福建省莆田市2020学年高二下学期期中考试试题 理 新人教A版

莆田二中莆田二中 20202020 学年高二数学第七学段考试卷（理科）学年高二数学第七学段考试卷（理科） 考试时间：120 分钟 满分 150 分 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。在每小题所给出的四 个备选项中，只有一项是符合题目要求的。 ） 1、复数 2 1 i i （i 为虚数单位）等于（ ） A1 Bi C2i D22i 2、因为指数函数 x ya是增函数（大前提） ，而 1 ( ) 3 x y 是指数函数（小前提） ， 所以 1 ( ) 3 x y 是增函数（结论）上面推理的错误是（ ） A大前提错导致结论错 B小前提错导致结论错 C推理形式错导致结论错 D大前提和小前提错都导致结论错 3、用反证法证明命题 “三角形的内角中至少有一个不大于 60”时假设正确 的是（ ） A假设三内角都不大于 60 B假设三内角至少有一个大于 60 C假设三内角都大于 60 D假设三内角至多有两个大于 60 4、由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则： mnnm类比得到“a bb a AA ” ()mn tmtnt类比得到“()ab ca cb c AAA” 0,tmtxtmx类比得到“0,pa px pax AA ” m nm nA类比得到“a ba b AA” 以上的式子中类比得到的结论正确的个数是（ ） A1 B2 C3 D4 5、将 4 名新来的同学分配到 A、B、C 三个班级中，每个班级至少安排 1 名学生， 其中甲同学不能分配到 A 班，那么不同的分配方案有 ( ) A18 种 B24 种 C54 种 D60 种 6、若 1 (3)nx x 展开式中各项系数和为 1024，则展开式中含 x 的整数次幂的项 共有（ ） A6 项 B5 项 C3 项 D2 项 7、已知函数 32 ( )f xaxbxc其导数( )fx的图象 如图所示，则函数( )f x 的极小值是（ ） Aabc B34abc C32ab Dc 8、甲罐中有 5 个红球，2 个白球和 3 个黑球，乙罐中有 4 个红球、3 个白球和 3 个黑球，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别记 A1、A2和 A3为由甲 罐取出的球是红球，白球和黑球的事件，再从乙罐中随机取出一球，以 B 表示由乙罐取出的球是红球的事件。 则 2 ( ) 5 P B 1 5 (|) 11 P B A 事件 B 与事件 A1相互独立 A1、A2、A3是两两互斥事件。以上结论中正确的是（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 9、若( )yf x的图象如图所示，定义 0 ( )( ),0,1, x F xf t dtx 则下列对( )F x 的性质描述正确的有（ ） ( )0,1F x 是上的增函数 ( )( )F xf x ( )0,1F x 是上的减函数 00 0,1(1)()xFf x使得 A （2） B （1） （2） C （1） （2） （4） D （2） （3） （4） 10、若函数( )yf x图象上存在三点 A、B、C，使 ABBC ，则称此函数有“中 位点” ，下列函数cosyx 1yx 3 sin2yxx 2 cosyxx中，有“中位点”的函数是（ ） y O1 x y O1 2 x A B C D 二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分。把答案填在答题卡相应 位置上） 11、设zz为复数的共轭复数，若复数1(zi i 为虚数单位） ，则z zzA 。 12、 1 0 (2) x xe dx 。 13、在 5 2 () 2 x x 的展开式中 1 x 的系数等于 。 14、用数学归纳法证明不等式 11113 1224nnnn A A A的过程中，由nk推 导1nk时不等式的左边增加的式子是 。 