行列式及其应用.ppt

第三章行列式及其应用,3.1行列式的定义,3.2行列式的性质,3.3行列式的应用,学习要点：1.了解行列式的定义及其性质。2.会运用行列式的性质求行列式的值。3.重点掌握行列式在理论推导中的应用，主要有以下三个定理：（1）行列式展式定理；（2）克莱姆法则；（3）行列式乘法定理。,3.1行列式的定义,引例3.1用消元法解二元线性方程组,解第一个方程乘以a22，第二个方程乘以a12，然后两方程相减得,类似可得,我们引进二阶行列式的概念,即定义,那么,方程组的解可整齐地表示为,二阶行列式,又称为二阶方阵,的行列式,类似地，如果定义三阶行列式,记作,含有三个未知量的线性方程组,当系数矩阵的行列式,时，通过计算可知其解可整齐地表示为,问题,使得方程组的解可整齐地表示为,设nn的线性方程组,如何定义n阶行列式,（这里假设分母不为零）,在中划掉第i行和第j列元素而剩下的元素按原来相对位置不变所构成的低一阶的行列式，称为(i,j)元素的余子式，记为Mij,称Aij=(-1)i+jMij为(i,j)元素的代数余子式。,例如,n阶行列式,的值定义如下：,定义3.1（行列式的递归定义）,当n=1时，=a11;,当n2时，假设对n-1阶行列式已有定义，则,（上式又称按第一行展开）,（3.1）,由定义，可得二阶行列式与三阶行列式的计算,计算下三角行列式,按第1行展开,按第1行展开,解根据行列式的定义,例3.1,特别地，,作业,P551（1）（3）,对于方阵，设Aij表示元素aij的代数余子式，称矩阵,为A的伴随矩阵。,3.2行列式的性质,定义3.2（伴随矩阵的定义）,定理3.1（行列式展开定理）,即行列式等于其任一行（列）元素与其对应的代数余子式乘积之和（亦即行列式可按任一行或任一列展开）；任一行（列）元素与另一行（列）元素所对应的代数余子式乘积之和为零。,即,例3.2,验证行列式的展开定理,解,再验证一下错列或错行展开是否为零?,设，求D的第3列元素的代数余子式之和。,根据行列式的展开定理可得,从而，,即，,例3.3,解,利用展开定理得到计算行列式的基本方法“降阶法”，即利用行列式展开定理,可将n阶行列式的计算转化为n-1阶行列式的计算。,根据行列式的展开定理，按第一列展开得,解,例如,性质3.1如果行列式有一行（列）的元素为零，则该行列式的值等于零。,性质3.2若行列式的某一行（列）的所有元素均为两个数之和，则该行列式等于相应的两个行列式的和。,例如,性质3.3设A是一个方阵，,推论3.1如果行列式中有两行（列）的元素相同，则该行列式的值为零。,性质3.4如果行列式中的某行元素（列）有公因子，则该公因子可提到行列式的外面。,例如,推论3.2对于n阶方阵A，则是一个数。,推论3.3如果行列式中有两行（列）元素对应成比例，则其行列式的值为零。,例如,利用行列式的性质得到计算行列式的基本方法“化三角形法”。其基本思路是：通过行列式的行（列）变换将行列式化简为阶梯形行列式，再利用三角形行列式的值等于其对角线上元素的积计算其结果。,解,说明1行列式的性质凡是对行成立的，对列也成立，反之亦然。,说明2计算行列式的方法很多，技巧也很强，重点掌握降阶法和化三角形法。,定理3.2矩阵A的行列式与其转置矩阵AT的行列式的值相等，即,计算行列式,将行列式第2、3、4列加到第一列,得,例3.6,解,特征1：对于所有行（列）元素相加后相等的行列式，可把第2行至n行加到第一行（列），提取公因子后在简化计算。,将行列式第2,3,n列加到第一列,得,计算n阶行列式,例3.7,解,计算n阶行列式,利用初等列变换可将该行列式化为三角形行列式,特征2：第一行，第一列及对角线元素除外，其余元素全为零的行列式称为爪型行列式。