辽宁省沈阳市铁路实验中学2020学年高二数学上学期10月月考试题（含解析）

辽宁省沈阳市铁路实验中学2020学年高二数学上学期10月月考试题（含解析）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数满足为虚数单位），则（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据复数的除法运算可求得；根据共轭复数的定义可得到结果.【详解】由题意得： 本题正确选项：【点睛】本题考查共轭复数的求解，关键是能够利用复数的除法运算求得，属于基础题.2.等差数列中，则( ).A. 110B. 120C. 130D. 140【答案】B【解析】【分析】直接运用等差数列的下标关系即可求出的值.【详解】因为数列是等差数列，所以，因此，故本题选B.【点睛】本题考查了等差数列下标性质，考查了数学运算能力.3.已知，的实部与虚部相等，则（）A. -2B. C. 2D. 【答案】C【解析】【分析】利用待定系数法设复数z，再运用复数的相等求得b.【详解】设 （），则 即 .故选C.【点睛】本题考查用待定系数法，借助复数相等建立等量关系，是基础题.4.已知为等比数列，是它的前项和若，且与的等差中项为，则（）A. 31B. 32C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据与的等差中项为，可得到一个等式，和，组成一个方程组，结合等比数列的性质，这个方程组转化为关于和公比的方程组，解这个方程组，求出和公比的值，再利用等比数列前项和公式，求出的值.【详解】因为与的等差中项为，所以，因此有，故本题选A.【点睛】本题考查了等差中项性质，等比数列的通项公式以及前项和公式，5.等比数列的各项均为正数，且，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据题意，由对数的运算性质可得，又由对数的运算性质可得，计算可得答案【详解】根据题意，等比数列的各项均为正数，且，则有，则；故选：【点睛】本题考查等比数列的性质以及对数的运算，属于基础题6.已知是等比数列， 则 A. B. C. D. 【答案】B【解析】是等比数列，q3=，则q=，=q2=数列anan+1是以8为首项，为公比的等比数列a1a2+a2a3+a3a4+anan+1=故选：B点睛：本题重点考查了等差数列的通项公式及前n项和知识，解题关键是把新数列的和理解为新等比数列的前n项和,整体换元的思想同学们要牢固把握.7.已知等差数列an的前n项和为Sn，若，则=（）A. B. 1C. D. 【答案】B【解析】【详解】等差数列an中，故选B8.已知数列满足：，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】将原式子变形为结合等差数列的通项公式的求法得到结果.【详解】数列满足：，, 是以为首项为公差的等差数列， 故答案为：B.【点睛】本题考查了数列通项公式的求法，以及等差数列的通项的求法，求数列通项，常见的方法有：构造新数列，列举找规律法，根据等差等比公式求解等.9.已知在等差数列中，则项数为A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由等差数列的性质和题意可得a52，故a5+an432，而Sn240，代入可得答案【详解】由等差数列的性质可得S918，解得a52，故a5+an432，而Sn16n240，解得n15，故选：D【点睛】本题考查等差数列的性质和求和公式，利用性质整体代入是解决问题的关键，属于基础题10.已知是等差数列的前项和，为数列的公差，且，有下列四个命题：；数列中的最大项为，其中正确命题的序号是( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用等差数列的前项和的性质可得正确的选项【详解】由得，则， 所以，所以，正确； ，故正确；，故错误；因为，故数列中最大项为，故错误综上，选B.【点睛】一般地，如果为等差数列，为其前项和，则有性质：（1）若，则；（2） 且 ；（3）且为等差数列；（4） 为等差数列.11.如图所示，矩形的一边在轴上，另外两个顶点在函数的图象上.若点的坐标为，记矩形的周长为，则（ ）A. 220B. 216C. 212D. 208【答案】B【解析】由题意，在函数的图象上，若点坐标为的纵坐标为的横坐标为，所以矩形的一条边长为，另一条边长为，所以矩形的周长为，故选B.12.数列为1,1，2,1，1，2,3,1,1，2,1,1,2,3,4，首先给出，接着复制该项后，再添加其后继数2，于是，然后再复制前面所有的项1,1,2，再添加2的后继数3，于是， ,接下来再复制前面所有的项1,1,2,1,1,2,3，再添加4，,如此继续，则（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】A【解析】【分析】先根据数列的构成，结合归纳推理的方法，得到，进而可得出结果.【详解】由数列的构造方法可知，可得，即，故.故选A【点睛】本题考查数列的综合问题，考查运算求解和推理论证能力，属于常考题型.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.在数列中，则_【答案】【解析】【分析】利用递推公式可验证出数列为周期为的周期数列，从而可得.【详解】令，则令，则令，则令，则令，则令，则数列为周期为的周期数列 本题正确结果：【点睛】本题考查根据递推公式判断数列的性质的问题，关键是能够通过递推公式确定数列为周期数列，从而利用周期将所求值进行化简.14.在数列中，则是这个数列的第_项【答案】【解析】【分析】在等式两边取倒数，可得出数列为等差数列，求出数列的通项公式，再令，解出的值即为所求结果.【详解】在等式两边取倒数得，所以且，则数列是以为首项，以为公差的等差数列，所以，令，得，因此，是这个数列的第项，故答案为：.