甘肃省兰州第一中学2020学年高二数学上学期期末考试试题 理

甘肃省兰州第一中学2020学年高二数学上学期期末考试试题 理说明：本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.答案写在答题卡上，交卷时只交答题卡.第卷（选择题）一、选择题（本大题共12 小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂在答题卡上.）1下列命题中,正确命题的个数为()“全等三角形的面积相等”的逆命题；“若ab0，则a0”的否命题；“正三角形的三个角均为60”的逆否命题A0 B1 C2 D32命题“且的否定形式是()A且 B或C且 D或3抛物线y4x2的焦点到准线的距离为()A2 B1 C D4已知命题，.若命题是假命题，则实数的取值范围是( )A B C D5若，则方程表示焦点在轴上的双曲线的充要条件是()A BC或 D6若椭圆的中心在原点，一个焦点为(0，2)，直线y3x7与椭圆相交所得弦的中点的纵坐标为1，则这个椭圆的方程为()A1 B1C1 D172x25x30的一个必要不充分条件是（ ）Ax3 Bx0 C3xD1x68双曲线C的渐近线方程为yx，一个焦点为F(0，)，点A(，0)，点P为双曲线第一象限内的点，则当点P的位置变化时，PAF周长的最小值为()A8 B10 C43 D339在棱长为1的正四面体ABCD中，E, F分别是 BC, AD的中点，则=()A0 B C D10不等式的解集记为，关于的不等式的解集记为，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是()A B.C D11已知直线的斜率为，它与抛物线相交于A，B两点，为抛物线的焦点， 若 ,则() A B C D12已知点F为双曲线E：1(a0，b0)的右焦点，直线ykx(k0)与E交于不同象限内的M，N两点，若MFNF，设MNF，且，则该双曲线的离心率的取值范围是()A， B2，1C2， D，1第卷（非选择题）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分,将答案写在答题卡上.）13已知a(1,2，-y)，b(x,1,2)，且(a2b)(2a-b)，则x+y= 14 若点O和点F分别为椭圆1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任一点，则的最小值为_15我国古代数学著作九章算术有如下问题：“今有人持金出五关，前关二而税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一.并五关所税，适重一斤.问本持金几何？”其意思为“今有人持金出五关，第1关收税金，第2关收税金为剩余的，第3关收税金为剩余的，第4关收税金为剩余的，第5关收税金为剩余的，5关所收税金之和，恰好重1斤，问原来持金多少？”若将“5关所收税金之和，恰好重1斤，问原来持金多少？”改成“假设这个人原本持金为x，按此规律通过第8关”，则第8关所收税金为_x16过双曲线（，）的右焦点作渐近线的垂线，设垂足为（为第一象限的点），延长交抛物线（）于点，其中该双曲线与抛物线有一个共同的焦点，若，则双曲线的离心率的平方为 三、解答题（本大题共6 小题，共70分）17（本小题满分10分）已知命题p： 函数y=x2+mx+1在(-1，+）上单调递增，命题q： 对函数y=-4x2+4(2- m)x-1， y0恒成立若pq为真，pq为假，求m的取值范围18（本小题满分12分）如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分别是AB，BB1 的中点，AA1ACCBAB =2(1)求证：BC1平面A1CD；(2)求二面角DA1CE的正弦值19（本小题满分12分）已知抛物线C：y22px(p0)过点A(1，2)(1)求抛物线C的方程，并求其准线方程；(2)若平行于OA(O为坐标原点)的直线l与抛物线C相交于M、N两点，且|MN|=3，求DAMN的面积20（本小题满分12分）如图，在三棱锥PABC中，ABBC2，PAPBPCAC4，O为AC的中点.(1)证明：PO平面ABC；(2)若点M在棱BC上，且二面角MPAC为30，求PC与平面PAM所成角的余弦值21（本小题满分12分）已知椭圆C1的方程为y21，双曲线C2的左、右焦点分别是C1的左、右顶点，而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点(1)求双曲线C2的方程；(2)若直线l：ykx与双曲线C2恒有两个不同的交点A和B，且2(其中O为原点)，求k的取值范围22（本小题满分12分）已知椭圆C：1(ab0)的两个焦点分别为F1(，0)，F2(，0)，点M(1，0)与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直(1)求椭圆C的方程；(2)过点M(1，0)的直线l与椭圆C相交于A，B两点，设点N(3，2)，记直线AN，BN的斜率分别为k1，k2，求证：k1k2为定值兰州一中2020-1学期期末考试试题高二数学（理）命题人: 审题人：说明：本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.答案写在答题卡上，交卷时只交答题卡.第卷（选择题）一、选择题（本大题共12 小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂在答题卡上.）1下列命题中,正确命题的个数为()“全等三角形的面积相等”的逆命题；“若ab0，则a0”的否命题；“正三角形的三个角均为60”的逆否命题A0 B1 C2 D3答案C2命题“且的否定形式是()A且 B或C且 D或答案B3抛物线y4x2的焦点到准线的距离为()A2 B1 C D解析由y4x2得x2y，所以2p，p，则抛物线的焦点到准线的距离为.答案D4已知命题，.