黑龙江省东南联合体2020学年高二数学下学期期末考试试题 理（含解析）

黑龙江省东南联合体2020学年高二数学下学期期末考试试题 理（含解析）一、选择题（每小题5分，共60分）1.已知复数,则的共轭复数()A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】对复数进行化简，然后得到，再求出共轭复数.【详解】因为，所以，所以的共轭复数故选A项.【点睛】本题考查复数的四则运算，共轭复数的概念，属于简单题.2.已知集合，则（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用对数函数的单调性对集合化简得x|0x1，然后求出AB即可详解】x|0x2，AB1，故选：C【点睛】考查对数不等式的解法，以及集合的交集及其运算3.指数函数是增函数，而是指数函数，所以是增函数，关于上面推理正确的说法是（ ）A. 推理的形式错误B. 大前提是错误的C. 小前提是错误的D. 结论是真确的【答案】B【解析】分析: 指数函数是R上的增函数，这个说法是错误的，要根据所给的底数的取值不同分类说出函数的不同单调性，有演绎推理的定义可知，大前提错误。详解：指数函数是R上的增函数，这个说法是错误的，若,则是增函数，若,则是减函数所以大前提是错误的。所以B选项是正确的。点睛：本题主要考查指数函数的单调性和演绎推理，意在考查三段论的推理形式和指数函数的图像性质，属于基础题。4.已知 ，则它们的大小关系是A. B. C. D. 【答案】A【解析】由指数函数的性质可得 ，而，因此，即。选A。5.已知函数为奇函数,则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据奇函数性质,利用计算得到,再代入函数计算【详解】由函数表达式可知，函数在处有定义，则，则，.故选A.【点睛】解决本题的关键是利用奇函数性质,简化了计算,快速得到答案.6.函数 的最小值为0，则m的取值范围是()A. (1，2)B. (1，2)C. 1，2)D. 1，2)【答案】B【解析】【分析】化简函数为，根据函数单调性以及在时取得最小值0，求出的范围.【详解】函数在区间(1，)上是减函数当x2时，y0.根据题意x(m，n时，.所以m的取值范围是1m2，故选B.【点睛】该题所考查的是利用函数在某个区间上的最值，来确定区间对应的位置，涉及到的知识点有反比例型函数的单调性，确定最值在哪个点处取，从而求得对应的参数的取值范围，属于简单题目.7.若，则的大小关系为()A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用微积分基本定理，计算出的值，由此比较出三者大小关系.【详解】依题意，故，所以选B.【点睛】本小题主要考查微积分基本定理计算定积分，属于基础题.8.若函数f（x）=（k-1）ax-a-x（a0，a1）在R上既是奇函数，又是减函数，则g（x）=loga（x+k）的图象是（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据函数是一个奇函数，函数在原点处有定义，得到函数的图象一定过原点，求出k的值，根据函数是一个减函数，得出底数的范围，得到结果【详解】函数f（x）（k1）axax（a0，a1）在R上是奇函数，f（0）0k2，又f（x）axax为减函数，所以1a0，所以g（x）loga（x+2），定义域为，且递减，故选A.【点睛】本题考查函数奇偶性和单调性，即对数函数的性质，本题解题的关键是看出题目中所出现的两个函数性质的应用9.若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【详解】试题分析：，函数在区间单调递增，在区间上恒成立，而在区间上单调递减，的取值范围是故选：D考点：利用导数研究函数的单调性.10.若函数是定义在R上的偶函数,在上是减函数,且,则使得的的取值范围是()A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由是定义在R上的偶函数，且在上是减函数，得到在上是增函数，从而根据单调性和零点，得到的解集.【详解】是定义在R上的偶函数，因为在上是减函数所以在上是增函数，因为，所以所以的解集为故选B项。【点睛】本题考查函数的奇偶性，单调性，零点，根据函数的基本性质求不等式的解集，属于简单题.11.