高中数学 第四章 导数应用 4.1 函数的单调性与极值 利用导数求最值素材 北师大版选修1-1（通用）

利用导数求最值导数是研究数学和其他自然科学的基础，是研究客观事物变化率和优化问题的有利工具，研究导数，有利于对数学的本质和价值的认识。导数的工具性已渗透到数学的很多分支，在函数的研究中得到充分的体现，主要涉及到研究曲线的切线问题、函数的单调性、函数的极值、最值等。下面就利用导数求最值作一阐述，供参考。一、函数的最大值与最小值在闭区间上连续，在（）内可导，在上求最大值与最小值的步骤：先求 在（）内的极值；再将的各极值与、比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。求可导函数极值的步骤：首先：求导数；再求导数=0的根；最后：检查在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么在这个根处取极大值；如果左负右正，那么在这个根处取极小值。二、利用导数求最值例1、设，求的最小值。解：设，则令，由，解得。列表：（0，1）10最小值由表可知，当时，有最小值1。评注：利用导数求最值，先确定函数的极值是关键，同时，最值通常应在极值及端点处取得。当函数f（x）为连续函数且在上单调时，其最大值、最小值在端点处取得；当连续函数f（x）在（a，b）内只有一个可疑点时，若在这一点处f（x）有极大（小）值，则可以判定f（x）在该点处取得最大（小）值，这里（a，b）也可以是无穷区间。练习1：已知a 0，函数f（x）（x22ax）ex，当x为何值时，f（x）取得最小值？并证明你的结论；三、利用导数求最值的运用（一）求函数的值域例2 、求函数的值域解：由得的定义域为。因为，所以在上单调递增，故当时，时，。所以值域为。评注：求函数的值域转化为求在闭区间上的最大值和最小值的问题，考虑其单调性易求值域，必须注意函数的定义域。练习2：已知x，y为正实数，且满足关系式，求xy的最大值。（二）利用最值求参数的值（或范围）例3、设，函数的最大值为1，最小值为，求a，b的值。解：，当x变化时，变化情况列表如下：x1（1，0）0（0，a）a（a，1）1+00+b当x=0时，f（x）取极大值b，而，故需比较f（0）与f（1）的大小。，f（x）最大值为f（0）=b=1。又。，。评注：这是一道求函数的最值的逆向思维问题。本题的关键是比较极值和端点处的函数值的大小，列表解题一目了然，从而确定出a，b的值。（三）利用最值研究恒成立问题例4、设函数若对于任意都有成立，求实数的取值范围。解： 令得或。当或时，在和上为增函数，在上为减函数，在处有极大值，在处有极小值。极大值为, 而, 在上的最大值为7。若对于任意x都有成立, 得m的范围 。评注：利用最值可以研究一类恒成立问题，一般地，f(x)a对xR恒成立 f(x)的最小值a成立；f(x)a对xR恒成立f(x)的最大值a成立。练习2：已知函数在与x1时都取得极值。求a、b的值；若对恒成立，求c的取值范围。四、利用最值证明不等式例5、已知是R上的奇函数，当x=1时，f(x)取得极值-2。（1）求 f(x)的单调区间和极大值；（2）对任意，求证：不等式恒成立。解：（1）f(x)是奇函数， f(0)=0, d=0因此由条件f(1)=-2为f(x)的极值，f,(1)=0，解之得：a=1，c=-3则， 令，得f(x)的单调减区间是-1，1，f(x)的单调增区间是当x=-1时，f(x)有极大值2。（2）证明：由（1）知f(x)在-1，1上是减函数，且f(x)在-1，1上有最大值f(-1)=2,有最小值f(1)=-2对任意， 恒有评注：本题（2）借助于最值证明不等式，最值的研究利用了导数法，同时对于可导函数，某点为极值点的必要条件是这点的导数为0；某一点是极值点的充分条件是在这点两侧的导数异号。此外，函数的极值点也可能是不可导点。附练习答案：1、解：（1）对函数f（x）求导数，得f（x）（x22ax）ex+（2x2a）exx2+2（1-a）x-2aex。令f（x）0，得x2+2（1-a）x-2aex0，从而x2+2（1a）x2a0。解得 ，其中x1x2。当x变化时，f（x），f（x）的变化如下表：x（ ，x1 ）x1（ x1 ， x2）x2（x2 ，+）f （x）+00+f （x）极大值极小值当f（x）在xx1处取到极大值，在xx2处取到极小值.当a0时，x11，x2 0，f（x）在（x1，x2）为减函数，在（x2，+）为增函数.而当x0时，f（x）x（x2a）ex0；当x0时，f（x）0.所以当时，f（x）取得最小值。2、解：由题意，设f（x）。当时，令，得或x=0（舍去）。当x在内变化时，y/