高等数学微积分第4章 第1节 中值定理.ppt

第四章中值定理与导数应用,第四章中值定理与导数应用,第一节中值定理第二节未定式的定值法罗必塔法则第三节函数的增减性判别法第四节函数的极值与最值第五节曲线的凹凸性、拐点与渐近线第六节函数图形的讨论,1.理解罗尔定理和拉格朗日中值定理,掌握这两个定理的简单应用;,2.会用洛必塔法则求极限;,3.掌握函数单调性的判别方法及其应用,4.掌握函数极值、最大值和最小值的求法,会求解较简单的应用题;,6.会描绘简单函数的图形.,5.会用导数判断函数图形的凹凸性,会求函数图形的拐点及渐进线,本,章,基,本,要,求,本章重点、难点,重点：导数的应用、带等式的证明.,难点：带等式的证明.,第一节中值定理,(罗尔中值定理),设函数,满足下面条件:,在闭区间,在开区间,在区间两个端点处的函数值,上连续;,内可导;,相等,即,则至少存在一点,使得,定理4.1,证,因,在,上连续,故,在,上一定有最大值,和最小值,则,从而,所以对于,内任一点都可取作,故命题成立.,则在,内至少存在一点,使得,下证,故,几何意义,注,三个条件缺一不可.,。,(1),(4),(3),(2),例1,验证函数,在区间,上满足罗尔定理全部条件,并求,解,在闭区间,在开区间,在区间两个端点处的函数值相等,上连续,内可导,故至少存在一点,使得,即,故,题型一验证罗尔定理成立,(?),(?),(?),判断连续性,二.分段函数,分界点用定义判断,一.初等函数,判断可导性,(1)导数的性质,(2)导函数有定义,二.分段函数,分界点用定义判断,一.初等函数,有定义区间上连续,例2,证明方程,至多有一个实根,其中,为任意常数.,证,假设方程至少有两个不同的实根,显然,在,上满足罗尔定理条件,因此至少存在一点,使得,设,即,矛盾,故命题成立.,题型二判断方程的根,例3,不求导数,判断函数,的导函数有几个实根,以及所在的范围.,解,在,满足罗尔定理条件,因此至少存在,使得,又,为三次函数,则,为二次函数,故,在,和,内各有一个实根.,有且仅有两个实根,题型三证明带,的等式,例4,设,在,在,上连续,内可导,则在,内至少存在一点,使得,证,设,显然,在,上满足罗尔定理条件,因此至少存在一点,使得,即,故,例5,设,在,在,上连续,内可导,且,试证:,在,存在一点,使得,证,设,显然,在,上满足罗尔定理条件,因此至少存在一点,使得,即,内至少,故,(拉格朗日中值定理),设函数,满足下面条件:,在闭区间,在开区间,上连续;,内可导,则至少存在一点,使得,证,设,显然,在,上满足罗尔定理条件,因此至少存在一点,使得,即,定理4.2,从而原式成立.,几何意义,等价形式,定理形式,分析课本中辅助函数的令法.,令,直线AB,曲线AB,思路:,切线,直线AB,切线斜率=直线斜率,切线斜率=直线的切线斜率,故选,推论1,如果函数,在区间,内任一点,的导数,都等于零,则函数,在,内,是一个常数.,证,任取,在,上满足拉格朗日定理条件,因此至少存在一点,使得,所以,故命题成立.,推论2,如果函数,在区间,都相等,则,在,内至多相差一个常数.,内,任一点的导数,与,证,因,所以,即,由推论1知,故命题成立.,题型一验证拉格朗日定理成立,题型二证明不等式,例5,证明不等式,证,时,不等式显然成立.,时,在,上满足拉格朗日条件,因此至少存在一点,使得,故,例6,试证,证,不妨设,在,上满足拉格朗日定理,所以,至少存在一个,使得,即,故,同理可证,题型三证明带,的等式,例7,设,在,在,上连续,内可导,则在,内至少存在一点,使得,证,设,显然,满足拉格朗日定理条件,因此至少存在一点,使得,从而原式成立.,例8,试证明,证,因,题型四证常数,所以,且,在,上连续,则,令,得,题型一验证拉格朗日定理成立,题型二证明不等式,题型四证常数,题型三证明带,的等式,题型一验证罗尔定理成立,题型二判断方程的根,题型三证明带,的等式,罗尔定理,总结,拉格朗日定理,(柯西中值定理),设函数,满足下面条件:,在闭区间,在开区间,上连续;,内可导;,当,时,则至少存在一点,使得,定理4.3,误证,用拉格朗日定理,相除即可.,证明,设,显然,在,上满足罗尔定理条件,因此至少存在一点,使得,即,亦,证明,设,显然,在,上满足罗尔定理条件,因此至少存在一点,使得,即,亦,证明,设,显然,在,上满足罗尔定理条件,因此至少存在一点,使得,即,从而,辅助函数:,题型二证明带,的等式,题型一验证柯西定理成立,题型三双介值问题,例9,设,在,上可导,且,试证:,在,内至少存在一点,使得,证明,设,则,在,上满足柯西定理条件,因此至少存在一点,使得,从而原式成立.,双介值问题,例10,设,在,在,上连续,内可导,试证,存在,使得,且,证,用拉格朗日定理,和,用柯西定理,相除即可.,双介值问题处理思路:,(1),将,和,分开,(2),涉及一个函数导数用拉格朗日定理,涉及两个函数导数的商用柯西定理,(3),拉+拉,柯+柯,柯+拉,题型二证明带,的等式,题型一验证柯西定理成立,题型三双介值问题,题型一验证拉格朗日定理成立,题型二证明不等式,题