定义在上的偶函数满足，当时，设函数，则函数与的图像所有交点的横坐标之和为（）A. 2B. 4C. 6D. 8【答案】B【解析】【分析】根据f（x）的周期和对称性得出函数图象，根据图象和对称轴得出交点个数【详解】f（x+1）f（x），f（x+2）f（x+1）f（x），f（x）的周期为2f（1x）f（x1）f（x+1），故f（x）的图象关于直线x1对称又g（x）（）|x1|（1x3）的图象关于直线x1对称，作出f（x）的函数图象如图所示：由图象可知两函数图象在（1，3）上共有4个交点，故选：B【点睛】本题考查了函数图象变换，考查了函数对称性、周期性的判断及应用，考查了函数与方程的思想及数形结合思想，属于中档题12.如图，已知直线与曲线相切于两点，函数 ，则函数（ ）A. 有极小值，没有极大值B. 有极大值，没有极小值C. 至少有两个极小值和一个极大值D. 至少有一个极小值和两个极大值【答案】C【解析】【分析】根据导数的几何意义，讨论直线与曲线在切点两侧的导数与的大小关系，从而得出的单调区间，结合极值的定义，即可得出结论。【详解】如图，由图像可知，当时，单调递增，所以有且。对于=，有，所以在时单调递减；当时，单调递减，所以有且。有，所以在时单调递增；所以是的极小值点。同样的方法可以得到是的极小值点，是的极大值点。故答案选C。【点睛】本题主要考查函数导数的几何意义，函数导数与单调性，与函数极值之间的关系，属于基础题。二、填空题（每小题5分，共计20分）13.已知命题，则为_.【答案】，【解析】【分析】根据特称命题“xA，p（A）”的否定是“xA，非p（A）”求解【详解】命题，为特称命题故为，故答案为，【点睛】本题考查的知识点是命题的否定，其中熟练掌握特称命题的否定方法“xA，p（A）”的否定是“xA，非p（A）”，是解答本题的关键14.幂函数的图像过点,则的减区间为_.【答案】【解析】【分析】设幂函数的解析式为，代入点，得到的值，得到的解析式和定义域，再写出的解析式，研究其定义域和单调区间，从而求出的减区间.【详解】设幂函数的解析式为代入点，得，所以所以幂函数为，定义域为，所以，则需要即其定义域为或，而的对称轴为所以其单调减区间为所以的减区间为.【点睛】本题考查求幂函数的解析式，求具体函数的单调区间，属于简单题.15.极坐标系中，曲线上的点到直线的距离的最大值是 .【答案】7【解析】试题分析：由线方程化为：，即，化为：，圆心坐标为（2,0），半径为r2，直线方程化为：80，圆心到直线的距离为：5，所以，最大距离为：527.考点：1、极坐标方程化为普通方程；2、点到直线的距离.16.函数，对任意，恒有，则的最小值为_.【答案】【解析】，当时，单调递减；当时，单调递增。当时，有最大值，且。又，。由题意得等价于。的最小值为。答案：三、解答题（共六题70分）17.已知为实数（1）若，求；（2）若，求，的值【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】把代入计算的值，再求；第二步把代入，整理后利用复数相等列方程求出的值.【详解】（1） ，；（2）, ， ， ，故.18.如图，已知四边形ABCD与四边形BDEF均为菱形，且求证：平面BDEF；求二面角的余弦值【答案】（1）见证明；（2）.【解析】【分析】设AC、BD交于点O，连结OF、DF，推导出，由此能证明平面BDEF以OA为x轴，OB为y轴，OF为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的余弦值【详解】设AC、BD交于点O，连结OF、DF，四边形ABCD与四边形BDEF均为菱形，且，四边形ABCD与四边形BDEF均为菱形，平面BDEF，平面ABCD，以OA为x轴，OB为y轴，OF为z轴，建立空间直角坐标系，设，则0，0，1，0，1，设平面ABF的法向量y，则，取，得，设平面BCF的法向量y，则，取，得，设二面角的平面角为，由图可知为钝角则二面角的余弦值为【点睛】本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查二面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题19.为了调查中学生每天玩游戏的时间是否与性别有关，随机抽取了男、女学生各50人进行调查，根据其日均玩游戏的时间绘制了如下的频率分布直方图.（1）求所调查学生日均玩游戏时间在分钟的人数；（2）将日均玩游戏时间不低于60分钟的学生称为“游戏迷”，已知“游戏迷”中女生有6人；根据已知条件，完成下面的列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“游戏迷”和性别关系；非游戏迷游戏迷合计男女合计在所抽取的“游戏迷”中按照分层抽样的方法抽取10人，再在这10人中任取9人进行心理干预，求这9人中男生全被抽中的概率.