高中数学 第一章 导数及其应用 1.7 定积分的简单应用 概述定积分的发展及应用素材 新人教A版选修2-2（通用）

概述定积分的发展与应用 摘 要: 概述了定积分发展的三个历史阶段,讨论了定积分在各个学科中的具体应用.关键词: 分割近似; 定积分; 流数法; 应用 微积分创立是数学史上一个具有划时代意义的创举,也是人类文明的一个伟大成果.正如恩格斯评价的那样：在一切理论成就中,未必再有什么象17世纪下半叶微积分的发明那样被当作人类精神的最高胜利了. 它是科学技术以及自然科学的各个分支中被广泛应用的最重要的数学工具; 如数学研究, 求数列极限, 证明不等式等. 而在物理方面的应用,可以说是定积分最重要的应用之一,正是由于定积分的产生和发展,才使得物理学中精确的测量计算成为可能, 如：气象,弹道的计算,运动状态的分析等都要用的到微积分.一 定积分发展的历史过程 定积分的发展大致可以分为三个阶段：古希腊数学的准备阶段,17世纪的创立阶段以及19世纪的完成阶段.1准备阶段 主要包括17世纪中叶以前定积分思想的萌芽和先驱者们大量的探索、积累工作.这个时期随着古希腊灿烂文化的发展,数学也开始散发出它不可抵挡的魅力.整个16世纪,积分思想一直围绕着求积问题发展,它包括两个方面:一个是求平面图形的面积和由曲面包围的体积,一个是静力学中计算物体重心和液体压力.德国天文学家、数学家开普勒在他的名著测量酒桶体积的新科学一书中,认为给定的几何图形都是由无穷多个同维数的无穷小图形构成的,用某种特定的方法把这些小图形的面积或体积相加就能得到所求的面积或体积,他是第一个在求积中运用无穷小方法的数学家.17世纪中叶,法国数学家费尔玛、帕斯卡均利用了分割求和及无穷小的性质的观点求积.可见,利用分割求和及无穷小的方法,已被当时的数学家普遍采用.2 创立阶段 主要包括17世纪下半叶牛顿、莱布尼兹的积分概念的创立和18世纪积分概念的发展.牛顿和莱布尼兹几乎同时且互相独立地进入了微积分的大门. 牛顿从1664年开始研究微积分,早期的微积分常称为无穷小分析,其原因在于微积分建立在无穷小的概念上.当时所谓的无穷小并不是我们现在说的以零为极限的变量,而是含糊不清的,从牛顿的流数法中可见一斑,流数法的主要思想是把连续变动的量称为流量,流量的微小改变称为瞬即无穷小量,将这些变量的变化率称为流数.用小点来表示流数,如x,y表示变量x,y对时间的流数.他指出：曲线在某给定点处切线的斜率就是y流数与x流数之比,从而导出y对x的导数就是y的流数与x的流数之比,即相当于现在的. 莱布尼兹从1673年开始研究微积分问题,他在数学笔记中指出求曲线的切线依赖于纵坐标与横坐标的差值之比（当这些差值变成无穷小时）;求积依赖于在横坐标的无限小区间纵坐标之和或无限小矩形之和,并且莱布尼兹开始人认识到求和与求差运算的可逆性,用表示曲线上相邻点的纵坐标之差,把表示为所有这些差的和,明确指出：意味着和,意味着差.明确指出了：作为求和过程的积分是微分之逆,实际上也就是今天的定积分.3 完成阶段 19世纪的前20年,微积分的逻辑基础仍然不够完善.从19世纪20年代至19世纪末,经过波尔查诺、柯西、维尔斯特拉斯、戴德金等数学家的努力,微积分的理论基础基本完成,波尔查诺通过极限给出了函数连续的概念及导数的严格定义,柯西用极限给出了积分的定义,指出不能理解为一个和式,而是和式.当无限减小时,能最终达到的某个极限值,这个就是函数在区间上的定积分.柯西定义了函数,证明了当在上连续时,在上连续、可导,且.继之柯西证明了的全部原函数彼此只相差一个常数,因此,他把不定积分写成：,并由此推出了牛顿-莱布尼兹公式. 至此,微积分基本定理给出了严格证明和最确切的表示形式.二 定积分在不同学科中的应用1 定积分在分析中的应用例1 求极限.解：由于可取区间为,函数,则,.故：原式.例2 求极限.分析：此题所研究的极限为n项和的形式,可看成函数在在区间上的一个和式的极限.解： .2 定积分在几何中的应用(1) 用定积分求平面图形的面积例3 如图1,计算由曲线所围成图形的阴影部分的面积.分析：先根据所给曲线方程,在坐标系中画出曲线,确定所围成图形的范围;然后根据图形的范围,比较两条曲线的位置关系;最后用定积分求所围图形的面积.解：解方程组得出交点坐标为（2,-2）,（8,4）,所以所求图形的面积为.（2）用定积分求立体图形的体积例4 如图2,求椭圆绕y轴旋转一周而成的旋转体的体积.解：如图2，因为,所求体积是曲边三角形AOB绕y轴旋转一周而成的旋转体体积的2倍. 由于旋转体的体积公式为，所以椭圆绕y轴旋转而成的旋转体的体积为 .3 定积分在物理中的应用（1）力的作功问题例5 一圆柱形的贮水桶高位6m,底面半径为3m,桶内盛满了水,试问要把桶内的水全部吸出需作多少功？ 图3解：作x轴如图3因为要把桶内的水吸出,只需克服重力做功,故取深度x为积分变量,变化区间为,做薄层微元为图中小矩形部分,小矩形部分的重力为（KN）,把这部分水吸出水桶外需做功为（KN）,故所求的功为（KJ）.(2) 求引力的问题例6 一根长为的均匀细杆,质量为M,在其中垂线上相距细杆为a处有一质量为m的质点,试求细杆对质点的万有引力.解:细杆位于x轴上的,质点位于y轴上的点a,任取 ,当很小时可把这一小段细杆看作一质点,其质量为,于是它对质点m的引力为,由于细杆上各点对质点m的引力方向各不相同,因此不能直接对进行积分,（不符合代数的可加条件）,为此,将分解到x轴与y轴两个方向上,得,.由于质量m位于细杆的中垂线上,必使水平合力为0,即 ,又,故得垂直方向合力为.负号表示合力方向与y轴方向相反.4 定积分在经济学中的应用 在经济管理中,应用定积分可以解决由边际函数求总函数或求总函数在某个范围的改变量问题. 例7 已知某产品总量的变化率为（件/天）,求从第一天到第四天产品的总产量. 解：设总产量为,已知第t天总产量的变化率为,它随t变化,则总产量在内的微元为 故在内总产量为（件） 例8 设生产x个产品的边际成本,其固定成本为元,产品单价规定为500元.假设生产出的产品能完全销售,问生产量为多少是利润最大？ 解：首先由边际成本,利用变上限定积分得 ,所以最后的总成本为 .又因为总收益函数为,所以总利润为 .令,即:, 得.故生产量为150个时,利润最大. 参考文献1 邓俊谦.应用数学基础M.上海:华东师范大学出版社,2000.2 陆庆乐,马知恩.高等数学M.北京:高等教育出版社,1990.3 辛普元.定积分的应用研究J.现代商贸工业,2020.4 上海财经大学应用数学系.高等数学M.上