15、设 S 为复数集 C 的非空子集，若对任意xyS、，都是,xy xy xyS， 则称 S 为封闭集，下列命题 集合|Sabi abi、为整数，为虚数单位为封闭集 若S为封闭集则一定有0s 封闭集一定是无限集 若 S 为封闭集，则满足STC的任意集合 T 也是封闭集，其中真命题 是 （写出所有真命题的序号） 三、解答题（本大题共 6 小题，共 80 分。解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤） 16、 （本小题满分 13 分） 甲、乙两人射击气球的命中率分别为 0.7、0.4，如果每人射击 2 次， 求甲击中 1 个气球且乙击中 2 个气球的概率。 求甲、乙两人击中气球的个数相等的概率。 17、 （本小题满分 13 分） 数列 * 2() nnn aSna nN满足 计算 1234 , n a a aaa并由此猜想通项公式 用数学归纳法证明（1）中的猜想。 18、 （本小题满分 13 分） 已知函数 32 ( )3f xxaxx 若( )1,)f x在区间上是增函数，求实数 a 的取值范围。 若 1 ( ) 3 xf x 是的极值点，求( )1, f xa在上的最大值。 在（2）的条件下，是否存在实数 b，使得函数( )g xbx的图象与函数 ( )f x 的图象恰有 3 个交点，若存在，请求出实数 b 的取值范围，若不存在，试 说明理由。 19、 （本小题满分 13 分） 已知 2 11 m ab 2 ab n 分别就 11 12 aa bb 和判断 m 与 n 的大小关系，并由此猜想对于任意的 ,abRmn 、 与的大小关系及取得等号的条件。 类比第（1）小题的猜想，得出关于任意的abcR、相应的猜想并证 明这个猜想。 20、 （本小题满分 14 分） 甲方是一农场，乙方是一工厂，由于乙方生产需占用甲方的资源，因此， 甲方有权向乙方索赔以弥补经济损失并获得一定净收入。在乙方不赔付甲方的 情况下，乙方的年利润 x（元）与年产量 t（吨）满足函数关系2000 xt，若 乙方每生产一吨产品必须赔付甲方 S 元（以下称 S 为赔付价格） 。 实施赔付方案后，试将乙方的年利润 W（元）表示为年产量 t（吨）的函 数，并求出乙方获得最大利润的年产量（赔付后实际年利润赔付前的年利润 赔付款总额） 甲方每年受乙方生产影响的经济损失金额 2 0.002yt（元） ，在乙方按照 获得最大利润的产量进行生产的前提下，甲方要在索赔中获得最大净收入，应 向乙方要求的赔付价格 S 是多少？（净收入赔付款总额经济损失金额） 21、 （本小题满分 14 分） 已知函数 22 ( )(0)1 xc f xcx x 在处取得极值。 求函数( )f x 的解析式 过函数( )f x 图象上的任意点 P，作两条直线分别平行于直线0 xyx和。 求证：这四条直线所围成的平行四边形的面积为定值。 对于一般情形下的函数 2 ( )(0) axb g xab x 、请给出类似于（II）的正 确命题，并予以证明。 高二（理）参考答案 一、AACBB CDBCC 二、11、3i 12、e 13、20 14、 1 (21)(22)kk 15、 三、16、设甲击中 1 个气球且乙击中 2 个气球为事件 A，事件 A1为甲在 2 次 射击中恰好击中 1 个气球，事件 A2为乙在 2 次射击中恰好击中 2 个气球，则 11122 121222 ( )()()()(0.30.7 )(0.4 )0.0672P AP A APAP ACCAAA 密封线 莆田二中 年 班 号姓名 甲、乙两人击中气球的个数相等为事件 B，事件 B1为甲、乙两人都击中 2 个 气球，事年 B2为甲、乙两人恰好都击中 1 个气球，事件 B3为甲、乙两人都未击 中气球，且 B1、B2、B3两两互斥 3124 . 0 4 . 07 . 04 . 06 . 07 . 03 . 06 . 03 . 0 )()()()( 222 2 1 2 1 2 220 2 321 CCCC BPBPBPBP 答：甲击中 1 个气球且乙击中 2 个气球的概率是 0.0672，甲、乙两人击中气球 的个数相等的概率是 0.3124。 说明：没有记事件每小题扣一分，没有答扣一分。有列式且只有最终答案错每 小题各扣一分。 