高中数学 第二章 空间向量与立体几何 2.3 向量的坐标表示和空间向量基本定理 例说空间向量基底的确定策略素材 北师大版选修2-1（通用）_第1页
高中数学 第二章 空间向量与立体几何 2.3 向量的坐标表示和空间向量基本定理 例说空间向量基底的确定策略素材 北师大版选修2-1（通用）_第2页
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例说空间向量基底的确定策略一般来说，用向量方法解题，都应首先设法选定空间向量的一个基底，再用基底表示相关向量（虽说空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底，但所选基底应有利于运算）。而教学中我们却发现，在空间向量的学习中，三个向量是否能构成空间的一个基底的问题一直是部分同学的一个难以解决的问题。怎样才能断定三个向量可以作为空间向量的一个基底呢？下面举例说明基底的确定策略，供学习时参考。策略一、构图法例1、设，且是空间的一个基底，给出下列向量组：；，其中可以作为空间的基底的向量组有（ ）1个 2个 3个 4个ABCDA1B1C1D1导析：由空间向量基本定理可知，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。解析：如图，设，则，由、四点不共面，可知向量、也不共面，同理知、和、也不共面，故选评注：一组向量能否作为空间的基底，实质上就是判断给出的向量组中的三个向量是否共面，因为不共面，所以可构造图形，利用平行六面体中从某一点出发的三条棱所对应的向量与相应面上的对角线对应的向量关系直观地判断。策略二、反证法例2、已知向量是空间的一个基底，求证：向量，能构成空间的一个基底。导析：依据空间向量基本定理，要证明向量，能构成空间的一个基底，只要证明它们不共面即可。证明：假设，不能构成空间的一个基底，即，共面，因为，不共线，所以存在实数 、使得，即，由共面向量定理知与、共面，这与、不公面矛盾，即与是空间的一个基底相矛盾，所以假设不成立，从而向量，能构成空间的一个基底。评注：证明三个向量能构成空间的一个基底，就是证明三个向量不共面，直接难以说清楚是否能够构成空间基底时，常用反证法并结合共面向量定理实现证明，关键是抓住空间向量基本定理的条件。策略三、排除法例3、已知点、，且向量，下面向量中，能与、构成空间向量基底的是（ ） 导析：直接难以说清楚是否能够构成空间基底，可先选项中的向量能否用、线性表示。解析：因为、不共面，所以、不共面，又因为，所以，即，从而与、，故与、和与、不能构成空间向量的一个基底；又因为，所以与共面，进而知与、共面，故与、不能构成空间向量的一个基底，综上可知选评注：将那些肯定不能构成空间基底的选项一一排除，从而得出直接难以说清楚是否能够构成空间基底的正确选项是一种确定能够构成空间基底的常用策略。一组向量能否作为空间的基底，实质上就是判断给出的向量组中的三个向量是否共面，一般可用“构图法”、 “反证法”和“排除法”等来确定。由以上问题的解决可知，从同一点出发的三条不共面的有向线段都可以构成空间向量的一个即底，一般都选多面体相邻的三条棱的方向向量作为解题要用的一个基底。正确理解基底的概念是判断三个向量能否构成空间向量的一个基底的关键，关于基底有以下几点必须清楚：若是空间向量的一个基底，则不共面，且空间任意三个不共面的向量
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