平面图形的性质

壹、基本名詞1.垂足：兩直線或線段互相垂直時，交點就是垂足。2.垂直：如果兩直線或線段相交成直角，就稱它們互相垂直。 (記法：LM讀作“L垂直於M)3.平行：兩直線間的垂直距離相等。 (1)平行線的性質 任何線段，如果垂直於平行線中的一條直線，必定垂直於平行線中的另一條直線。 兩平行線之間的距離處處相等。 平行線永不相交。LMNPQ(2)平行線角度的性質兩角互補，則它們角度和為180。 對頂角相等。 平行線被一截線所截之同位角相等。 平行線被一截線所截之內錯角相等。 平行線被一截線所截之同側內角互補。(3)畫平行線的作法：經過已知直線外一點，作一直線與平行。畫法一 (工具：直尺一把、三角板一塊。)作法： 作圖：(1)將一塊三角板平放，使它的斜邊與直線密合。 (2)將直尺的一邊緣與三角板的一股靠緊並用手按住直尺，使它不會移動。 (3)將三角板往上推，使它靠緊直尺邊緣移動，一直到三角板的斜邊和點密合為止。 (4)沿三角板的斜邊畫出一直線，則即為所求。畫法二(尺規作圖)作法： 作圖：(1)過點任意作一直線，與相交於點，設所成的一個角為。 (2)以為頂點，為一邊，作，使得。 (3)的延長線即為所求。延伸：等角作圖的應用。4.三角形的分類(1)以邊分類： 等邊三角形：三邊都等長的三角形，也叫做正三角形。每個正三角形也都是等腰三角形。 等腰三角形：有兩邊等長的三角形。其中等長的兩邊叫做腰，另一邊叫做底邊或底，與底邊相對的角叫做頂角，其餘的兩個角都叫做底角(兩底角相等)。 延伸：a.摺痕把頂角分成兩個等角。 b.摺痕和底邊形成90的交角。 c.摺痕把底邊分成等長的兩線段。 (2)以角分類：(0銳角90鈍角180)銳角三角形：三個角都是銳角的三角形。直角三角形：有一個角是直角的三角形。其中直角所對的邊叫做斜邊，其餘 兩邊叫做股。鈍角三角形：有一個角大於90的三角形。5.三角形邊角間的不等關係：(1)任意兩邊的差三角形的第三邊任意兩邊的和。(2)一個三角形中若有兩邊不相等，則大邊對大角。(3)一個三角形中若有兩角不相等，則大角對大邊。6.三角形角的名詞：(1)內角：三角形中兩邊所夾的角。(2)外角：三角形中一邊的延長線和另一邊所夾的角。(3)內對角：三角形中，與一外角頂點不同的內角稱為這個外角的內對角，一外角有兩個內對角。7.三角形外角與內角的定理：(1)三角形的外角和定理：三角形一組外角的和是360。(2)三角形的內角和定理：三角形三個內角的和是180。(3)三角形的外角定理：三角形的任一外角等於它的兩個內對角之和。8.對角線：四邊形中不相鄰的兩個頂點的連線。9.正方形：四邊都等長的長方形。 性質：(1)是長方形的一種。 (2)兩對角線相等且互相垂直平分。10.長方形：四個角都是直角的四邊形，也叫做矩形。長方形相對的兩邊都是等長。 性質：(1)相對的兩個邊都等長。 (2)兩對角線相等且互相平分。11.平行四邊形：有兩雙平行邊的四邊形。 性質：(1)兩雙對邊分別相等。 (2)兩雙對角分別相等。 (3)一條對角線把它分成兩個全等的三角形。12.梯形：一雙對邊平行，另一雙對邊不平行的四邊形。 要素：(1)底：梯形中平行的兩邊，叫做梯形的上底和下底。 (2)腰：梯形中不平行的兩邊，叫做梯形的兩腰。 (3)中線：梯形兩腰的中點所連成的線段，叫做梯形的中線。 (4)等腰梯形：兩腰相等的梯形叫做等腰梯形。性質：(1)兩個全等的梯形恰可拼成一個平行四邊形。 (2)梯形的中線平行於上、下底且等於上、下兩 底和的一半。13.菱形：四邊等長。(面積：) 性質：(1)兩對角線互相垂直平分。 (2)兩對角線平分其頂角。 (3)兩對角線將菱形分成4個全等的三角形。14.箏形：兩雙鄰邊分別等長。(面積：) 性質：(1)對角線互相垂直，其中一對角線被另一對角線平分。 (2)一對角線平分其頂角。15.多邊形外角與內角的定理： (1)多邊形的外角和定理：任意多邊形一組外角的和是360。 (2)四邊形的內角和定理：四邊形四個內角的和是360。16.對頂角：如右圖，兩直線相交所成的角中，的兩邊是兩邊的延長線，反過來看，的兩邊也是兩邊的延長線，就稱和 為對頂角。圖中的和也是對頂角。每一組對頂角都相等。17.補角：若兩角之和為一平角，也就是說，兩角度數之和為時，稱做兩角互補，而其中一角就稱做另一角的補角。觀念整理1.四邊形對角線性質的討論性質平行四邊形矩形正方形菱形鳶形等腰梯形互相平分互相相等互相垂直2.各種四邊形的因果關係四邊形等腰梯形菱形梯形平行四邊形有兩組對邊有一角是90正方形矩形鄰邊相等鄰邊相等僅一組對邊平行兩腰相等四邊相等有一角是90 3.各種四邊形的包含關係貳、活動觀察活動：觀察下表中蘊含的規律，找出n邊形內角和的公式： 表(一) 表(二)外邊形的形狀分成幾個小三角形內角和的算式外邊形的形狀各內角及一組外角的和一組外角的和內角和的算式11180318036031803602218041803604180360331805180360518036044180618036061803605518071803607180360n邊形n-2(n-2)180n邊形n180360n180360 表(三) 表(四)外邊形的形狀分成幾個小三角形內角和的算式外邊形的形狀分成幾個三角形一組外角的和內角和的算式3318036022180218018044180360331803180180551803604418041801806618036055180518018077180360661806180180n邊形nn180360n邊形n1(n-1)180(n-1)180180由表(一)可知：n邊形內角和(n2)180。