高二数学专题一：含参不等式及参数问题人教版知识精讲

高二数学高二数学专题一：含参不等式及参数问题专题一：含参不等式及参数问题人教版人教版 【同步教育信息】 一. 本周教学内容： 专题一：含参不等式及参数问题 二. 重点、难点： 含参数的不等式有着丰富的内容，解决含参数不等式的问题不仅需要很熟 练的运算能力，而且还需要有明确的数学思想指导，灵活深刻的思维品质。 应注意以下几个问题： 1. 解含有参数的不等式。 2. 已知不等式成立的条件，求参数的范围。 3. 不等式恒成立，能成立，恰成立的问题。 【典型例题】 例 1 解不等式0 1 2 x xax 。 解：0) 1( 2 xxax （1）当0a时，0)1 (xx 解为) 1,0(x （2）当0a时，0) 11 ( 2 a x a xx aa 41 2 ), 4 1 (a时，解为),0(x 4 1 a时，解为),2()2,0(x ) 4 1 ,0(a时，解为), 2 411 () 2 411 ,0( a a a a x （3）0a时，0) 11 ( 2 x a x a x 0 41 2 aa 解为：) 2 411 ,0() 2 411 ,( a a a a 例 2 设 n ann xf xxxx ) 1(321 lg)( ，其中Ra， 2n， * Nn，n为常数。若)(xf在（，1）上成立，求a的取值范围。 解： 依题意：0 ) 1(21 n ann xxx 即0) 1(21ann xxx ) 1 () 2 () 1 ( xxx n n nn a 令) 1 () 1 ()( xx n n n xg x n y) 1 ( x n n y) 1 ( )(xgy R 上 x（，1） 2 1 ) 1 ( max n gy 2 1n a a（ 2 1n ，） 例 3 09log5log1| xx xA，0)2(2| 2 aaxxxB，若 BBA，求a的取值范围。 解： BABBA 09log5log1 xx 即0 9 5 log x x 1 9 5 0 1 x x 或 1 9 5 10 x x 5 9 1|xxA 0)2(2 2 aaxx 0)2()(axax 2aa 1a ) 1,(a时，B：),2(aa BA 5 9 ,( 1 12 5 9 a a a a 1a B（舍） ),1(a BA ), 5 1 1 1 5 9 2 a a a a ), 5 1 5 9 ,(a 例 4 已知 x axx xf 2 )( 2 （1）对任意),1 x，)(xf0恒成立，求a的范围。 （2）当),1 x时，)(xf值域为),0，求a。 解： （1）),1 x 0 2 2 x axx 02 2 axx 01) 1( 2 ax 设1) 1()( 2 axx ),1 x 3) 1 ()( min ax 03 a 3a （2）2 2 )( 2 x a x x axx xf 0a ),1 x 3)(xf与),0不符，舍去 0a，xy ， x a y )(xfy 0) 1 (f 3a 【模拟试题】 一. 选择题： 1. 抛物线)0( 2 aaxy的焦点坐标为（ ） A.（0， a4 1 ） B.（0， a2 1 ） C.（0， a4 1 ） D.（0， a2 1 ） 2. 不等式554135xxxx的解集为（ ） A. 6|xx B. 65| xx C. 5|xx D. 65| xx 3. 椭圆的两个焦点和中心将两准线的距离四等分，则一焦点与短轴两端点连 线的夹角是（ ） A. 45 B. 60 C. 90 D. 120 4. 已知Rcba,，则下面命题成立的是（ ） A. 22 bcacbaB. ba c b c a C. 33 ba 且0ab ba 11 D. 22 ba ，0ab ba 11 5. 已知 M（4，2），N（2，3）过 P（1，1）的直线与线段 MN 总相交， 则直线的斜率k的取值范围是（ ） A. ), 3 2 B. 3 2 , 3 1 C. 3 1 ,( D. ), 3 2 3 1 ,( 6. 点 M 到点（4，0）的距离比它到直线05 x的距离小 1，则点 M 的轨迹 为（ ） A. 椭圆 B. 双曲线 C. 抛物线 D. 直线 7. 设Rnm,，且nm ，2 nm，则（ ） A. 2 1 22 nm mn B. 2 1 22 nm mn C. 1 2 22 nm mnD. 1 2 22 mn nm 8. 过双曲线1 164 22 yx 的焦点的直线被双曲线所截得的弦长为 8，这样的直 线条数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 9. 若 a，b 均为大于 1 的正数，且100ab，则ba lglg的最大值是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 2.5 10. 已知椭圆1 925 22 yx 的右焦点为 F，右准线为 L，则以过 F 的弦 AB 为直 径的圆与 L 的关系为（ ） A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 以上三种都不对 11. 设抛物线过 A（0，4）且以 x 轴为准线，则抛物线顶点 M 的轨迹方程为 （ ） A. )0,0( 1 164 )2( 22 yx yx B. )0,0( 1 164 )2( 22 yx yx C. )0,0( 1 416 )2( 22 yx yx D. 1 4 )2( 16 22 yx （0x，0y） 12. 方程143) 1() 1(5 22 yxyx表示的曲线为（ ） A. 抛物线 B. 双曲线 C. 椭圆 D. 一条直线 二. 填空题： 13. 方程012)12(3 22 kkxkx一个根小于 1，另一个根大于 1，则 k的取值范围是 。 14. 