2011年华约自招——数学

2011 年华约自招数学2011 年华约自招数学 即 2011 年高水平大学自主选拔学业能力测试 一、选择题一、选择题 1 设复数满足且则（）z1z 15 2 z z z ABCD 4 5 3 4 2 3 1 2 2 在正四棱锥中，分别为的中点，且侧面与底面所成二面PABCDMN、PAPB、 角的正切为则异面直线与所成角的余弦为（）2DMAN ABCD 1 3 1 6 1 8 1 12 3 过点（-1,1）的直线 与曲线相切，点（-1,1）不是切点，则直l 32 21yxxx 线 的斜率是（）l A2B1C-1D-2 4 若则的最小值和最大值分别为（） 2 3 AB、 22 coscosAB ABCD 33 1 22 、 13 22 、 33 11 22 、 12 1 22 、 5 如图，和外切于点又都和内切，切点分别为设 1 OA 2 OA 2 COA，OAAB、 则（）AOBACB、 ABcossin0 2 sincos0 2 CDsin2sin0sin2sin0 6 已知异面直线成角为空间一点则过与都成角的平面（ab、60AAab、45 ） 有且只有一个有且只有两个有且只有三个有且只有ABCD 四个 7 已知向量则 3131 011 1 2222 abcxaybzc 、 的最小值为（） 222 xyz A1BCD 4 3 3 2 2 8为过抛物线焦点的弦，为坐标原点，且为抛AB 2 4yxFO135OFA、C 物线准线与轴的交点，则的正切值为（）xACB ABCD2 2 4 2 5 4 2 3 2 2 3 O 1 O 2 O A B C 9 如图，已知的面积为 2，分别为边边上的点，为线段ABCDE、AB、ACF D 上一点，设且则面积的DE ADAEDF xyz ABACDE 、1yzx 、BDF 最大值为（） AB 8 27 10 27 CD 14 27 16 27 10将一个正 11 边形用对角线划分为 9 个三角形，这些对角线在正 11 边形内两两不 相交，则（） A存在某种分法，所分出的三角形都不是锐角三角形 B存在某种分法，所分出的三角形恰有两个锐角三角形 C存在某种分法，所分出的三有形至少有 3 个锐角三角形 D任何一种分法所分出的三角形都恰有 1 个锐角三角形 二、解答题二、解答题 11已知不是直角三角形ABC 1证明：； tantantantantantanABCABC 2若且的倒数成 tantan 3tan1 tan BC C A 、sin2sin2sin2sin2ABBC、 等差数列，求值cos 2 AC 12已知圆柱形水杯质量为克，其重心在圆柱轴的中点处（杯底厚度及重量忽略不a 计，且水杯直立放置） 质量为克的水恰好装满水杯，装满水后的水杯的重心还b 有圆柱轴的中点处 1求装入半杯水的水杯的重心到水杯底面的距离与水杯高的比值；3ba、 2水杯内装多少克水可以使装入水后的水杯的重心最低？为什么？ 13已知函数令 212 11 23 x f xff axb 、 11 1 2 nn xxf x 、 1数列的通项公式； n x 2证明 121 1 2 n x xx e 14已知双曲线分别为的左右焦点为右 22 12 22 :100 xy CabFF ab 、CPC A B C D E F 支上一点，且使又的面积为 12 3 FPF、 12 FPF 2 3 3a 1 求的离心率； Ce 2设为的左顶点，为第一象限内C 上A C Q C 的任意一点，问是否存在常数使得0 、 恒成立若存在，求出的 22 QF AQAF 值；若不存在，请说明理由 15将一枚均匀的硬币连续抛掷次，以表示未出现连续 3 次正面的概率n n p 1； 1