高中数学 第四章 定积分 4.3 定积分的简单应用 定积分在几何中的应用素材 北师大版选修2-2（通用）_第1页
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4.3 定积分在几何中的应用定积分是中学新增内容，是研究数学、物理等问题的重要工具。它的基本思想是通过无限分割、近似替代、求和、取极限来达到计算的目的。许多实际问题，如求曲边梯形的面积、体积、变力做功、变速直线运动的路程等，都可用定积分的方法来解决。本文通过实例来展开这种思想，探求定积分在解题中的应用。一、求曲边梯形的面积例1、计算由抛物线在第一象限与所围成的曲边梯形的面积。10xy分析：在区间上插入n-1个分点，把区间分成N个小区间，在每个小区间上，当非常小时，可近似的看做小矩形的面积，曲边梯形的面积就是这n个小矩形的面积和，显然当n无限大时有。点评：本题的关键是“分割”使得区间化整为零，在每一小段上实现“小矩形”与“小曲边梯形”面积的近似替代，从而产生了有效的处理方法。二、求体积例2、将抛物线在第一象限与所围成的平面图形绕x轴旋转一周，求所得旋转体的体积。01xy分析：在区间上分成n个小区间，在每个小区间上，当非常小时，其体积可近似看作小圆柱体的体积，于是旋转体的体积为：。点评：本题通过积分思想，把一个不规则旋转体，转化为熟知的几何体，进而顺利求解体积问题，体现了积分思想在几何问题中应用的广泛性。三、求变速直线运动的路程例3、一点在直线上从时刻开始以速度运动，求：（1） 在的位置；（2） 在运动的路程。分析：将区间等分成n个小区间，在每个小区间上，当非常小时，近似可以看作匀速直线运动，当n无限大时，有在t=4s位置就是在上的定积分，而路程就是位移的绝对值之和。解：（1）在时刻时该点的位移为。（2）在区间及上的，在区间上，在时的路程为：。点评：由积分思想，作变速直线运动的物体所经过的位移，等于其速度函数在时间区间上的定积分，而路程是位移的绝对值之和，故求路程要判断速度的符号。四、求变力做功例4、在原点O处有一个带电量为的点电荷，它所产生的电场对周围电荷有作用力，现有一个单位正电荷从距离O点a处沿着射线方向移至距O点为b的地方，求电场力做的功。分析：取电荷移动的射线方向为x轴的正方向，那么电场力为（k为常数）这是一个变力，将区间等分n份，在每个小区间上，F近似看作常数，即，故有。点评：运用积分思想，将距离区间等分n份，在每一份上近似看作定力做功，再求和取极限，即变力做功等于力关于位移的函数在区间上的积分。定积分是中学数学的一个新生概念，是进一步学习大学知识的基础，它的引入，对解决中
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