【点睛】本题考查数列通项的求法，解题的关键就是利用倒数法求解，另外要熟悉等差数列定义的应用，考查分析问题和求解问题的能力，属于中等题.15.设等差数列的前项和为，则取得最小值的值为_【答案】2【解析】【分析】求出数列的首项和公差，求出的表达式，然后利用基本不等式求出的最小值并求出等号成立时的值，于此可得出答案。【详解】设等等差数列的公差为，则，解得，所以，所以，等号成立，当且仅当时，等号成立，但，由双勾函数的单调性可知，当或时，取最小值，当时，；当时，因此，当时，取最小值，故答案为：。【点睛】本题考查等差数列的求和公式，考查基本不等式与双勾函数求最值，利用基本不等式要注意“一正、二定、三相等”这三个条件，在等号不成立时，则应考查双勾函数的单调性求解，考查分析能力与计算能力，属于中等题。16.如图，在杨辉三角形中，斜线1的上方，从1开始箭头所示的数组成一个锯齿形数列：1，3，3，4，6，5，10，记其前项和为，则_【答案】361【解析】【分析】将按照奇偶分别计算：当 为偶数时，；当为奇数时，计算得到答案.【详解】解法一：根据杨辉三角形的生成过程，当为偶数时，当为奇数时，解法二：当时，当时，【点睛】本题考查了数列的前N项和，意在考查学生的应用能力和解决问题的能力.三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤.17.已知等差数列满足，公比为正数的等比数列满足，.（1）求数列，的通项公式；（2）设，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1 ）利用等差数列、等比数列的通项公式即可求得；（2）由（1）知，利用错位相减法即可得到数列的前项和.【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，因为，所以，解得.所以.由及等比中项的性质，得，又显然必与同号，所以.所以.又公比为正数，解得.所以.（2）由（1）知，则 . .-，得.所以.【点睛】用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“SnqSn”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.18.已知，动点满足.设动点的轨迹为.（1）求动点的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；（2）求动点与定点连线的斜率的最小值；（3）设直线交轨迹于两点，是否存在以线段为直径的圆经过？若存在，求出实数的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）动点M的轨迹方程为，轨迹是以为圆心，2为半径的圆；（2）；（3）存在，.【解析】【分析】（1）由，化简可得：，即轨迹是以为圆心，2为半经的圆；(2)设过点的直线为，利用圆心到直线的距离不大于半径即可解得的取值范围，从而得出动点与定点连线的斜率的最小值；（3）假设存在以线段为直径的圆经过，联立方程，得，再利用，求出的的值，验证是否成立即可.【详解】（1），化简可得：，所以动点M的轨迹方程为.轨迹是以为圆心，2为半径的圆.（2）设过点的直线为，圆心到直线的距离为.，即.（3）假设存在，联立方程得，得，即.设，则，由题意知，.，得，且满足，存在以线段PQ为直径的圆经过A，此时.【点睛】本题主要考查直接法求轨迹方程以及解析几何中的存在性问题，属于难题.解决存在性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在，注意：当条件和结论不唯一时要分类讨论；当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件；当条件和结论都不知，按常规方法题很难时采取另外的途径.19.已知递增的等差数列前项和为，若 ，.（1）求数列的通项公式.（2）若，且数列前项和为，求.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由题意求出等差数列的首项和公差，进而可得通项公式；（2）由（1）并结合题意可得，然后分为奇数和偶数两种情况可求得数列的前项和为【详解】（1）由，且解得，公差，数列的通项公式为 （2）由（1）得，当为偶数时，；当为奇数时，综上可得【点睛】解答本题时注意两点：一是对于等差数列的计算问题，可转化为基本量（首项、公差）的问题来处理；二是在求和时，对于通项中含有或或的情形，在解题时要注意分为是奇数和偶数两种情况求解20.已知函数，数列满足，.（1）求证；（2）求数列的通项公式；（3）若，求中的最大项.【答案】（1）见解析；（2）；（3）【解析】【分析】（1）将化简后可得要求证的递推关系.（2）将（1）中的递推关系化简后得到，从而可求的通项公式.（3）结合（2）的结果化简，换元后利用二次函数的性质可求最大值.【详解】（1）证明： 由，得 又，（2），即， 是公比为 的等比数列.又 ，.（3）由（2）知，因为，所以，所以，令 ，则，又因为且，所以所以中最大项为.【点睛】数列最大项、最小项的求法，一般是利用数列的单调性去讨论，但是也可以根据通项的特点，利用函数的单调性来讨论，要注意函数的单调性与数列的单调性的区别与联系.21.已知数列中，当时，其前项满足（1）证明：是等差数列，求的表达式；（2）设，求的前项和.【答案】（1）证明见解析，；（2）.【解析】【分析】（1）利用可将已知等式整理为，结合可证得结论；根据等差数列通项公式求得，进而得到；（2）由（1）得到，采用裂项相消法求得结果.【详解】（1）当时，即：，又数列是以为首项，为公差的等差数列 （2）由（1）知：【点睛】本题考查等差数列的证明、等差数列通项公式的应用、裂项相消法求解数列的前项和等知识；关键是能够将通项进行准确的裂项，属于常考题型.22.正项数列的前项和满足.（I）求的值；（II）证明：当，且时，；（III）若对于任意的正整数，都有成立，求实数