陕西省吴堡县吴堡中学高中数学 第二章 应用举例2典型例题素材 北师大版必修5（通用）

应用举例利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识，例析如下：一、测量问题例1、如图1所示，为了测河的宽度，在一岸边选定A、B两点，望对岸标记物C，测得CAB=30，CBA=75，AB=120cm，求河的宽度分析：求河的宽度，就是求ABC在AB边上的高，而在河的一边，已测出AB长、CAB、CBA，这个三角形可确定解析：由正弦定理得，AC=AB=120m，又，解得CD=60m点评：虽然此题计算简单，但是意义重大，属于“不过河求河宽问题”二、遇险问题例2、某舰艇测得灯塔在它的东15北的方向，此舰艇以30海里/小时的速度向正东前进，30分钟后又测得灯塔在它的东30北若此灯塔周围10海里内有暗礁，问此舰艇继续向东航行有无触礁的危险？解析：如图舰艇在A点处观测到灯塔S在东15北的方向上；舰艇航行半小时后到达B点，测得S在东30北的方向上 在ABC中，可知AB=3005=15，ABS=150，ASB=15，由正弦定理得BS=AB=15，过点S作SC直线AB，垂足为C，则SC=15sin30=75这表明航线离灯塔的距离为75海里，而灯塔周围10海里内有暗礁，故继续航行有触礁的危险点评：有关斜三角形的实际问题，其解题的一般步骤是：（1）准确理解题意，分清已知与所求，尤其要理解应用题中的有关名词和术语；（2）画出示意图，并将已知条件在图形中标出；（3）分析与所研究问题有关的一个或几个三角形，通过合理运用正弦定理和余弦定理求解三、追击问题例3、如图3，甲船在A处，乙船在A处的南偏东45方向，距A有9n mile并以20n mile/h的速度沿南偏西15方向航行，若甲船以28n mile/h的速度航行，应沿什么方向，用多少h能尽快追上乙船？解析：设用t h，甲船能追上乙船，且在C处相遇在ABC中，AC=28t，BC=20t，AB=9，设ABC=，BAC=1804515=120根据余弦定理，（4t3）（32t+9）=0，解得t=，t=（舍）AC=28=21 n mile，BC=20=15 n mile根据正弦定理，得，又=120，为锐角，=arcsin，又，arcsin，甲船沿南偏东arcsin的方向用h可以追上乙船点评：航海问题常涉及到解三角形的知识，本题中的 ABC、AB边已知，另两边未知，但他们都是航行的距离，由于两船的航行速度已知，所以，这两边均与时间t有关这样根据余弦定理，可列出关于t的一元二次方程，解出t的值四、最值问题例4、某工厂生产主要产品后，留下大量中心角为，半径为a的扇形边角料，现要废物利用，从中剪裁下巨型毛坯，要求矩形面积尽可能大，请问如何裁剪？分析：从实际出发，尽可能使面积最大，有两种裁剪方法一种是使矩形的一边落在扇形的半径上，另一种是使矩形的两顶点分别在扇形的两条半径上，分别计算出这两种情况下的最大值，再比较结果的出最佳方案解：方案一，如图1，矩形有两个顶点在半径OA上，设AOP =，则PM = asin，扇形中心角为，PQO =，由正弦定理，得：=，即PQ =asin（），矩形的MPQR的面积为：S=PMPQ =asinsin（） =acos（）cosa（1） =a，当=时，cos（） = 1，S取得最大值a方案二，如图2，矩形有两个顶点分别在扇形的两条半径OA、OB上，设AOM =，MRA =，MRO =，由正弦定理，得：=，即RM = 2asin，又=，OR = 2asin（），矩形的MPQR的面积为：S= MRPQ = 4asinsin（） = 2acos（）cos2a（1） = （2）a即在此情况下，AOM =时，可求出M点，然后作出MPQR面积为最大由于SS