第七章微积分课件.ppt

1,平面点集和区域,多元函数的极限,多元函数连续的概念,极限运算,多元连续函数的性质,多元函数概念,一、主要内容,2,全微分的应用,高阶偏导数,隐函数求导法则,复合函数求导法则,多元函数求极值,全微分概念,偏导数概念,二重积分,概念性质,计算,直角坐标系下,极坐标系下,3,定义设有三个变量x，y，z，如果对于变量x，y的变化范围D内所取的每一对值，变量z都按照一定的规则，有一个确定的值与之对应，则称z为x，y的二元函数，记作z=f(x,y)或z=z(x,y)，其中x，y称为自变量，z称为函数(或因变量).自变量x，y的变化范围D称为函数的定义域.,多元函数的概念,类似地可定义三元及三元以上函数,4,定义设函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)的某一去心邻域内有定义，如果动点P(x,y)在该邻域内以任意路径趋于定点P0(x0,y0)时，函数的对应值f(x,y)趋于一个确定数A，则称A为函数z=f(x,y)，当时的极限，记作,或,二元函数的极限,5,说明：,（1）定义中的方式是任意的；,（2）二元函数的极限也叫二重极限,（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似,6,二元函数的连续性,定义,等价定义,间断点.,7,偏导数的定义及其计算法,函数对x的偏增量,8,9,注意:1.,2.若二元函数f(x,y)在某点关于x关于y的偏导数都存在，则称此函数在这一点可导，否则称不可导.,10,11,由偏导数的定义可知，偏导数本质上是一元函数的微分法问题。,只要把x之外的其他自变量暂时看成,常量，对x求导数即可。,只要把y之外的其他自变量暂时看成,常量，对y求导数即可。,其它情况类似。,12,高阶偏导数,设z=f(x,y)在域D内存在连续的偏导数,若这两个偏导数仍存在偏导数，,则称它们是z=f(x,y),的二阶偏导数.,按求导顺序不同,有下列四个二阶偏导,数:,13,混合偏导,纯偏导,14,全微分概念,15,多元函数连续、可导、可微的关系,16,全微分的应用,主要方面:近似计算与误差估计.,17,一、全导数（复合函数中间变量是一元的情形）,定理.若函数,处偏导连续,在点t可导,则复合函数,证略.,且有链式法则,18,推广:,中间变量多于两个的情形.例如,设下面所涉及的函数都可微.,19,二、二元复合函数求偏导（复合函数的中间变量均为多元函数的情形.）,证略.,20,21,多元抽象复合函数求导在偏微分方程变形与验证解的问题中经常遇到,下列几个例题有助于掌握这方面问题的求导技巧与常用导数符号.,三、抽象函数求偏导数,22,定义,隐函数的显化,如果二元隐函数不易显化或不能显化时，方程两边也可以直接求导，求导的过程中把z视为x、y的二元函数z=f(x,y).,二元隐函数求偏导,23,注：,24,多元函数的极值,定义,25,多元函数取得极值的条件,定义一阶偏导数同时为零的点，均称为多元函数的驻点.,极值点,注意,驻点,26,27,28,二元函数的最值,29,条件极值：对自变量有附加条件的极值,30,定义7.8,二重积分,31,对二重积分定义的说明：,由于二重积分的值与区域的分法和小区域上点的取法无关,故可采用一种便于计算的划分方式,在直角坐标系下,通常用平行于坐标轴的直线族把D分成一些小区域.,32,对二重积分定义的说明：,故二重积分可写为：,33,二、二重积分的性质,下面假定f(x,y),g(x,y)在闭区域D上连续,A为D的面积.,性质1线性性质,性质2区域可加性,（与定积分的性质类似）,34,这里A为D的面积.,性质3,性质4,性质5估值性质,35,性质6(二重积分的中值定理),证,由性质5知,得证.,36,先x后y,先y后x,注：交换积分次序并不是dx和dy的简单对调，实质是积分区域的转换.,交换积分次序,三、二重积分的计算,1.直角坐标系下二重积分的计算,37,例,解,所以,例题,例,解,38,例,解,小,39,例,C,解,所以,例,解,40,例,A,(A)不连续，偏导数存在(B)连续，偏导数存在(C)连续，偏导数不存在(D)不连续，偏导数不存在,其值随k的不同而变化，极限不存在,故不