高中数学 第二讲 直线与圆的位置关系 四 弦切角的性质教材梳理素材 新人教A版选修4-1（通用）

四 弦切角的性质庖丁巧解牛知识巧学一、弦切角1.定义：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角.2.弦切角的特点：(1)顶点在圆周上；(2)一边与圆相交；(3)一边与圆相切.误区警示 弦切角定义中的三个条件缺一不可.图2-4-2各图中的角都不是弦切角.图(1)中，缺少“顶点在圆上”的条件；图(2)中，缺少“一边和圆相交”的条件；图(3)中，缺少“一边和圆相切”的条件；图(4)中，缺少“顶点在圆上”和“一边和圆相切”两个条件.图2-4-23.如图2-4-3所示，弦切角可分为三类：(1)圆心在角的外部；(2)圆心在角的一边上；(3)圆心在角的内部.图2-4-3二、弦切角定理1.弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角.2.定理的证明：由于弦切角可分为三类，即图2-4-3所示的情况，所以在证明定理时分三种情况加以讨论：当弦切角一边通过圆心时图2-4-4（1），显然弦切角与其所夹弧所对的圆周角都是直角；当圆心O在CAB外时图2-4-4（2），作O的直径AQ，连结PQ，则BAC=BAQ-1=APQ-2=APC；当圆心O在CAB内时图2-4-4（3），作O的直径AQ，连结PQ，则BAC=QAB+1=QPA+2=APC.图2-4-43.在证明弦切角定理的过程中，我们从特殊情况入手，通过猜想、分析、证明和归纳，从而证明了弦切角定理.通过弦切角定理的证明过程，要学会用运动变化的观点观察问题，进而理解从一般到特殊，从特殊到一般的认识规律.知识拓展 由弦切角定理，可以直接得出一个结论：若两弦切角所夹的弧相等，则这两个弦切角也相等，我们把这一结论称为弦切角定理的推论，它也是角的变换的依据.弦切角定理也可以表述为弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半.这就建立了弦切角与弧的数量之间的关系，它为直接依据弧进行角的转换确立了基础.问题探究问题 到目前为止，对于圆中有关的角我们已学过圆心角、圆周角、弦切角，它们各自有定义、定理及和它所对的弧的度数关系，这三种角在证明题和计算题中经常用到，它们是几何综合题中不可缺少的知识点.它们相互之间有哪些联系和区别？如何把握这些联系和区别？思路:从理解圆心角、圆周角、弦切角的定义、定理及与所对、所夹的弧的关系入手思考.探究:圆心角、圆周角、弦切角是圆中三类重要的角，准确理解它们的定义、定理及与所对、所夹的弧的关系，对于我们在圆中的计算、证明，起着举足轻重的作用，将这些知识总结对比列表如下，你可以在比较中把握其异同点，从而快速、准确地应用于解决问题.名称圆心角圆周角弦切角定义顶点在圆心的角顶点在圆上；两边和圆相交顶点在圆上；一边和圆相交；另一边和圆相切图形有关定理圆心角的度数等于它所对的弧的度数在同圆或等圆中相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距相等同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半弦切角等于它所夹弧所对的圆周角有关推论四者关系定理的推论圆周角定理推论、弦切角定理的推论角与弧的关系AOB的度数=的度数ACB的度数=的度ACB的度数=的度典题热题例1如图2-4-5，AD是O的切线，AC是O的弦，过C作AD的垂线，垂足为B，CB与O相交于点E，AE平分CAB，且AE=2，求ABC各边的长.J图2-4-5思路分析：BAE为弦切角，于是BAE=C，再由AE平分CAB和ABC是直角三角形可得C的度数，进而解直角三角形即可.解：AD为O的切线，BAE=C.AE平分CAB，BAC=2BAE.又C+BAC=90，BAE=C=30.则有BE=1，AB=，BC=3，AC=.深化升华 本题应用弦切角、解直角三角形的知识,为基础题型，求解此类题时，要注意弦切角在角的转换中的作用，本题正是由于这一条件，沟通了角之间的数量关系.例2如图2-4-6，AD是ABC中BAC的平分线，经过点A的O与BC切于点D，与AB、AC分别相交于E、F.求证：EFBC.图2-4-6思路分析：连结DF，构造弦切角，于是FDC=DAC，根据AD是ABC中BAC的平分线,得BAD=DAC，而BAD与EFD对着同一段弧，所以相等，由此建立EFD与FDC的相等关系，根据内错角相等，可以断定两直线平行.证明：连结DF.AD是BAC的平分线，BAD=DAC.EFD=BAD，EFD=DAC.O切BC于D，FDC=DAC.EFD=FDC.EFBC.方法归纳 证明两条直线平行的方法有：（1）内错角相等，两直线平行；（2）同位角相等，两直线平行；（3）同旁内角互补，两直线平行等.证题时可以根据图形与已知合理选择.本题由于有切线，所以考虑弦切角和它所对的圆周角.例3如图2-4-7，ABC内接于O，AB=AC，直线XY切O于点C，弦BDXY，AC、BD相交于点E.图2-4-7（1）求证：ABEACD；（2）若AB=6 cm，BC=4 cm，求AE的长.思路分析：第（1）问中的全等已经具备了AB=AC，再利用弦切角定理与圆周角定理可以得角的相等关系；对于（2），则利用BCEACB建立比例式，解方程获得AE的长.（1）证明：XY是O的切线，1=2.BDXY，1=3.2=3.3=4，2=4.ABD=ACD，又AB=AC，ABEACD.（2）解：3=2，BCE=ACB，BCEACB.ACCE=BC2，即AC(AC-AE)=BC2.