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文档简介
第一章导数及其应用1.7.1定积分在几何中的应用,1、定积分的几何意义:,x=a、x=b与x轴所围成的曲边梯形的面积。,=-S,当f(x)0时,由yf(x)、xa、xb与x轴所围成的曲边梯形位于x轴的下方,,一、复习引入,如果f(x)是区间a,b上的连续函数,且F(x)=f(x),那么:,2.微积分基本定理:,类型1:求由一条曲线y=f(x)和直线x=a,x=b(ab)及x轴所围成平面图形的面积S,1.几种典型的平面图形面积的计算:,二、新课讲解,类型2:由两条曲线y=f(x)和y=g(x),直线x=a,x=b(ab)所围成平面图形的面积S,例题讲解,分析:首先画出草图.从图中可以看出,所求图形的面积可以转化为两个曲边梯形面积的差,进而可以用定积分求面积s.为了确定出被积函数和积分的上、下限,我们需要求出两条曲线的交点的横坐标.,解:作出y2=x,y=x2的图象如图所示:,即两曲线的交点为(0,0),(1,1),(1)作出示意图;(弄清相对位置关系),(2)求交点坐标,确定图形范围(积分的上限,下限),(3),写出平面图形的定积分表达式;,2.求两曲线围成的平面图形的面积的一般步骤:,(4)运用微积分基本定理计算定积分,求出面积。,例2.计算由曲线直线y=x-4以及x轴围成图形的面积S.,解:作出y=x-4,的图象如图所示:,解方程组:,得:直线y=x-4与交点为(8,4)直线y=x-4与x轴的交点为(4,0),因此,所求图形的面积为一个曲边梯形与一三角形面积之差:,本题还有其他解法吗?,另解1:将所求平面图形的面积分割成左右两个部分。,还需要把函数y=x-4变形为x=y+4,函数变形为,另解2:将所求平面图形的面积看成位于y轴右边的一个梯形与一个曲边梯形的面积之差,因此取y为积分变量,,思考:将曲线沿x轴旋转,与直线相交于一点,求曲线与直线围成的面积。,解法1:,解法2:,思考:将取y为积分变量,把函数y=x-4变形为x=y+4,函数变形为,1.思想方法:,数形结合及转化.,2.求两曲线围成的平面图形的面积的一般步骤:,(1)作出示意图;(弄清相对位置关系),(2)求交点坐标,确定图形范围(积分的上限,下限),(3)写出平面图形的定积分表达式;,(4)运用微积分基本定理计算定积分,求出面积。,课堂小结,练习1.求抛物线y=x2-1,直线x=2,y=0所围成的图形的面积。,解:如图:由x2-1=0得到抛物线与x轴的交点坐标是(-1,0),(1,0).所求面积如
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