若命题是假命题，则实数的取值范围是( )A B C D答案A5若，则方程表示焦点在轴上的双曲线的充要条件是()A BC或 D答案A6若椭圆的中心在原点，一个焦点为(0，2)，直线y3x7与椭圆相交所得弦的中点的纵坐标为1，则这个椭圆的方程为()A1 B1C1 D1答案B72x25x30的一个必要不充分条件是（ ）Ax3 Bx0 C3xD1x6答案D8双曲线C的渐近线方程为yx，一个焦点为F(0，)，点A(，0)，点P为双曲线第一象限内的点，则当点P的位置变化时，PAF周长的最小值为()A8 B10 C43 D33答案B9在棱长为1的正四面体ABCD中，E, F分别是 BC, AD的中点，则=()A0 B C D答案D10不等式的解集记为，关于的不等式的解集记为，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是()A B.C D答案A11已知直线的斜率为，它与抛物线相交于A，B两点，为抛物线的焦点， 若 ,则() A B C D答案C12已知点F为双曲线E：1(a0，b0)的右焦点，直线ykx(k0)与E交于不同象限内的M，N两点，若MFNF，设MNF，且，则该双曲线的离心率的取值范围是()A， B2，1C2， D，1答案D第卷（非选择题）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分,将答案写在答题卡上.）13已知a(1,2，-y)，b(x,1,2)，且(a2b)(2a-b)，则x+y= 答案-14 若点O和点F分别为椭圆1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任一点，则的最小值为_答案615我国古代数学著作九章算术有如下问题：“今有人持金出五关，前关二而税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一.并五关所税，适重一斤.问本持金几何？”其意思为“今有人持金出五关，第1关收税金，第2关收税金为剩余的，第3关收税金为剩余的，第4关收税金为剩余的，第5关收税金为剩余的，5关所收税金之和，恰好重1斤，问原来持金多少？”若将“5关所收税金之和，恰好重1斤，问原来持金多少？”改成“假设这个人原本持金为x，按此规律通过第8关”，则第8关所收税金为_x答案16过双曲线（，）的右焦点作渐近线的垂线，设垂足为（为第一象限的点），延长交抛物线（）于点，其中该双曲线与抛物线有一个共同的焦点，若，则双曲线的离心率的平方为 答案 三、解答题（本大题共6 小题，共70分）17（本小题满分10分）已知命题p： 函数y=x2+mx+1在(-1，+）上单调递增，命题q： 对函数y=-4x2+4(2- m)x-1， y0恒成立若pq为真，pq为假，求m的取值范围解：若函数y=x2+mx+1在（-1，+）上单调递增，则-2，m2，即p：m2 2分若函数y=-4x2+4（2- m）x-10恒成立，则=16（m-2）2-160，解得1m3，即q：1m35分pq为真，pq为假，p、q一真一假当p真q假时，由 解得：m3 7分当p假q真时，由 解得：1m3或1m0)过点A(1，2)(1)求抛物线C的方程，并求其准线方程；(2)若平行于OA(O为坐标原点)的直线l与抛物线C相交于M、N两点，且|MN|=3，求DAMN的面积解：(1)将(1，2)代入y22px，得(2)22p1，所以p2.故抛物线方程为y24x，准线为x-1. 4分(2)设直线l的方程为y2xt，由得y22y2t0.y1+y2=-2, y1y2=-2t, 6分直线l与抛物线C有公共点，48t0，解得t.由|MN|=3得t=4， 10分又A到直线l的距离为d= 11分DAMN的面积为S=|MN|d=6. 12分20（本小题满分12分）如图，在三棱锥PABC中，ABBC2，PAPBPCAC4，O为AC的中点.(1)证明：PO平面ABC；(2)若点M在棱BC上，且二面角MPAC为30，求PC与平面PAM所成角的正弦值(1)证明因为APCPAC4，O为AC的中点，所以OPAC，且OP2.连接OB，因为ABBCAC，所以AB2BC2AC2，所以ABC为等腰直角三角形，且OBAC，OBAC2.由OP2OB2PB2知POOB.由OPOB，OPAC且OBACO，知PO平面ABC. .6分(2)解如图，以O为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立空间直角坐标系Oxyz.由已知得O(0，0，0)，B(2，0，0)，A(0，2，0)，C(0，2，0)，P(0，0，2)，(0，2，2).取平面PAC的一个法向量(2，0，0).设M(a，2a，0)(0a2)，则(0，4a，0).设平面PAM的法向量为n(x，y，z).由n0，n0得可取n(a4)，a，a)，所以cos，n.由已知可得|cos，n|，所以，解得a4(舍去)，a，所以n.又(0，2，2)，所以cos，n.所以PC与平面PAM所成角的正弦值为.12分21（本小题满分12分）已知椭圆C1的方程为y21，双曲线C2的左、右焦点分别是C1的左、右顶点，而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点(1)求双曲线C2的方程；(2)若直线l：ykx与双曲线C2恒有两个不同的交点A和B，且2(其中O为原点)，求k的取值范围解(1)设双曲线C2的方程为1(a0，b0)，则a23，c24，再由a2b2c2，得b21.故C2的方程为y21. .4分(2)将ykx代入y21，得(13k2)x26kx90.由直线l与双曲线C2交于不同的两点，得k2且k21.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2.x1x2y1y2x1x2(kx1)(kx2)(k21)x1x2k(x1x2)2.又2，得x1x2y1y22，2，即0，解得k23.由得k21，故k的取值范围为.12分22（本小题满分12分）已知椭圆C：1(ab0)的两个焦点分别为F1(，0)，F2(，0)，点M(1，0)与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直(1)求椭圆C的方程；(2)过点M(1，0)的直线l与椭圆C相交于A，B两点，设点N(3，2)，记直线AN，BN的斜率分别为k1，k2，求证：k1k2为定值(1)解依题意，得c，所以a2b