答案为1，3【点睛】本题考查了不等式的解法、复合命题真假的判定及其应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题16.已知两定点，点在椭圆上，且满足，则=_.【答案】9【解析】【分析】设p(x，y)，可得p的轨迹方程为：（x1），联立椭圆与双曲线的方程可得，可得的值.【详解】解：设p(x，y)，由，可得点p的轨迹是以点a、b为焦点的双曲线的右支，且2a=2，c=2，b=，p的轨迹方程为：（x1），联立椭圆与双曲线的方程可得：，可得，=9,故答案：9.【点睛】本题考查用定义法求双曲线的标准方程，求双曲线的交点的坐标，以及两个向量的数量积公式的应用，是中档题.三、解答题 17.写出命题“若，则且”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假.【答案】见解析【解析】试题分析：原命题是“若则”，逆命题是“若 则”，否命题是“若则”，逆否命题是“若则”，互为逆否命题的命题是同真同假.试题解析：原命题是“若，则且”，它的逆命题是：若且，则，是真命题；否命题是：若，则或，是真命题；逆否命题是：若或，则，是真命题.18.设椭圆的焦点为，且该椭圆过点.（1）求椭圆的标准方程；（2）若椭圆上的点满足，求的值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】(1)由题意布列关于a，b的方程组，即可得到椭圆的标准方程；(2)由垂直关系得到又点在椭圆上，即可解得的值.【详解】(1)由题意得，且，解得，所以椭圆的标准方程为. （若用定义先解出也可，或用通径长解出基本量也可）（2）点满足，则有且，则 而点在椭圆上，则联立消去，得，所以.【点睛】本题考查待定系数法求椭圆的方程，椭圆的几何性质，以及数量积的代数运算，属于基础题.19.已知圆，一动圆与直线相切且与圆外切（1）求动圆圆心的轨迹的方程；（2）过作直线，交（1）中轨迹于两点，若中点的纵坐标为，求直线的方程【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用直接法，求动圆圆心p的轨迹t的方程；（2）法一：由（1）得抛物线e的焦点c（1，0）设a，b两点的坐标分别为a（x1，y1），b（x2，y2），利用点差法，求出线段ab中点的纵坐标，得到直线的斜率，求出直线方程法二：设直线l的方程为xmy+1，联立直线与抛物线方程，设a，b两点的坐标分别为a（x1，y1），b（x2，y2），通过韦达定理，求出m即可【详解】（1）设p（x，y），则由题意，|pc|（x），x+1，化简可得动圆圆心p的轨迹e的方程为y24x；（2）法一：由（1）得抛物线e方程为y24x，焦点c（1，0）设a，b两点的坐标分别为a（x1，y1），b（x2，y2），则两式相减整理得线段ab中点的纵坐标为1直线l的斜率直线l的方程为y02（x1）即2x+y20.法二：由（1）得抛物线e的方程为y24x，焦点c（1，0）设直线l的方程为xmy+1由消去x，得y24my40设a，b两点的坐标分别为a（x1，y1），b（x2，y2），线段ab中点的纵坐标为1解得直线l的方程为即2x+y20.【点睛】本题考查轨迹方程，考查直线与抛物线位置关系的运用，考查平方差法的应用，考查转化思想以及计算能力，难度较小20.如图，在三棱柱abc-a1b1c1中，aa1c1c是边长为4的正方形.平面abc平面aa1c1c， ab=3，bc=5.（1）求证：aa1平面abc；（2）求二面角a1-bc1-b1的余弦值；（3）求点c到平面的距离.【答案】（1）见解析；（2）；（3）.【解析】试题分析：（1）第（1）问，直接转化成平面abc平面aa1c1c. (2)利用空间向量法求二面角a1-bc1-b1的余弦值. (3)利用空间向量法求点c到平面的距离.试题解析：证明：（1）因为为正方形，所