高中数学 第三讲 圆锥曲线性质的探讨 一 平行射影 二 平面与圆柱面的截线教材梳理素材 新人教A版选修4-1（通用）

一 平行射影二 平面与圆柱面的截线庖丁巧解牛知识巧学一、正射影点A是平面外一点，过点A向平面作垂线，设垂足为点A，那么把点A称作点A在平面上的正射影.一个图形F上的各点在平面上的正射影也组成了一个图形F，则图形F称作图形F在平面上的正射影.图3-1(2)-2就是正射影的几个例子.图3-1(2)-2联想发散一个图形在一个平面上的射影与图形和平面的位置关系有关，如一条直线，当它和平面垂直时，它在平面上的射影是一个点；当它和平面斜交时，它在平面上的射影是一条直线；它和平面平行时，它在平面上的射影是一条与原直线平行的直线.二、平行射影设直线l与平面相交，把直线l的方向称为投影方向，过点A作平行于l的直线，与平面交于点A，那么把点A称作点A沿直线l的方向在平面上的平行射影.一个图形F上的各点在平面上的平行射影也组成了一个图形F，则图形F称作图形F在平面上的平行射影.于是正射影是平行射影的特例.在立体几何部分，我们对此已经有了了解，如图3-1(2)-3就是平行射影的具体实例.图3-1(2)-3知识拓展平行射影的性质:(1)直线或线段的平行射影仍是直线或线段；(2)平行直线的平行射影是平行或重合的直线；(3)平行于投射面的线段，它的射影与这条线段平行且等长；(4)与投射面平行的平面图形，它的射影与这个图形全等；(5)在同一直线或平行直线上，两条线段平行射影的比等于这两条线段的比.三、椭圆平面上到两个定点的距离之和等于定长的点的轨迹叫做椭圆.运输油制品的油罐、圆柱型容器倾斜后所盛液体的液面等，都给我们以椭圆的形象.四、椭圆的组成元素1.如图3-1(2)-4，F1、F2叫椭圆的焦点，F1F2叫椭圆的焦距；AB叫椭圆的长轴，通常用字母a表示；CD叫椭圆的短轴，通常用字母b表示；如果长轴为2a，短轴为2b，那么焦距为2c=.这一个式子反映了椭圆的长轴、短轴及焦距三者之间的关系，我们可以利用这一关系式进行相关的运算.图3-1(2)-42.椭圆内切于矩形，且它是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形，又是以原点为对称中心的对称图形.因此，画它的图形时，只要画出第一象限的部分，其余可由对称性得出.五、椭圆的性质如图3-1(2)5，椭圆上任意一点到焦点F的距离和它到直线l的距离之比为定值，根据这一点，我们有椭圆的第二定义：平面内点M与一个定点的距离和它到一定直线的距离的比是常数e=（0e1）时，这个点M的轨迹是椭圆，定点是椭圆的焦点，定直线叫做椭圆的准线，显然在另一侧对应另一个焦点还有一条准线，常数e是椭圆的离心率.图3-1(2)-5关键词分析 e的几何意义是：椭圆上一点到焦点的距离和它到准线的距离的比.当e越接近于1时，c越接近于a，从而b越小，因此椭圆越扁；反之，e越接近于0，从而b越接近于a，椭圆越接近于圆.当e=0时，c=0，a=b，两焦点重合，图形就是圆了.可见离心率是刻画椭圆圆扁程度的量.问题探究问题1 一个圆所在的平面与平面平行，那么该圆在平面上的正射影是和原来的圆相同的圆，当圆所在的平面与平面不平行时，该圆在平面上的正射影会是什么图形？如果与垂直，该圆在平面上的正射影又会是什么图形？思路:借助于生活经验来理解.探究:一个圆所在的平面与平面平行，那么该圆在平面上的正射影显然是一个圆，并且是和原来的圆相同的圆.如果圆所在的平面与平面不平行，从生活经验我们知道，正射影的形状发生了变化，就好像一个圆被压扁了，我们称之为椭圆.椭圆的“圆周”上的点到其中心的距离不再相等，但它也有一个特征，就是它到两个定点的距离相等，下一节还会讲到.如果圆所在的平面与平面是互相垂直的，那么该圆在平面上的射影是一条线段.问题2 两条相交直线的平行射影还是相交直线吗？如果不相交，那它的形状是什么样子？同理，两条平行直线的平行射影还是平行直线吗？它的情形有哪些？思路:根据两条直线与投射线的位置关系分类讨论.探究:两条直线相交，可以确定一个平面，当投射线与两直线所确定的平面平行时，此两直线的平行投影是一条直线；当投射线与两直线确定的平面不平行时，此两直线的平行投影仍是两条相交直线，在考虑时一定要周全，避免漏掉特殊情况.所以两条相交直线的平行投影是两条相交直线或一条直线.同理，可以考虑两条平行直线在同一个平面上的射影，当两条平行线与投射线平行时，它们的平行射影是两个点；当两条直线确定的平面与投射线平行时，它们的平行射影是一条直线；当两条直线确定的平面与投射线不平行时，它们的平行射影是两条平行直线.典题热题例1RtABC的斜边BC在平面内，则ABC的两条直角边在平面内的射影与斜边组成的图形只能是( )A.一条线段B.一个锐角三角形C.一个钝角三角形D.一条线段或一个钝角三角形思路分析：（1）当顶点A在平面上的射影A在BC所在直线上时，两条直角边在平面上的射影是一条线段，与斜边线成的图形是线段，如图3-1(2)-6（1）.图3-1(2)-6（2）当顶点A在平面上的射影A不在BC所在直线上时，AA,AAAB，AAAC.ABAB，ACAB2AC2.AB2AC2BC20.BAC为钝角.ABC为钝角三角形.答案：D例2平面内两个定点的距离为8，动点M到两个定点的距离的和为10，求动点M的轨迹方程.思路分析：根据题意，首先判定动点M的轨迹是椭圆，再求椭圆方程.解：以两点的连线段所在的直线为x轴，线段的中垂线为y轴建立直角坐标系，则由椭圆的定义知，动点的轨迹是椭圆，设所求