17、当 111 1,2naSa时 a11 当 12222 3 2,2 2 2 naaSaa 时 当 12333 3,2 3naaaSa 时 3 7 4 a 当4n 时， 123444 2 4aaaaSa 4 15 8 a 由此猜想 * 1 21( ) 2 n n n anN 证明： 1 11na当时结论成立 （1） 假设(1,*)nk kkN且时结论成立 即 1 21 2 k k k a （2） 当1nk时 1111 2(1)22 kkkkkkk aSSkakaaa 1 22 kk aa 1 1 21 22 k k k k aa a 当1nk时结论成立 （3） 由知猜想 1 21 2 n n n a 成立 （4） 说明： 答案中所标的（1） （2） （3） （4）没有的一步扣一分。 18、 2 ( )323f xxax因为( )1,)f x在上是增函数 所以( )1,)fx在上恒有( )0fx 即 2 323 01,)xax在上恒成立 , 03)0( f所以必有1(1)20 3 a fa 且 a0 0, 0) 1 ()(), 1 ) 1 ( 2 3 )( ) 1 ( 2 3 0 min agxg x xxg x xax 上递减知：在由 恒成立，问题转化为另解： 依题意 112 ()030 333 fa 即 a= 4 32 ( )43f xxxx 令 12 1 ( )0,3 3 fxxx 得 则 当 x 变化时，( )fx的变化情况如下： ( )1,4f x 在上的最大值是(1)6f 函数( )g xbx的图象与函数( )f x 的图象恰有 3 个交点即方程 32 43xxxbx恰有 3 个不等实根 322 4300430 xxxbxxxxb 是其中一个根 方程 有两个非零不等实根 164(3)0 73 60 b bb b 且 存在符合条件的实数 b，b 的范围为( 7, 3)( 3,) 19、解：当 11 43 1 1232 aa mnmn bb 时 ，当时 故由此可以猜想： 任意的abR、有 2 11 2 ab mnab ab 当且仅当时取得等号 x 1 （1,3） 3 （3,4） 4 ( )fx 0 ( )f x 6单减18单增12 类比第（1）小题，对于任意的abcR、猜想： 3 111 3 abc mn abc 当且仅当 a=b=c 时取得等号 证明如下： 对于abcR、要证 3 111 3 abc abc 成立 只需证 111 9()()abc abc 即证93 aabbcc bcacab 即证6)()()(*) abacbc bacacb ( 因为对于abcR、有22 aba b bab a A 同理22 acbc cacb ， 所以不等式（）成立，且要使（）的等号成立必须 bacabc abaccb 且且 即当 a=b=c 时等号成立 证明：采用其他方法作答的，只要逻辑严密，言之有理，可以根据作答情况酌 情给分。 20、因为赔付价格 S 元/吨，所以乙方的实际年利润为： 2000WtSt（t0） 由 10001000 0 S t WSW tt 令得 2 0 1000 ()tt S 当 00 00ttwttw时 当时 所以 0 ttw 时 取得最大值 因此乙方取得最大利润的年产量 2 0 1000 ()t S 吨 说明：本小题也可用配方法。 设甲方净收入为 V 元，则 2 0.002vstt（t0） 将 21000 ()t s 代入上式得到甲方净收入 V 与 S 之间的函数关系式 23 4 10002 1000 v ss 又 2323 255 10008 10001000 (8000)s v sss 令020vs 得 当 S20 时，00vv 当S20时 所以 S20 时 V 取得最大值 因此甲方向乙方要求的赔付价格 S 为 20 元/吨时获得最大净收入 说明：没有答扣一分。 21、解：因为 222 ( ) xcc f xx xx 所以 2 2 1 ( )1()fxc x 又 x=1 是函数( )f x 的极值点于是 2 (1)1( 1)0fc A因为 c0 得 c=1 故函数( )f x 的解析式为 2 1 ( ) x f x x 平行四边形 OMPN 如图所示，设点 00 (,)P xy 则 00 0 1 yx x 且 00 (,)N x x由于四边形 OMPN 是平行四边形 所以 0 0 11 0 M MPON yy kk x 即解得 00 11 (0,) M yM xx 则 于是平行四边形 OMPN 的面积为 00 0 1 1SOM xx x A 对于一般情形下的函数 2 ( )(0) axb g xab x ，类似于（2）的正确命题为：