陕西省汉中市龙岗学校2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题 理（含解析）

汉中市龙岗学校2021届高二上期末考试数学试题（理科）一.选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.已知集合 ， ，则 （ ） a. b. c. d. 【答案】d【解析】【分析】先化简集合b,再求得解.【详解】由题得,所以.故选：d【点睛】本题主要考查对数不等式的解法和集合的运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.2.抛物线的焦点坐标是( )a. b. c. d. 【答案】b【解析】【分析】先求出的值，再求抛物线的焦点坐标得解.【详解】由题得.所以抛物线的焦点坐标为.故选：b【点睛】本题主要考查抛物线的焦点坐标的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.3.已知向量若，则（ ）a. b. c. 2d. 【答案】a【解析】【分析】向量的坐标运算和向量的数量积求出的值,再根据向量的模计算即可本题考查了向量的坐标运算和向量的数量.【详解】解：由已知得即解得：故选a【点睛】本题考查了向量的坐标运算和向量的数量积的运算以及向量的模,属于基础题.4.已知，则=（ ）a. b. c. d. 【答案】d【解析】【分析】根据同角三角函数的基本关系，由，化为正切即可求解.【详解】,且，故选：d【点睛】本题主要考查了同角三角函数的基本关系，弦化切的思想，属于中档题.5.函数在区间上的大致图象为（ ）a. b. c. d. 【答案】b【解析】分析】根据题意，分析函数的奇偶性可得函数f（x）为偶函数，据此可以排除a、d；又由x0时，xsinx+lnx0，分析可得答案【详解】根据题意，f（x）xsinx+ln|x|，其定义域为x|x0，有f（x）（x）sin（x）+ln|（x）|xsinx+ln|x|f（x），即函数f（x）偶函数，在区间2，0）（0，2上关于y轴对称，排除a、d；又由x0时，xsinx+lnx0，排除c；故选b【点睛】本题考查函数图象的判断，考查函数的奇偶性，此类题目一般用排除法分析6.由曲线 ，围成的封闭图形的面积为（ ）a. b. c. d. 【答案】c【解析】围成的封闭图形的面积为，选c.【此处有视频，请去附件查看】7.已知是各项为正的等比数列的前项和，若，则( )a. 32b. 64c. 128d. 256【答案】c【解析】【分析】由已知结合等比数列的通项公式求得首项和公比，再代入等比数列的通项公式即可求解.【详解】在各项为正的等比数列中，即，又，解得，故选：c【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式，求和公式，属于中档题.8.函数的部分图象如图所示,若将图象向左平移个单位后得到图象,则的解析式为( )a. b. c. d. 【答案】c【解析】【分析】根据函数的图象求出函数的解析式，再根据图象的平移变换得到的解析式即可.【详解】由图象可知，a=2,又当时，即，故，将图象向左平移个单位后得到， ，故选：c【点睛】本题主要考查了正弦型函数的图象与性质，图象的变换，属于中档题.9.如图，半径为的圆内有四个半径相等的小圆，其圆心分别为，这四个小圆都与圆内切，且相邻两小圆外切，则在圆内任取一点，该点恰好取自阴影部分的概率为（ ）a. b. c. d. 【答案】a【解析】分析：由圆与圆的位置关系得到小圆半径与大圆半径的比值，利用几何概型的概率等于面积比，列式求解即可.详解：设小圆的半径为，根据四个小圆与大圆内切可得，四个小圆互相外切，可知四边形为正方形，.所以：，解得.大圆的面积为：，四个小圆的面积为.由几何概型的的概率公式可得：该点恰好取自阴影部分的概率为.故选a.点睛： (1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解(2)利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域（3）几何概型有两个特点：一是无限性，二是等可能性基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率10.