附：（其中为样本容量）.0.150.100.0500250.0102.07227063.8415.0246.635【答案】（1）人（2）填表见解析，能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“游戏迷”和性别有关.【解析】【分析】（1）计算日均玩游戏时间在分钟的频率,再乘以总人数即可; （2）计算 “游戏迷”有人，由于“游戏迷”中女生有6人，得男生有14人,即可列表,计算观测值，对照临界值得出结论；利用古典概型求解即可【详解】（1）日均玩游戏时间在分钟的频率为，所以，所调查学生日均玩游戏时间在分钟的人数为.（2）“游戏迷”的频率为，共有“游戏迷”人，由于“游戏迷”中女生有6人，故男生有14人.根据男、女学生各有50人，得列联表如下：非游戏迷游戏迷合计男361450女44650合计8020100.故能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“游戏迷”和性别有关.“游戏迷”中女生有6人，男生有14人，按照分层抽样的方法抽取10人，则女生有3人，男生有7人.从中任取9人，只剩1人，则共有 10种基本情况，记这9人中男生全被抽中为事件A，则有两名女生被选中,共有种基本情况，因此所求事件A的概率.【点睛】本题考查了列联表与独立性检验的应用问题，也考查了频率分布直方图与古典概型的概率计算问题，是基础题20.已知椭圆的焦距为2，左右焦点分别为，以原点为圆心，以椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切(1)求椭圆的方程；(2)设不过原点的直线与椭圆C交于两点,若直线与的斜率分别为，且，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标；【答案】（1）（2）线恒过定点，详见解析【解析】【分析】（1）根据焦距得到，根据圆心到直线的距离得到，由得到，从而得到椭圆方程；（2）直线，联立得到，然后表示，代入韦达定理，得到和的关系，从而得到直线过的定点.【详解】(1)由题意可得，即，由直线与圆相切，可得，解得，即有椭圆的方程为；(2)证明：设，将直线代入椭圆，可得，即有，由，即有，代入韦达定理，可得，化简可得，则直线的方程为，即，故直线恒过定点；【点睛】本题考查求椭圆方程，直线与椭圆的关系，椭圆中的定点问题，属于中档题.21.已知，（1）如果函数的单调递减区间为，求函数的解析式；（2）在（1）的条件下，求函数的图象在点处的切线方程；（3）若不等式恒成立，求实数a的取值范围【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）求g（x）的导数，利用函数g（x）单调减区间为（，1），即是方程g（x）0的两个根然后解a即可（2）利用导数的几何意义求切线方程（3）将不等式2f（x）g（x）+2成立，转化为含参问题恒成立，然后利用导数求函数的最值即可【详解】（1）由题意的解集是：即的两根分别是，1将或代入方程得（2）由（1）知：，点处的切线斜率，函数的图象在点处的切线方程为：，即（3），即：对上恒成立可得对上恒成立设，则令，得或（舍）当时，；当时，当时，取得最大值的取值范围是【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的性质，要求熟练掌握导数和函数单调性，最值之间的关系，考查学生的运算能力对含有参数恒成立问题，则需要转化为最值恒成立选修部分：二选一（本题10分）22.在平面直角坐标系xOy中，曲线M的参数方程为（t为参数，且t0），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为4cos（1）将曲线M的参数方程化为普通方程，并将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）求曲线M与曲线C交点的极坐标（0，02）【答案】（1）曲线的普通方程为（或）曲线的直角坐标方程为.（2）交点极坐标为.【解析】【详解】（1）先求出，再代入消元将曲线的参数方程化为普通方程，根据将，.曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）先求曲线与曲线交点的直角坐标，再化为极坐标.（1），即，又，或，曲线的普通方程为（或）.，即曲线的直角坐标方程为.（2）由得，（舍去），则交点的直角坐标为，极坐标为.【点睛】本题考查曲线的普通方程、直角坐标方程的求法，考查两曲线交点的极坐