,例3.8,解,计算范德蒙德(Vandermonde)行列式,从最后一行开始，每行减去上一行的an倍。,特征3：范德蒙德(Vandermonde)行列式的计算过程及结论。,例3.9,解,按最后一列展开,定理3.3（行列式的乘法定理）,只用第三种初等行变换可把A化为上三角矩阵,证明,设A，B是n阶方阵，则,注当A，B都是n阶方阵时，一定有,只用第三种初等列变换可把B化为上三角矩阵,即存在第三种初等矩阵,使得,并有,因此,证明,解,作业,P642（2）（3）P655（1）,3.3行列式的应用,行列式的应用主要体现在理论推导。,说明1该定理不仅可以用来判别方阵可逆，同时也提供了求逆矩阵的计算公式。说明2当时，A称为奇异矩阵，否则称为非奇异矩阵。,证明必要性,设方阵A可逆，则存在A-1，使,对上式两边取行列式，并利用行列式乘法定理得,所以,充分性,所以A可逆，且,讨论矩阵,何时可逆，且求其逆矩阵。,A可逆的充分必要条件为,例3.12,解,求A的逆矩阵,例3.13,解,设,例3.14,证明,证明A可逆的充要条件是,并求其逆。,设A，B均为n阶方阵，证明AB可逆的充分必要条件,是A，B均可逆。,若A，B均可逆，则从而,因此AB可逆。,反之，若AB可逆，则从而,因此A、B可逆。,例3.15,证明,有唯一解,解的分量为,定理3.5克莱姆法则,注通常把解的分量表达式叫做克莱姆法则。,设,，则线性方程组,其中Dj(j=1,2,n)是把系数行列式D中第j列换成向量b而得到的行列式。,可知A可逆，且方程组有惟一解，其解为,由系数矩阵的行列式,即,证明,比较左右两边矩阵的j行,得,推论3.4,设齐次线性方程组Ax=0，如果系数矩阵行列式,则方程组Ax=0只有零解。,已知抛物线经过三点(1,0)，(2,3),(-3,28)，求该抛物线的方程。,将三点的坐标代入抛物线方程，得a,b,c应满足的非线性,经计算得,例3.16,解,方程组,注系数行列式是范德蒙行列式,故由克莱姆法则，上述方程组的惟一解为,于是所求抛物线方程为,系数行列式,按第3行展开,当时，齐次方程组有非零解。,当为何值时，齐次方程组有非零解？,例3.17,解,问a,b为何值时，方程组有唯一解，无解，无穷多解。有无穷多解时，求出其通解。,已知方程组,系数矩阵是方阵首选行列式法,例3.18,解,当a1时，方程组有唯一解；,a=1,当时，方程组无解。,当时，方程组有无穷多解。,当a=1时，方程组可能无解也可能有无穷多解，需讨论。,通解为,定义3.3（n阶行列式的逆序数定义）,是对所有这样的排列求和，共有项；,是排列的逆序数，其定义为：,在一个排列中，如果，则称出现一个,逆序，一个排列中出现逆序的总数称为这个排列的逆序数。,例如,因此,解根据行列式的逆序数定义，能够出现x4，x3的项只有,和,故,所以，x4，x3的系数分别为1，-4。,所以根为x=1,2,3.,利用范德蒙德行列式,备用题1,解,计算行列式D2n的值,按第一行展开,备用题2,解,计算n阶行列式的值,按第一行展开,备用题3,解,得递推公式,特征4：所求行列式某一行（列）至多有两个非零元素，按这一行展开，并能够得到较低阶的具有相同结构的行列式，如备用题2、3。,计算n阶行列式,Dn拆分为如下两个行列式，且第一个行列式按最后一列展开，,注意与例3.7的形式不同。,第二个行列式利用,备用题4,解,特征5：除对角线元素外，上三角各元素相等，下三角各元素相等，常用拆分法或数学归纳法求解。阅读书上例题3.10。,设分块矩阵，其中A是m阶方阵，B是,n阶方阵，证明。,设,备用题5,证明,对作ri+kr