汕头某家电企业要将刚刚生产的100台变频空调送往市内某商场，现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供调配，每辆甲型货车的运输费用是400元，可装空调20台，每辆乙型货车的运输费用是300元，可装空调10台，若每辆车至多运一次，则企业所花的最少运费为（ ）a. 2000元b. 2200元c. 2400元d. 2800元【答案】b【解析】【分析】设需甲、乙型货车各x、y辆，企业所花的费用为z元，由题意可得关于x，y的不等式组，并得到目标函数，由不等式组作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案【详解】设需甲、乙型货车各x、y辆，企业所花的费用为z元，由题意有，由约束条件作出可行域如图：化目标函数z=400x+300y为，由图可知当x=4,y=2时,z最小值为2200.故选b.【此处有视频，请去附件查看】11.已知离心率为的椭圆：的左、右焦点分别为，过点且斜率为1的直线与椭圆在第一象限内的交点为，则到直线，轴的距离之比为（ ）a. b. c. d. 【答案】a【解析】【分析】结合椭圆性质，得到a,b,c的关系，设，用x表示,结合余弦定理，用c表示x，结合三角形面积公式，即可【详解】结合，所以，设，对三角形运用余弦定理得到，代入，得到，即，运用三角形面积相等设到直线距离为d，则，代入，得到，所以到直线，轴的距离之比为【点睛】本道题考查了余弦定理和三角形面积计算公式，难度较大12.设函数是奇函数（）的导函数，当时，则使得成立的的取值范围是（ ）a. b. c. d. 【答案】a【解析】【详解】构造新函数,，当时.所以在上单减，又，即.所以可得,此时，又为奇函数，所以在上的解集为：.故选a.点睛：本题主要考查利用导数研究函数的单调性，需要构造函数，例如，想到构造.一般：（1）条件含有，就构造,（2）若，就构造，（3），就构造，（4）就构造，等便于给出导数时联想构造函数.二.填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.设曲线在x=1处的切线方程是，则_；【答案】 【解析】因为，所以由导数的几何意义及题设条件可得切线的斜率，解之得，应填答案 14.在abc中，a3，b2a，则cosa_【答案】【解析】【分析】由已知利用正弦定理，二倍角的正弦函数公式即可计算求值得解【详解】解：a3，b2a，由正弦定理可得：，cosa故答案为【点睛】本题主要考查了正弦定理，二倍角的正弦函数公式在解三角形中的应用，属于基础题15.在正三棱锥s-abc中，侧面sab、侧面sac、侧面sbc两两垂直，且侧棱，则正三棱锥外接球的表面积为_.【答案】【解析】试题分析：正三棱锥s-abc中侧棱，正三棱锥的外接球与以为临边的正方体的外接球是相同的，正方体边长为时，体对角线为6，球的半径为3，所以球的表面积为考点：三棱锥外接球点评：把握住三棱锥的特点将三棱锥外接球转化为正方体外接球16.若曲线与曲线有四个不同的交点,则实数的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】由知曲线c1表示以为圆心以1为半径的上半圆，表示两条直线与，问题转化为与半圆有两个不同于半圆端点的交点，利用特殊位置过端点、相切的情况求出对应的k,即可求解.【详解】由得，曲线c1表示以为圆心以1为半径的上半圆，显然直线与曲线c1有两个交点，交点为半圆的两个端点，直线与半圆有2个除端点外的交点，当直线经过点时，当直线与半圆相切时，解得或（舍去）所以时，直线与半圆有2个除端点外的交点，故答案为：【点睛】本题主要考查了圆的几何性质，直线的斜率，点到直线的距离，圆的切线，属于中档题.三.解答题（本大题共6小题，共70分）17.设函数.(1)当时,求函数的值域;(2)中,角的对边分别为,且,求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据，求出范围，由正弦函数的图象和性质求解即可（2）根据条件求出a的值，结合正弦定理以及两角和的正弦公式进行求解即可.【详解】（1），函数值域为，（2），即,由正弦定理得：，则，【点睛】本题主要考查了根据角的范围求正弦函数值域，正弦定理，两角和的正弦公式，属于中档题.18.已知数列是公差不为0的等差数列，且成等比数列.(1)求的通项公式;(2)若,求的前项和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据等差数列中成等比列出方程即可求解公差，写出通项公式（2）利用错位相减法能求出数列的前项和【详解】（1）数列是公差不为0的等差数列，且，成等比数列，解得，或（舍，（2），得，【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式的求法，等比中项，错位相减法求和，属于中档题19.