高中数学 第一章 常用逻辑用语 1.1 命题 四种命题及其真假判断素材 北师大版选修2-1（通用）

四种命题及其真假判断四种命题及其关系是简易逻辑的基础内容,由一个命题可以写出其它三种形式的命题：逆命题、否命题和逆否命题，这四个命题可以产生六种（三类）关系：互逆，互否，互为逆否在判断四种命题之间的关系时，首先要注意分清命题的条件与结论，再比较每个命题的条件与结论之间的关系这种关系是相对的，一旦一个命题定为原命题，也就相应地有了它的逆命题，否命题，逆否命题互为逆否命题也是互为等价命题（即真值相同），而其它命题不是互为等价命题（即真值不一定相同）数学中定义，公式，公理，定理都是命题，但命题有真假之分，而定理都是真的请看以下几例.例1 试判断命题“若，或，则”的真假。分析：本题不易判断，可通过判断它的逆否命题来解决。解析：原命题为“若，或，则”，则逆否命题为“若，则且”，显然这是一个假命题，故原命题是一个假命题。点评:当一个命题是否定形式的命题，且不宜判断真假时，可以通过判断与之等价的逆否命题的真假来达到判断该命题真假的目的。例2.判断命题“若，则有实数根”的逆否命题的真假。分析；可以直接进行逻辑推理判断，可以从逆否命题直接判断，也可以先判断原命题的真假，然后利用原命题与逆否命题的等价关系使问题获解。解法1：有实根，无实数根，“若则”为真，即“若无实数根，则”为真。点评:本解法是利用原命题与逆否命题等价关系判断的。解法2：，。方程的判别式，有实数根，原命题“若，则有实数根”为真。又因原命题与它的逆否命题等价，所以“若，则有实数根”的逆否命题也为真。点评:本解法是直接进行逻辑推理判断的。解法3：原命题“若，则有实数根”的逆否命题为“若无实数根，则”。无实数根，“若无实数根，则”为真。点评:本解法从逆否命题入手直接判断。例3.判断命题“已知a,x为实数，如果关于x的不等式x2+(2a+1)x+a2 +20的解集非空，则a1”的逆否命题的真假分析（一）：先写出逆否命题，再判断解 逆否命题：已知a、x为实数，如果a1，则关于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+20的解集为.判断如下：抛物线y= x2+(2a+1)x+a2+2开口向上判别式=(2a+1)2-4(a2+2)=4a-7.a1，4a-70.即抛物线y=x2+(2a+1)x+a2+2与轴无交点，所以不等式x2+(2a+1)x+a2+20的解集为故逆否命题为真命题分析（二）利用原命题与逆否命题的等价性去判断逆否命题解 因为关于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+20的解集非空，所以=(2a+1)2-4(a2+2)=4a-70,解得a.因为a1，所以原命题为真，故逆否命题为真分析（三）利用集合的包含关系求解解: 命题p：关于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+20有非空解集命题q：a1.p：A=a|关于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+20有实数解a|4a-70a|aq：Ba|a1AB,“若p,则q”为真命题，所以原命题的逆否命题为真记忆诀窍: （1）互逆命题最常见，条件结论要互换，真假不同要仔细，原逆真假不相关(2）互否命题也常见，否了条件否结论，得到命题