给出下列四个命题： （1）babba （2）方程 2222 )()(ycxycxa2所表示的曲线为椭圆 （3）函数 x xy sin 4 sin， 2 ,0( x的最小值是 4 （4）两圆 C1：1 22 yx，C2：16)4()3( 22 yx的公切线共有 3 条， 则错误的命题的序号为 。 15. 已知 P（x，y）是椭圆1 36100 22 yx 上的动点，B（8，0）， A（3，4），则PBPA54的最小值为 。 16. 双曲线1xy的焦点坐标为 。 三. 解答题： 17. 求与双曲线1 45 22 yx 有相同的渐近线，且焦距为 12 的双曲线方程。 18. 已知集合) 1(25|xxxA，| 2 axaxxxB，若BA ， 求实数 a 的取值范围。 19. 若不等式) 1(12 2 xmx对满足2m的一切 m 的值都成立，求 x 的取 值范围。 20. 已知直线 1 l ：0232 yx， 2 l：0323yx，有一动圆 C，它的圆 心在曲线65) 1( 22 yx上，若圆 C 截 1 l 所得的弦长为定值 m，试研究此时圆 C 截 2 l所得的弦长是否也为定值。 21. 某化妆品生产企业为了占有更多的市场份额，拟在 2020 年度进行一系列 的促销活动。经过市场调查和测算，化妆品的年销量x万件与年促销费用t万元 之间满足；x3与1t成反比例。如果不搞促销活动，化妆品的年销售量只能 是 1 万件。已知 2020 年生产化妆品的固定投资为 3 万元，每生产 1 万件化妆品 需再投资 32 万元，当将每件化妆品的售价定为“年平均成本的 150%”与“年 平均每件所占促销费的一半”之和，则当年的产销量相等。 （1）将 2020 年的年利润 y 万元表示为促销费 t 万元的函数； （2）该企业 2020 年的促销费投入多少万元时，企业的年利润是最大？ （注：利润=收入生产成本=促销费） 22. 已知椭圆 C 的中心在原点，焦点在 x 轴上，一条准线的方程是1x，倾 角为 4 的直线l交椭圆 C 于 A、B 两点，且线段 AB 的中点坐标是（ 2 1 ， 4 1 ）， （1）求椭圆 C 的方程； （2）设 P、Q 为椭圆 C 上的两点，O 为坐标原点，且满足 4 322 OQOP， 求证：直线 OP 与直线 OQ 斜率之积的绝对值 OQOP kk为定值。 试题答案 一. 选择题： 1. A 2. B 3. C 4. C 5. D 6. C 7. B 8. B 9. B 10. C 11. D 12. D 二. 填空题： 13. 52k 14. 15. 62 16. )2,2(,)2,2( 三. 解答题： 17. 解： 设双曲线方程为 45 22 yx （0） （1）当0时，1 45 22 yx 5 2 a，4 2 b，9 2 c 122 c，6c，369，4 双曲线的方程为1 1620 22 yx （2）当0时，1 54 22 xy 4 2 a，5 2 b，369 2 c 4 双曲线的方程为1 2016 22 xy 综上可得，双曲线的方程为1 1620 22 yx 或1 2016 22 xy 18. 解： 不等式) 1(25xx等价于 ) 1(2)5( 01 05 2 xx x x 解得31 x 31|xxA 0)(1( |axxxB BA 3a 综上可得),3(a 19. 解： （1）当01 2 x时，1x，由012x得 2 1 x 1x时不等式成立 （2）当01 2 x时， 1 12 2 x x m，使 1 12 2 x x m对一切2m都成立的充要 条件是 2 1 12 2 x x 。 即 0122 01 2 2 xx x 2 31 1 x （3）当01 2 x时， 1 12 2 x x m，使 1 12 2 x x m对一切2m都成立的充要 条件是 1 12 2 x x 2 即 0322 01 2 2 xx x 解得1 2 71 x 综合（1）（2）（3）得 2 31 2 71 x 20. 解： 设动圆 C 的圆心坐标为（a，b），动圆 C 与 2 l相交所截的弦长为n，圆心 到两直线的距离分别为 1 d 由已知得 222 2 222 1 2 1 22 ) 2 ( ) 2 ( 13 323 13 232 65) 1( r n d r m d ba d ba d ba 消去 1 d、 2 d、r 得100 22 mn 当10m时，圆 C 与 2 l不相交 当10m时，圆 C 与 2 l相切 当10m时，圆 C 与 2 l相交，弦长100 2 mn为定值 21. 解： （1）由题意得 1 3 t k x将0t，1x代入得2k 1 2 3 t x 1 2 3 t x 从而成本为 323) 1 2 3( t 万元。年收入为t t2 1 3) 1 2 3(32%150 ，故 年利润为 ) 1(2 3598 3) 1 2 3(32 2 1 3) 1 2 3(32%150 2 t tt t t t y（ 0t） （2） 4216250) 1 32 2 1 (50 t t y万元 当且仅当 1 32 2 1 t t 即7t时，42 max y 答：当促销费定为 7 万元时，利润最大 22. 解： （1）设椭圆的方程为1 2 2 2 2 b y a x （0 ba） 则1 2 c a x ca 2 ， 22 ccb 故椭圆的方程为1 2 22 cc y c x 设 A（ 1 x ， 1 y），B（ 2 x， 2 y）则1 2 2 1 2 1 cc y c x ，1 2 2 2 2 2 cc y c x 0 )()( 2 21212121 cc yyyy c xxxx 而1 21 xx 2 1 21 yy且1 21 21 xx yy 0 2 1 1 2 ccc 2 1 c， 2 1 2 a， 4 1 2 b 故椭圆的方程为1 4 1 2 1 22 yx 即142 22 yx （2）设 P（ 3 x， 3 y），Q（ 4 x，