某品牌新款夏装即将上市,为了对新款夏装进行合理定价,在该地区的三家连锁店各进行了两天试销售,得到如下数据:连锁店a店b店c店售价x（元）808682888490销量y（元）887885758266(1)分别以三家连锁店的平均售价与平均销量为散点,如a店对应的散点为，求出售价与销量的回归直线方程;(2)在大量投入市场后,销量与单价仍然服从(1)中的关系,且该夏装成本价为40元/件,为使该新夏装在销售上获得最大利润,该款夏装的单价应定为多少元?(保留整数)附:,.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求出三家连锁店的平均年售价和平均销量，根据回归系数公式计算回归系数，得出回归方程（2）设定价为，得出利润关于的函数，利用二次函数的性质确定出的最值【详解】（1）三家连锁店的平均售价和销售量分别为，售价与销量的回归直线方程为（2）设定价为元，则利润为当时，取得最大值，即利润最大【点睛】本题主要考查了线性回归方程的求解，二次函数的性质，属于中档题20.如图（1），等腰梯形，分别是的两个三等分点，若把等腰梯形沿虚线、折起，使得点和点重合，记为点， 如图（2）（1）求证：平面平面；（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值【答案】（1）详见解析；（2）.【解析】【分析】（1）推导出，从而面，由此能证明平面平面；（2）过点作于，过点作的平行线交于点，则面，以为原点，以，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面与平面所成锐二面角的余弦值【详解】（1）证明：四边形为等腰梯形，是 两个三等分点，四边形是正方形，且，面，又平面，平面平面；（2）过点作于点，过点作的平行线交于点，则面，以为坐标原点，以，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图所示：则，,，设平面的法向量，则，取，得，设平面的法向量，则，取，得：，设平面与平面所成锐二面角为，则平面与平面所成锐二面角的余弦值为【点睛】本题考查平面与平面垂直的判定以及二面角平面角的求法，属于常考题.21.已知函数（）求曲线在点处的切线方程；（）求函数在区间上的最大值和最小值【答案】()；（）最大值1；最小值.【解析】试题分析：（）根据导数的几何意义，先求斜率，再代入切线方程公式中即可；（）设，求，根据确定函数的单调性，根据单调性求函数的最大值为，从而可以知道恒成立，所以函数是单调递减函数，再根据单调性求最值.试题解析：（）因为，所以.又因为，所以曲线在点处的切线方程为.（）设，则.当时，所以在区间上单调递减.所以对任意有，即.所以函数在区间上单调递减.因此在区间上的最大值为，最小值为.【名师点睛】这道导数题并不难，比一般意义上的压轴题要简单很多，第二问比较有特点的是需要两次求导数，因为通过不能直接判断函数的单调性，所以需要再求一次导数，设，再求，一般这时就可求得函数的零点，或是()恒成立，这样就能知道函数的单调性，再根据单调性求其最值，从而判断的单调性，最后求得结果.22.已知椭圆c：（ab0），四点p1（1,1），p2（0,1），p3（1，），p4（1，）中恰有三点在椭圆c上.（）求c的方程；（）设直线l不经过p2点且与c相交于a，b两点.若直线p2a与直线p2b的斜率的和为1，证明：l过定点.【答案】(1) .(2)证明见解析.【解析】试题分析：（1）根据，两点关于y轴对称，由椭圆的对称性可知c经过，两点.另外由知，c不经过点p1，所以点p2在c上.因此在椭圆上，代入其标准方程，即可求出c的方程；（2）先设直线p2a与直线p2b的斜率分别为k1，k2，再设直线l的方程，当l与x轴垂直时，通过计算，不满足题意，再设l：（），将代入，写出判别式，利用根与系数的关系表示出x1+x2，x1x2，进而表示出，根据列出等式表示出和的关系，从而判断出直线恒过定点.试题解析：（1）由于，两点关于y轴对称，故由题设知c经过，两点.又由知，c不经过点p1，所以点p2在c上.因此，解得.故c的方程为.（2）设直线p2a与直线p2b的斜率分别为k1，k2，如果l与x轴垂直，设l：x=t，由题设知，且，可得a，b的坐标分别为（t，），