陕西省高中数学 第一章 推理与证明 反证法第二课时教案 北师大版选修2-2

反证法一、教学目标：结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法反证法；了解反证法的思考过程与特点。二、教学重点：了解反证法的思考过程与特点教学难点：正确理解、运用反证法三、教学方法：探析归纳，讲练结合四、教学过程（一）、复习：反证法的思考过程与特点。反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法。反证法可以分为归谬反证法(结论的反面只有一种)与穷举反证法(结论的反面不只一种)。用反证法证明一个命题的步骤，大体上分为：(1)反设；(2)归谬；(3)结论。反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的，例如：是/不是；存在/不存在；平行于/不平行于；垂直于/不垂直于；等于/不等于；大(小)于/不大(小)于；都是/不都是；至少有一个/一个也没有；至少有n个/至多有(n一1)个；至多有一个/至少有两个；唯一/至少有两个。归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，但必须从反设出发，否则推导将成为无源之水，无本之木。推理必须严谨。导出的矛盾有如下几种类型：与已知条件矛盾；与已知的公理、定义、定理、公式矛盾；与反设矛盾；自相矛盾。（二）、探究新课反证法是数学中非构造性证明中的极重要的方法。对于处理存在性问题、否定性问题、唯一性问题和至多、至少性问题，反证法具有特殊的优越性。例1、已知，求证：中，至少有一个数大于25。证明：假设命题的结论不成立，即均不大于25，那么，这与已知条件相矛盾。所以，中，至少有一个数大于25。例2、求证：1，2，不可能是一个等差数列中的三项。证明：假设1，2，是公差为d的等差数列的第p，q，r项，则，于是。因为p，q，r均为整数，所以等式右边是有理数，而等式左边是无理数，二者不可能相等，推出矛盾。所以，1，2，不可能是一个等差数列中的三项。例3、如图所示，直线a平行于平面，是过直线a的平面，平面与相交于直线b，求证：直线a平行于直线b。证明：假设命题的结论不成立，即“直线a不平行于直线b”。由于直线a，b在同一平面中，且直线a，b不平行。故直线a，b相交，设交点为A，A在直线b上，故A在平面上。所以，直线a与平面相交于A。这与条件“直线a平行于平面”矛盾。因此，假设不成立，即“直线a平行于直线b”。（三）、小结：反证法与直接证法是相对而言的，在证明过程中我们不能僵化的使用反证法。对于一个证明来说，可能要交替地使用这两种证法。1.哪些命题适宜用反证法加以证明？笼统地说，正面证明繁琐或困难时宜用反证法；具体地讲，当所证命题的结论为否定形式或含有“至多”、“至少”等不确定词，此外，“存在性”、“唯一性”问题. 2.归谬是“反证法”的核心步骤，归谬得到的逻辑矛盾，常见的类型有哪些？归谬包括推出的结果与已知定义、公理、定理、公式矛盾，或与已知条件、临时假设矛盾，以及自相矛盾等各种情形。(四)、练习：1、课本练习2。2、（1）用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，反设正确的是（ ）(A) 假设三内角都不大于60度； (B) 假设三内角都大于60度；(C) 假设三内角至多有一个大于60度； (D) 假设三内角至多有两个大于60度。（2）已知2，关于pq的取值范围的说法正确的是（ ）（A）一定不大于2 （B）一定不大于 （C）一定不小于 （D）一定不小于2解析 用反证法可得（1）应选（B） （2）应选（A）3、 用反证法证明命题“如果那么”时，假设的内容应为_.解析：用反证法可得应填 或4、如果为无理数，求证是无理数.提示：假设为有理数，则可表示为（为整数），即. 由，则也是有理数，这与已知矛盾. 是无理数.（五）、作业：课本习题1-3： 1、5补充题：对于直线l：y=kx+1，是否存在这样的实数k，使得l与双曲线C：3xy=1的交点A、B关于直线y=ax（a为常数）对称？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由。证明：（反证法）假设存在实数k，使得A、B关于直线y=ax对称，设A（x1，y1）