由表(二)、(三)可知：n邊形內角和n180360。由表(四)可知：n邊形內角和(n1)180180。但(n2)180n1802180n180360(n1)180180n180180180n1803601.n邊形內角和公式如右：n邊形內角和(n2)180。2.正多邊形每一內角；正多邊形每一外角。3.過n邊形的一個固定頂點，可畫出(n-3)條對角線，並將原形分為(n-2)個三角形。4.n邊形對角線總數為條。自我評量?一、算算看 1.求角A？答案：18030150角A150275 2.求角A？答案：18040140，140270角A36060507040140 3.不用量角器，求出圖中（ ）裡的角度：答案：3608710560108 4.不用量角器，求出圖中（ ）裡的角度：答案：180（72）90090013597164157115125107 5.在沒有任何工具的情況下，求出圖中（）裡的角度：答案：180306090，答：90 6.在沒有任何工具的情況下，求出圖中（）裡的角度：答案：360909013050，答：50 7.在沒有任何工具的情況下，求出圖中（）裡的角度：答案：3605511070125，答：125 8.求出下列圖形的角度：答案：180507555，答：55 9.求出下列圖形的角度：答案：180903555，答：55 10.求出下列圖形的角度：答案：3606012060120，答：120 11.求出下列圖形的角度：答案：3601008080100，答：100 12.求出下列圖形的角度：答案：360140508090答：90 13.不使用量角器，算出正確的角度：答案：1802360，957075240，360240120 14.在（）裡填入正確的答案：答案：1008882270，36027090 15.在（）裡填入正確的答案：答案：909078258，360258102 16.在（）裡填入正確的答案：答案：505013060290，36029070 17.在（）裡填入正確的答案：答案：10298105110415，1803540，540415125 18.在沒有任何工具的情況下，求出圖中（）裡的角度：答案：180424296，答：96 19.求出下列圖形的角度：答案：1801152540，答：40 20.求出下列圖形的角度：答案：18060260，答：60 答案：（18090）245，答：45 22.不使用量角器，算出正確的角度：答案：1803540，11511013095450，54045090 23.在（）裡填入正確的答案：答案：52881201139034497，1803540，5404974324. 一個等腰三角形，其中一個內角是90度，那麼另外二個內角各是幾度？答案：1809090，90245答：45度，45度25. 正五邊形的內角和是幾度？每個角是幾度？答案：1803540，5405108答：540度，108度26. 六邊形的內角和是幾度？答案：1804720，答：720度 27.下圖是由2個三角形組成的梯形，求出： 角A的度數。 角B的度數。答案：360609090120角B1206060角A180906030二、畫畫看 1.畫出下列線段的平行線：答案： 2.請畫出一條和虛線垂直的線、及一條和虛線平行的線：答案：3. 畫出通過A點且和直線BC垂直的線。答案： 4.請利用三角板畫二條同時和黑色實線垂直的線，且這二條畫出來的線要互相平行：答案： 5.利用三角板畫出垂直於黑色實線的直線：答案： 6.在下圖中畫出1條和虛線平行並且和實線垂直的直線：答案：7. 用筆畫2條同時與下列線段垂直的線，且畫出來的這2條線要互相平行：答案：8. 利用三角板畫出和直線A垂直的線：答案：9. 畫1個長方形：答案：10. 畫1個梯形：答案：三、做做看 1. 上圖中的虛線可將圖形分成兩個（）形。 角是（）度，角是（）度。 拿掉虛線，兩個圖形可以組成（）形。 是否有和黑色虛線互相垂直的邊？（）有的話是幾條？（）條 此四邊形的內角和是（）度。答案： 三角； 30，90； 梯； 有，1； 360 2.看圖回答問題甲組吸管可以排成（ ）形和（ ）形。（ ）組吸管可以排成梯形。丙組吸管可以排成（ ）形、（ ）形和（ ）形。答案：菱、正方，乙，長方、平行四邊形、箏 3.看圖回答下列問題： 在甲圖中，（）線的垂直線是B線。 在乙圖中，（）線和（）線互相平行；垂直於A線的是（）線。 在上列各圖中，哪個圖形有2對平行線？（）圖 在丁圖中，B線與C線是否平行？（） 在丁圖中，和D線互相平行的是（）線。答案： C， A、D、C， 丁， 否， C答案：不會，3組，720、120 4.請利用三角板或量角器檢查，並回答下列問題： 在甲圖中，直線（）和直線（）互相垂直。 在乙圖中，直線（）和直線（）互相垂直。 在丙圖中，直線DE的延長線