高中数学 第一章 导数及其应用 1.3 导数在研究函数中的作用 1.3.2 极大值与极小值（1）学案 苏教版选修2-2

极大值与极小值(1) 教学过程一、 问题情境(图1)观察给定函数图象,在P和Q两侧图象的单调性变化:P点处从左侧到右侧由上升变为下降(函数由单调递增变为单调递减),这时在点P附近,点P的位置最高;Q点处从左侧到右侧由下降变为上升(函数由单调递减变为单调递增),这时在点Q附近,点Q的位置最低.1二、 数学建构问题1上述的结论如果用数学语言该怎样来描述?2解1. 极大值点:已知函数f(x),设x1是定义域内一点,如果在x1附近的所有的x,都有f(x)f(x2),就说函数f(x)在x2处取得极小值,把x2称为f(x)的一个极小值点.2. 极大值:称f(x1)为函数f(x)的一个极大值;极小值:称f(x2)为函数f(x)的一个极小值.极大值与极小值统称为极值.问题2在定义域内,函数的极大值是唯一的吗?函数的极大值一定大于其极小值吗? 函数的极值点可能在区间的端点产生吗?试作图说明.3问题3极值点处导数有何特点?当f(x0)=0时,能否肯定函数f(x)在x0处取得极值?4问题4函数的极值与函数的导数有怎样的关系?53. 函数极值与导数关系:如果f(x0)=0,且在x0的附近的左侧f(x0)0,右侧f(x0)0,那么f(x0)是极大值;如果f(x0)=0,且在x0的附近的左侧f(x0)0,那么f(x0)是极小值.表1 xx1左侧x1x1右侧 f(x)f(x)0f(x)=0f(x)0 f(x)增极大值f(x1)减表2 xx2左侧x2x2右侧 f(x)f(x)0 f(x)减极小值f(x2)增概念理解1. 取得极值的点称为极值点,极值点是自变量的值,极值指的是函数值.2. 极值是一个局部的概念,极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小,并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小.3. 函数的极值不是唯一的,即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个.4. 极大值与极小值之间无确定的大小关系,一个函数的极大值未必大于极小值.5. 函数的极值点一定出现在区间的内部,区间的端点不能成为极值点,而使函数取得最大值、最小值的点既可能在区间的内部,也可能在区间的端点.三、 数学运用【例1】(教材第31页例1)求f(x)=x2-x-2的极值.(见学生用书P19)规范板书解f(x)=2x-1,令f(x)=0,解得x=.列表如下:x 左侧右侧 f(x)-0+ f(x)极小值f所以当x=时,f(x)有极小值f=-.题后反思求极值的具体步骤:(1) 求导数f(x);(2) 求f(x)=0的根;(3) 列表,检查f(x)在方程根左右的值的符号,如果左正右负,那么f(x)在这个根处取得极大值;如果左负右正,那么f(x)在这个根处取得极小值;如果左右都是正,或者左右都是负,那么f(x)在这个根处无极值.【例2】(教材第31页例2)求f(x)=x3-4x+的极值.(见学生用书P20)处理建议让学生学会纵向看图,并体会在相应的区间上,导数的正负与函数增减的关系,体现数形结合思想.规范板书解f(x)=x2-4,令f(x)=0,解得x1=-2,x2=2.列表如下:x(-,-2)-2(-2,2)2(2,+) f(x)+0-0+ f(x)极大值f(-2)极小值f(2)所以当x=-2时,f(x)有极大值f(-2)=;当x=2时,f(x)有极小值f(2)=-5.思考:你能画出函数及其导数的图象吗?6题后反思有效利用图形语言,对照在相同的区间上函数及其导函数的图象,体会导数与函数单调性的关系,并强调书写格式.【例3】已知函数f(x)=x3+ax2-(a-1)x+7有极大值和极小值,求a的取值范围.(见学生用书P20)处理建议先由学生思考后交流思路,采用数形结合的方法,帮助学生理解.规范板书解f(x)=3x2+2ax-a+1,函数f(x)=x3+ax2-(a-1)x+7有极大值和极小值,即f(x)=0有两个不同的实数解,则=4a2+12(a-1)0,解得a或a.*【例4】(教材第31页练习3)根据下列条件大致作出函数f(x)的图象.(1) f(4)=3,f(4)=0,当x0,当x4时f(x)0.处理建议先由学生讨论,尝试进行作图;教师在学生中交流,了解学生的思考过程,投影学生的作业,由学生纠正出现的错误及处理建议,并且给出理由.7解(1) (2) (例4(1)(例4(2)四、 课堂练习1. 函数f(x)=x3-12x+12的极大值是28,极小值是-4.2. 若函数f(x)=x3+mx2+x+1在R上无极值点,则实数m的取值范围是-,.3. 已知函数f(x)=x3-3x2+2.(1) 写出函数的单调区间;(2) 讨论函数的极大值和极小值是否存在,如果存在,写出极值.解(1) f(x)=3x2-6x,令f(x)0,则x2或x0;令f(x)0,则0x2.故函数的单调递增区间为(-,0),(2,+);单调递减区间为(0,2).(2) 存在极值,极大值为2,极小值为-2.五、 课堂小结1. 极值点是自变量的值,极值指的是函数值.极值是一个局部的概念,并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小.函数的极值不是唯一的,极大值与极小值之间无确定的大小关系,一个函数的极大值未必大于极小值.2. 极值点两侧单调性互异,极值点处导数为0;但导数为0的点不一定是极值点,要看这点两侧的导数是否异号.3. 求可导函数f(x)的极值的步骤:(1) 确定函数的定义域,求导数f(x);(2) 求方程f(x)=0的根;(3) 用函数的导数为0